江蘇數(shù)學(xué)壓軸卷

江蘇省2019年高考數(shù)學(xué)壓軸卷（含解析）注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及答題要求1本試卷共4頁(yè)，包含填空題（第1題第14題）、解析題（第15題第20題）本卷滿分為160分，考試時(shí)間為120分鐘考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回2答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置3作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上指定位置作答，在其它位置作答一律無(wú)效4如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗 參考公式：球體的體積公式：V，其中為球體的半徑一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分. 不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定位置上）1全集，集合則 2已知是虛數(shù)單位，若，則 3我國(guó)古代數(shù)學(xué)算經(jīng)十書(shū)之一的九章算術(shù)一哀分問(wèn)題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)九千人，南鄉(xiāng)五千四百人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役五百，意思是用分層抽樣的方法從這三個(gè)鄉(xiāng)中抽出500人服役，則北鄉(xiāng)比南鄉(xiāng)多抽 人4如圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出y的取值范圍是 5已知函數(shù)，若f（m）6，則f（m61） 6已知f（x）sin（x1），若p1，3，5，7，則f（p）0的概率為 7已知函數(shù)f（x）2sin（x+）（0，|）的部分圖象如圖所示，則f（）的值為 8已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，P（3，4）為C上一點(diǎn)，則PAB的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 9已知f（x）是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f（x）|x23x|，則不等式f（x2）2的解集為 10若函數(shù)f（x）a1nx，（aR）與函數(shù)g（x），在公共點(diǎn)處有共同的切線，則實(shí)數(shù)a的值為 11設(shè)A，B在圓x2+y24上運(yùn)動(dòng)，且，點(diǎn)P在直線3x+4y150上運(yùn)動(dòng)則的最小值是 12在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，ABC，ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，BD1，則a+c的最小值為 13如圖，點(diǎn)D為ABC的邊BC上一點(diǎn)，En（nN）為AC上一列點(diǎn)，且滿足：，其中實(shí)數(shù)列an滿足4an10，且a12，則+ 14已知函數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)若集合x(chóng)Z|x（f（x）m）0中有且僅有4個(gè)元素，則整數(shù)m的個(gè)數(shù)為 二、解答題（本大題共6小題，計(jì)90分.解析應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題卡的指定區(qū)域內(nèi)）15(本小題滿分14分) 如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知點(diǎn)M為棱BC上異于B，C的一點(diǎn)（1）若M為BC中點(diǎn)，求證：A1C平面AB1M；（2）若平面AB1M平面BB1C1C，求證：AMBC16.（本小題滿分14分）已知（1）求的值；（2）求的值17(本小題滿分14分) 學(xué)校擬在一塊三角形邊角地上建外籍教室和留學(xué)生公寓樓，如圖，已知ABC中，C，CBA，BCa在它的內(nèi)接正方形DEFG中建房，其余部分綠化，假設(shè)ABC的面積為S，正方形DEFG的面積為T(mén)（1）用a，表示S和T；（2）設(shè)f（），試求f（）的最大值P；18.(本小題滿分16分) 已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為（）求C的方程；（）如圖，經(jīng)過(guò)橢圓左項(xiàng)點(diǎn)A且斜率為k（k0）直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，若點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為H，過(guò)點(diǎn)E作與OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）垂直的直線交直線AH于點(diǎn)M，且APM面積為，求k的值19(本小題滿分16分) 已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)函數(shù)在處的切線方程為，若函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)，求的值； （3）是否存在一條直線與函數(shù)的圖象相切于兩個(gè)不同的點(diǎn)？并說(shuō)明理由20(本小題滿分16分) 已知集合Aa1，a2，a3，an，其中aiR（1in，n2），l（A）表示和ai+aj（1ijn）中所有不同值的個(gè)數(shù)（）設(shè)集合P2，4，6，8，Q2，4，8，16，分別求l（P）和l（Q）；（）若集合A2，4，8，2n，求證：；（）是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？數(shù)學(xué)（附加題）注 意 事 項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1 本試卷共2頁(yè)，均為非選擇題（第2123題）。本卷滿分為40分，考試時(shí)間為30分鐘。考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回。2 答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、考試證號(hào)等用書(shū)寫(xiě)黑色字跡的0.5毫米簽字筆填寫(xiě)在答題卡上，并用2B鉛筆正確填涂考試號(hào)。3 作答試題必須用書(shū)寫(xiě)黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫(xiě)在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無(wú)效。如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請(qǐng)加黑、加粗，描寫(xiě)清楚。 置作答一律無(wú)效。如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請(qǐng)加黑、加粗，描寫(xiě)清楚。21【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答解析應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟A選修41：幾何證明選講如圖，已知為半圓的直徑，點(diǎn)為半圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作半圓的切線，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn). 求證：B選修42：矩陣與變換已知矩陣，且，求矩陣C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）在極坐標(biāo)系中（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，極軸與x軸的非負(fù)半軸重合），圓C的方程為，求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)D選修45：不等式選講已知正實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖鹁砜ㄖ付▍^(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫(xiě)出 文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟22（本小題滿分10分） 如圖，在四棱錐PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2（1）求異面直線AP與BC所成角的余弦值（2）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值23（本小題滿分10分）在集合1，2，3，4，中，任?。?，N*）元素構(gòu)成集合若的所有元素之和為偶數(shù)，則稱(chēng)為的偶子集，其個(gè)數(shù)記為；若的所有元素之和為奇數(shù)，則稱(chēng)為的奇子集，其個(gè)數(shù)記為令（1）當(dāng)時(shí)，求，的值；（2）求2019 江蘇省高考?jí)狠S卷 數(shù)學(xué)1【答案】1，2，4，5【解析】解：AB3，則U（AB）1，2，4，5，故答案為：1，2，4，5，2【答案】1【解析】解：（1i）（a+i）（a+1）+（1a）i2，即a1故答案為：13【答案】60【解析】解：由題意可知，抽樣比為故北鄉(xiāng)應(yīng)抽8100180，南鄉(xiāng)應(yīng)抽5400120，所以18012060，即北鄉(xiāng)比南鄉(xiāng)多抽60人，故答案為：604【答案】【解析】解：由已知中的程序語(yǔ)句可知：該程序的功能是計(jì)算并輸出變量的值，由于當(dāng)x0時(shí)，當(dāng)x0時(shí)，y3x（0，1，則輸出y的取值范圍是故答案為：5【答案】-4【解析】解：函數(shù)，f（m）6，當(dāng)m3時(shí)，f（m）3m256，無(wú)解；當(dāng)m3時(shí)，f（m）log2（m+1）6，解得m63，f（m61）f（2）32254故答案為：46【答案】【解析】解：f（x）sin（x1），p1，3，5，7，f（1）sin00，f（3）sin20，f（5）sin40，f（7）sin60，f（p）0的概率為p故答案為：7【答案】1【解析】解：根據(jù)函數(shù)f（x）2sin（x+）（0，|）的部分圖象，可得，2，再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得，求得，函數(shù)f（x）2sin（），f（）2sin（）2sin2sin1，故答案為：18【答案】x2+（y3）210【解析】解：P（3，4）為C上的一點(diǎn)，所以，解得m1，所以A（1，0）B（1，0），設(shè)PAB的外接圓的圓心（0，b），則1+b232+（b4）2，解得b3，則PAB的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+（y3）210故答案為：x2+（y3）2109【答案】x|3x1或0x或x4【解析】解：根據(jù)題意，當(dāng)x0時(shí)，f（x）|x23x|，此時(shí)若有f（x）2，即，解可得0x1或2x，即此時(shí)f（x）2的解集為x|0x1或2x，又由f（x）為偶函數(shù)，則當(dāng)x0時(shí)，f（x）2的解集為x|1x0或x2，綜合可得：f（x）2的解集為x|1x1或2x或x2；則不等式f（x2）2的解集x|3x1或0x或x4；故答案為：x|3x1或0x或x410【答案】【解析】解：函數(shù)f（x）alnx的定義域?yàn)椋?，+），f（x），g（x），設(shè)曲線f（x）alnx與曲線g（x）公共點(diǎn)為（x0，y0），由于在公共點(diǎn)處有共同的切線，解得，a0由f（x0）g（x0），可得聯(lián)立，解得故答案為：11【答案】5【解析】解：取AB的中點(diǎn)M，連OM，則OMAB，即點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，設(shè)點(diǎn)O到直線3x+4y150的距離為，所以2|2d1615（當(dāng)且僅當(dāng)OPl，M為線段OP與圓x2+y21的交點(diǎn)時(shí)取等）故答案為：512【答案】4【解析】解：由題意得，即aca+c，得+1，得a+c（a+c）（+），當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)，取等號(hào)，故答案為：413【答案】【解析】解：點(diǎn)D為ABC的邊BC上一點(diǎn)，又，故答案為：14已知函數(shù)f（x），其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)若集合x(chóng)Z|x（f（x）m）0中有且僅有4個(gè)元素，則整數(shù)m的個(gè)數(shù)為 【答案】34【解析】解：x0A，符合條件的整數(shù)根，除零外有且只有三個(gè)即可畫(huà)出f（x）的圖象如下圖：當(dāng)x0時(shí)，f（x）m；當(dāng)x0時(shí)，mf（x）即y軸左側(cè)的圖象在ym下面，y軸右側(cè)的圖象在ym上面，f（3）39+189，f（4）316+2424，f（3）（3）33（3）2+44，f（4）（4）33（4）2+420，平移ya，由圖可知：當(dāng)24a9時(shí)，A1，2，3，符合題意；a0時(shí)，A1，1，2，符合題意；2a3時(shí)，A1，1，2，符合題意；4a20時(shí)，A1，2，3，符合題意；整數(shù)m的值為23，22，21，20，19，18，17，16，15，14，13，12，11，10，9，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共34個(gè)故答案為：3415【答案】見(jiàn)解析.【解析】證明：（1）連結(jié)A1B，交AB1于N，則N是A1B的中點(diǎn)，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M為BC中點(diǎn)，MNA1C，A1C平面AB1M，MN平面AB1M，A1C平面AB1M解：（2）過(guò)B作BPB1M，垂足為P，平面AB1M平面B1BCC1，且交線為B1M，BP平面AB1M，AM平面ABCD，BB1AM，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1平面ABCD，AM平面ABCD，BB1AM，又BPBB1B，AM平面BB1C1C，又BC平面BB1C1C，AMBC16【答案】（1）（2）【解析】解：（1）已知，（2），求得，或（舍去），綜上，17【答案】（1）Sa2tan，（0，）；，（0，）；（2）【解析】解：（1）由題意知，ACatan，所以ABC的面積為：SACBCa2tan，其中（0，）；又DGGFBGsin，所以BG，DG，所以正方形DEFG的面積為：=，其中（0，）；（2）由題意知，其中（0，），所以；由sincossin2（0，所以，即f（），當(dāng)且僅當(dāng)sin21，即時(shí)“”成立；所以f（）的最大值P為18.【答案】（）；（）.【解析】解：（）由題意可得，解得a2，b，c，橢圓C的方程為.（）易知橢圓左頂點(diǎn)A（2，0），設(shè)直線l的方程為yk（x+2），則E（0，2k），H（0，2k），由消y可得（1+2k2）x2+8k2x+8k240設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），64k44（8k24）（1+2k2）16則有x1+x2，x1x2，x0（x1+x2），y0k（x0+2），直線EM的斜率kEM2k，直線EM的方程為y2kx+2k，直線AH的方程為yk（x+2），點(diǎn)M（，），點(diǎn)M到直線l：kxy+2k0的距離，解得. 19.【答案】（1）的極大值為；極小值為；（2）；（3）見(jiàn)解析【解析】（1） 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?則，令得，或列表：12+0-0+極大值極小值所以函數(shù)的極大值為；極小值為（2）依題意，切線方程為，從而，記，則在上為單調(diào)增函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立 變形得在上恒成立 ，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），所以，從而，所以 （3）假設(shè)存在一條直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的切點(diǎn)，不妨，則處切線的方程為：，處切線的方程為：因?yàn)?，為同一直線，所以即整理得， 消去得， 令，由與，得，記，則，所以為上的單調(diào)減函數(shù)，所以從而式不可能成立，所以假設(shè)不成立，從而不存在一條直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的切點(diǎn)20【答案】（）l（P）5 l（Q）6；（）證明見(jiàn)解析；（）l（A）存在最小值，且最小值為2n3【解析】解：（）根據(jù)題中的定義可知：由2+46，2+68，2+810，4+610，4+812，6+814，得l（P）5由2+46，2+810，2+1618，4+812，4+1620，8+1624，得l（Q）6（5分）（）證明：因?yàn)閍i+aj（1ijn）最多有個(gè)值，所以又集合A2，4，8，2n，任取ai+aj，ak+al（1ijn，1kln），當(dāng)jl時(shí)，不妨設(shè)jl，則ai+aj2aj2j+1alak+al，即ai+ajak+al當(dāng)jl，ik時(shí)，ai+ajak+al因此，當(dāng)且僅當(dāng)ik，jl時(shí)，ai+ajak+al即所有ai+aj（1ijn）的值兩兩不同，所以（9分）（）l（A）存在最小值，且最小值為2n3不妨設(shè)a1a2a3an，可得a1+a2a1+a3a1+ana2+anan1+an，所以ai+aj（1ijn）中至少有2n3個(gè)不同的數(shù)，即l（A）2n3事實(shí)上，設(shè)a1，a2，a3，an成等差數(shù)列，考慮ai+aj（1ijn），根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，當(dāng)i+jn時(shí)，ai+aja1+ai+j1；當(dāng)i+jn時(shí)，ai+ajai+jn+an；因此每個(gè)和ai+aj（1ijn）等于a1+ak（2kn）中的一個(gè)，或者等于al+an（2ln1）中的一個(gè)所以對(duì)這樣的A，l（A）2n3，所以l（A）的最小值為2n3 21 A選修41：幾何證明選講【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】證明：因?yàn)闉閳A的切線，弧所對(duì)的圓周角為，所以 又因?yàn)闉榘雸A的直徑，所以又BDCD，所以 由得，所以B選修42：矩陣與變換【答案】【解析】由題意，則 因?yàn)?，則 所以矩