湖南長(zhǎng)沙望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪講座復(fù)習(xí)數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和的常用方法

湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí)：數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和的常用方法高考要求數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可以看作項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)，是函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用 數(shù)列以通項(xiàng)為綱，數(shù)列的問題，最終歸結(jié)為對(duì)數(shù)列通項(xiàng)的研究，而數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn可視為數(shù)列Sn的通項(xiàng) 通項(xiàng)及求和是數(shù)列中最基本也是最重要的問題之一，與數(shù)列極限及數(shù)學(xué)歸納法有著密切的聯(lián)系，是高考對(duì)數(shù)列問題考查中的熱點(diǎn)，本點(diǎn)的動(dòng)態(tài)函數(shù)觀點(diǎn)解決有關(guān)問題，為其提供行之有效的方法 重難點(diǎn)歸納 1 數(shù)列中數(shù)的有序性是數(shù)列定義的靈魂，要注意辨析數(shù)列中的項(xiàng)與數(shù)集中元素的異同 因此在研究數(shù)列問題時(shí)既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要注意數(shù)列方法的特殊性 2 數(shù)列an前n 項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式 an=3 求通項(xiàng)常用方法作新數(shù)列法 作等差數(shù)列與等比數(shù)列 累差疊加法 最基本形式是 an=(anan1+(an1+an2)+(a2a1)+a1 歸納、猜想法 4 數(shù)列前n項(xiàng)和常用求法重要公式 1+2+n=n(n+1) 12+22+n2=n(n+1)(2n+1)13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2等差數(shù)列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比數(shù)列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn 裂項(xiàng)求和 將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和，即an=f(n+1)f(n)，然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng) 應(yīng)掌握以下常見的裂項(xiàng) 錯(cuò)項(xiàng)相消法 并項(xiàng)求和法數(shù)列通項(xiàng)與和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法 典型題例示范講解 例1已知數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列bn是公比為q的(qR且q1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f(x)=(x1)2，且a1=f(d1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q1)，求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；解 a1=f(d1)=(d2)2，a3=f(d+1)=d2，a3a1=d2(d2)2=2d，d=2，an=a1+(n1)d=2(n1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q1)=(q2)2，=q2，由qR，且q1，得q=2，bn=bqn1=4(2)n1例2設(shè)An為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，An= (an1)，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn=4n+3;(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)把數(shù)列an與bn的公共項(xiàng)按從小到大的順序排成一個(gè)新的數(shù)列，證明 數(shù)列dn的通項(xiàng)公式為dn=32n+1;(3)設(shè)數(shù)列dn的第n項(xiàng)是數(shù)列bn中的第r項(xiàng)，Br為數(shù)列bn的前r項(xiàng)的和；Dn為數(shù)列dn的前n項(xiàng)和，Tn=BrDn，求 命題意圖 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式及其相互關(guān)系；集合的相關(guān)概念，數(shù)列極限，以及邏輯推理能力 知識(shí)依托 利用項(xiàng)與和的關(guān)系求an是本題的先決；(2)問中探尋an與bn的相通之處，須借助于二項(xiàng)式定理；而(3)問中利用求和公式求和則是最基本的知識(shí)點(diǎn) 錯(cuò)解分析 待證通項(xiàng)dn=32n+1與an的共同點(diǎn)易被忽視而寸步難行；注意不到r與n的關(guān)系，使Tn中既含有n，又含有r，會(huì)使所求的極限模糊不清 技巧與方法 (1)問中項(xiàng)與和的關(guān)系為常規(guī)方法，(2)問中把3拆解為41，再利用二項(xiàng)式定理，尋找數(shù)列通項(xiàng)在形式上相通之處堪稱妙筆；(3)問中挖掘出n與r的關(guān)系，正確表示Br，問題便可迎刃而解 解 (1)由An=(an1)，可知An+1=(an+11)，an+1an= (an+1an)，即=3，而a1=A1= (a11)，得a1=3，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=3n (2)32n+1=332n=3(41)2n=342n+C42n1(1)+C4(1)+(1)2n=4n+3，32n+1bn 而數(shù)32n=(41)2n=42n+C42n1(1)+C4(1)+(1)2n=(4k+1)，32nbn，而數(shù)列an=a2n+1a2n，dn=32n+1 (3)由32n+1=4r+3，可知r=，Br=，例3設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，并且對(duì)于所有的自然數(shù)n，an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng) (1)寫出數(shù)列an的前3項(xiàng) (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(寫出推證過程)解析 (1)由題意，當(dāng)n=1時(shí)，有，S1=a1，解得a1=2 當(dāng)n=2時(shí)，有，S2=a1+a2，將a1=2代入，整理得(a22)2=16，由a20，解得a2=6 當(dāng)n=3時(shí)，有，S3=a1+a2+a3，將a1=2，a2=6代入，整理得(a32)2=64，由a30，解得a3=10 故該數(shù)列的前3項(xiàng)為2，6，10 (2）解法一 由(1）猜想數(shù)列an 有通項(xiàng)公式an=4n2 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明an的通項(xiàng)公式是an=4n2，(nN*） 當(dāng)n=1時(shí)，因?yàn)?12=2，又在(1)中已求出a1=2，所以上述結(jié)論成立 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即有ak=4k2，由題意，有，將ak=4k2 代入上式，解得2k=，得Sk=2k2，由題意，有，Sk+1=Sk+ak+1，將Sk=2k2代入得()2=2(ak+1+2k2)，整理得ak+124ak+1+416k2=0，由ak+10，解得ak+1=2+4k，所以ak+1=2+4k=4(k+1)2，即當(dāng)n=k+1時(shí)，上述結(jié)論成立 根據(jù)，上述結(jié)論對(duì)所有的自然數(shù)nN*成立 解法二 由題意知，(nN*) 整理得，Sn=(an+2)2,由此得Sn+1=(an+1+2)2，an+1=Sn+1Sn=(an+1+2)2(an+2)2 整理得(an+1+an）(an+1an4)=0，由題意知an+1+an0，an+1an=4，即數(shù)列an為等差數(shù)列，其中a1=2，公差d=4 an=a1+(n1)d=2+4(n1)，即通項(xiàng)公式為an=4n2 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 設(shè)zn=()n，(nN*)，記Sn=z2z1+z3z2+zn+1zn，則Sn=_ 2 作邊長(zhǎng)為a的正三角形的內(nèi)切圓，在這個(gè)圓內(nèi)作新的內(nèi)接正三角形，在新的正三角形內(nèi)再作內(nèi)切圓，如此繼續(xù)下去，所有這些圓的周長(zhǎng)之和及面積之和分別為_ 3 數(shù)列an滿足a1=2，對(duì)于任意的nN*都有an0,且(n+1)an2+anan+1nan+12=0，又知數(shù)列bn的通項(xiàng)為bn=2n1+1 (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an及它的前n項(xiàng)和Sn；(2)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn；(3)猜想Sn與Tn的大小關(guān)系，并說明理由 4 數(shù)列an中，a1=8,a4=2且滿足an+2=2an+1an,(nN*) (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sn=a1+a2+an,求Sn;(3)設(shè)bn=(nN*),Tn=b1+b2+bn(nN*),是否存在最大的整數(shù)m，使得對(duì)任意nN*均有Tn成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由 參考答案 2 解析 由題意所有正三角形的邊長(zhǎng)構(gòu)成等比數(shù)列an，可得an=，正三角形的內(nèi)切圓構(gòu)成等比數(shù)列rn，可得rn=a,這些圓的周長(zhǎng)之和c=2(r1+r2+rn)= a2，面積之和S=(n2+r22+rn2)=a23 解 (1）可解得，從而an=2n，有Sn=n2+n，(2)Tn=2n+n1 (3)TnSn=2nn21，驗(yàn)證可知，n=1時(shí)，T1=S1，n=2時(shí)T2S2；n=3時(shí)，T3S3;n=4時(shí)，T4S4；n=5時(shí)，T5S5；n=6時(shí)T6S6 猜想當(dāng)n5時(shí)，TnSn，即2nn2+1可用數(shù)學(xué)歸納法證