重慶高三數(shù)學報告會材料教案：09評析與教學指導意見

2009年普通高校招生考試重慶數(shù)學試題評析與教學指導意見一、命題范圍及試卷結構本次考試的命題范圍是全日制普通高中數(shù)學必修課和選修課的全部內(nèi)容。本次試題充分考慮了文理科學生的實際情況，拉大了文理科試題的差異，既體現(xiàn)了個性，也體現(xiàn)了共性，文理科試題差異個數(shù)見下表。文理科試題差異個數(shù)相同題姊妹題不同題題目總數(shù)021921本次試卷結構和分值分布文理科完全相同，與去年比較，有一定變化，且分值安排偏向于學生容易得分的題目，參見下表。2009年2008年題目個數(shù)分值分布題目個數(shù)分值分布文科理科文科理科選擇題10每個5分，共50分1210每個5分，共60分每個5分，共50分填空題5每個5分，共25分46每個4分，共16分每個4分，共24分解答題6前3個各13分，后3個各12分，共75分66前2個各13分，后4個各12分，共74分前4個各13分，后2個各12分，共76分二、命題原則及指導思想今年重慶高考數(shù)學試題，按照國家教育部考試中心2009年制定的數(shù)學考試大綱的要求，嚴格遵循現(xiàn)行中學數(shù)學教學大綱的規(guī)定，力求發(fā)揮三個有利有利于高校選撥優(yōu)秀人才，有利于全體學生正常發(fā)揮水平，有利于指導中學數(shù)學教學。充分體現(xiàn)“以四基為本，深化能力立意，積極改革創(chuàng)新，注重導向作用”的命題指導思想，并希望能對中學數(shù)學教學如何實施素質(zhì)教育和培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識與實踐能力方面產(chǎn)生良好的影響。三、試題的特點1.突出數(shù)學本質(zhì)，注重數(shù)學思想方法的考查本次考題不偏不怪，常規(guī)常見，題面敘述平適近人，數(shù)學味較濃，淡化非數(shù)學成分，不少試題體現(xiàn)了對數(shù)量關系和空間形式的要求，突出了數(shù)學本質(zhì)的考查。著重考查了數(shù)學考試大綱中所要求的幾種重要的數(shù)學思想方法，如函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結合的思想、分類與整合的思想、化歸與轉化的思想、特殊與一般的思想、有限與無限的思想、或然與必然的思想、運動變換思想等。如文科第1、5、9、10、12、15、16、19、20題，理科第1、5、8、10、12、15、16、18、20題就要用到函數(shù)與方程的思想去解決；文科第1、9、10、15、16、18、20題，理科第1、5、9、10、15、16、19、20、21題就可用數(shù)形結合思想去解決；文科第8、9、17、21題，理科第6、10、13、17、18、21題就用到分類與整合的思想；文科第20、21題，理科第14、21題考查了特殊與一般的數(shù)學思想方法；文科第21題，理科第8、21題考查了有限與無限的思想；文科第8、17題，理科第6、17題滲透了或然與必然的思想；而化歸與轉化的思想幾乎滲透到了每一個題之中。今年的一個顯著亮點是對運動變換思想進行了重點考查，如文理科第10、16（2）、20（2）題等。2.體現(xiàn)以知識為載體，能力為中心的考查中學數(shù)學中所學的基礎知識、基本技能和基本數(shù)學思想方法是學生繼續(xù)深造的基礎，也是培養(yǎng)學生數(shù)學能力的前提。本次文理試題各個題目都是以相應的基本知識為載體的，不可能脫離基礎知識而獨立存在，因而所有的題目都體現(xiàn)了對基礎知識的考查。基本技能是指對變形、代換、推理、計算等技巧所掌握的熟練程度，如文理科選擇題的前8個，文理科填空題的前4個，文理科解答題第16、17、18（1）、19（1）、20（1）、21（1）題，只要平時基礎扎實的學生都能快速作答。特別對重點知識函數(shù)、數(shù)列與不等式、三角、概率統(tǒng)計、解析幾何、立體幾何進行了重點考查，如下表所示。內(nèi)容函數(shù)、導數(shù)數(shù)列與不等式解析幾何立體幾何三角排列、組合、概率統(tǒng)計二項式向量集合、簡易邏輯線性規(guī)劃極限復數(shù)題號文10、12、19、5、7、211、15、209、186、168、13、14、17342、11/理10、12、185、14、211、15、209、197、166、13、173411/82分值文2222221818285510/理232222171823555/55這次考試題以邏輯思維能力為核心，對學生的數(shù)學能力、創(chuàng)新意識和實踐能力進行了較為全面的考查，并能體現(xiàn)對數(shù)學理性思維的考查?？疾榱怂季S、運算、應用等幾方面的能力，著重考查學生的理解、判斷、分析、轉化的能力，有的題目綜合程度較高，解題思路清新，側重考查學生的數(shù)學思維與創(chuàng)造能力以及解決實際問題的能力，需要學生在知識理解和方法掌握的基礎上，綜合思考，靈活解題。例如文理科第9、10、15、20、21題等。3.以重點知識為核心，突出數(shù)學學科自身內(nèi)容的基本聯(lián)系從上表可以看出，這次試題覆蓋考試范圍的知識點比較多，幾乎涉及所考范圍的全部知識點，文理科僅有線性規(guī)劃和球的內(nèi)容未出現(xiàn)。本次試題力求從整體的高度去設計試題，以重點知識為核心，努力在幾個知識層面的交匯處命題，以檢驗學生能否形成一個有序的網(wǎng)絡化知識體系，并從中提取相關的信息，靈活地解決問題。文理科選擇填空題一般涉及25個知識點，解答題涉及的知識點更多。如文科第10題以函數(shù)為依托，主要考查了函數(shù)圖象的平移、一元二次方程、不等式恒成立及利用導數(shù)求函數(shù)的最值，同時考查函數(shù)與方程的思想、化歸與轉化的思想等；理科第10題以函數(shù)為主線，主要考查函數(shù)的周期性、分段函數(shù)、直線與橢圓的位置關系等，同時考查數(shù)形結合的思想、化歸與轉化的思想以及對學生的運算能力提出了較高要求。文理科第15題以橢圓、雙曲線為背景，主要考查橢圓和雙曲線的定義、離心率、幾何性質(zhì)，不等式的解法，同時考查化歸與轉化的思想、方程的思想、數(shù)形結合的思想及邏輯思維能力。文理科第16題以三角函數(shù)內(nèi)容為核心，主要考查同角三角函數(shù)基本關系、二倍角及兩角和差的三角公式、三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對稱性和圖象平移，以及考查轉化的思想、運算能力與綜合分析、解決問題的邏輯思維能力。文理科第17題以實際問題為背景、以概率統(tǒng)計知識為核心，主要考查對立事件、相互獨立事件的概率、獨立重復試驗、離散性隨機變量的分布列（二項分布）與期望，以及考查綜合計算方法和能力。文科第19題和理科第18題以函數(shù)內(nèi)容為核心，主要考查函數(shù)的奇偶性、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性以及不等式的基礎知識，同時考查了分類討論思想、轉化思想及邏輯思維能力。文科第18題和理科第19題抓住了立體幾何內(nèi)各主要知識點的基本聯(lián)系，主要考查三垂線定理、二面角、空間直線與平面的垂直與平行的判定與性質(zhì)定理的應用，以及考查空間想象力、邏輯思維能力及轉化的思想，或考查利用空間向量求解距離和角。文理科第20題以解析幾何的內(nèi)容為核心，主要考查雙曲線和橢圓的定義、標準方程、幾何性質(zhì)、圓的方程、中點坐標公式、平面向量的基本運算、不等式的性質(zhì)，同時考查轉化的思想、方程的思想、數(shù)形結合的思想等數(shù)學思想及“待定系數(shù)”、“設而不求”與“整體消元”的方法，對學生的運算能力也提出了較高要求。文理科第21題以數(shù)列與不等式的交匯為紐帶，構建成高考綜合解答題作為壓軸的典型試題，往往難度較大，主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列關于通項及前項和的基本運算、遞推數(shù)列、不等式性質(zhì)、絕對值不等式、均值不等式的應用，同時考查轉化思想、方程思想、分類討論思想及反證法、放縮法，考查邏輯思維能力、運算能力和創(chuàng)新意識。以上這些題目都較好地凸現(xiàn)出在數(shù)學學科各知識點的交匯處命題的基本思想，雖不刻意追求知識覆蓋面，但在各知識點交匯處命題，突出能力立意這也是我們今后命題的一個非常重要的方向。4.引導師生關注當?shù)噩F(xiàn)實，體現(xiàn)數(shù)學實際應用這次考試題文科第8、13、17題和理科第6、13、17題都是關于排列、組合、概率與統(tǒng)計的實際應用問題，共計23分，所占比例適當，問題背景涉及當前重慶現(xiàn)實的有：大學生到鄉(xiāng)鎮(zhèn)當村官、移栽大樹來綠化環(huán)境；貼近學生生活實際的有：籃球隊的分組、排隊中的不相鄰、舀取湯圓個數(shù)等。這些問題對數(shù)學建模的要求適當，難度與運算量較為適度，較好地體現(xiàn)了考查數(shù)學應用的功能，對學生的閱讀理解能力有較高要求。同時可以檢測學生理解新事物、新信息的能力，增強學生應用數(shù)學的意識，充分體現(xiàn)了對學生實踐能力的要求。5.梯度區(qū)分度較合理，有利于大多數(shù)學生正常發(fā)揮水平本次數(shù)學試題文科平均70.57分，及格率34.44%，優(yōu)生率3.64%，理科平均84.40分，及格率45.92%，優(yōu)生率6.83%。理科滿分1人，文科無滿分獲得者，文科學生分數(shù)集中在30分至110分之間，理科學生分數(shù)集中在60分至120分之間，這些數(shù)據(jù)說明今年高考數(shù)學試題的區(qū)分度是較為合理和理想的。需要說明的是文科考生在去年的基礎上增加了五千人左右，因此文科試題平均分不高，略為偏難。從整套試題來看中檔題居多，基礎題偏少，難題偏難，因此這既符合考綱中全卷應以中等題為主的方針，又大大提高了全卷的區(qū)分度。選擇題中文科的前6個，理科的前7個，填空題中文理科的前4個，解答題中文理科的前2個是較為容易的題目。文理科選擇題最后2個，填空題最后1個，文理科解答題倒數(shù)兩個的第2小題都是有一定難度的，而且不少解答題（1）小問容易，（2）小問較難。嚴格遵循考試大綱，注重基本知識、基本技能和基本的數(shù)學思想方法的考查，大多數(shù)題目是常規(guī)常見題，較好的體現(xiàn)了循序漸進，入手寬，深入難，分步設防，多層次，多題把關的設題思路，使不同層次的學生都能下筆答題，獲得較為理想的成績，這樣區(qū)分度才會自然提高。應該說這是今后高考命題在難度控制上的一個參照。6.注意縱向橫向聯(lián)系，體現(xiàn)初高中、新舊課程內(nèi)容的銜接今年高考試題緊密結合初高中課改進程，汲取了新課程中的新思想、新理念，并注意從內(nèi)容上相銜接。第一，注重對新增內(nèi)容的考查，特別是對新課改要求比較高的內(nèi)容的考查。如文理科第4題和理科第7、20（2）題是對平面向量的有關內(nèi)容進行考查；文科第14題和理科第17（2）題是對統(tǒng)計內(nèi)容進行考查；文科第8、17題和理科第6、17（1）題是對概率的內(nèi)容進行考查；文科第10、19題和理科第8、18題是對導數(shù)及其應用與函數(shù)極限的相關知識的考查，更為重要的是考綱中“理解可導函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關系”得到了重點體現(xiàn)。新增內(nèi)容文科分值約占40分左右，理科分值約占53分左右，比例遠遠高于在平常教學課時中所占比例，其中統(tǒng)計與概率、導數(shù)、極限這些內(nèi)容在當今小學、初高中的新課改中是要求相當高的。第二，注意初高中新課程對圖象變換、函數(shù)與方程等內(nèi)容的要求。初中舊教材對圖形變換要求較低，現(xiàn)在初中數(shù)學新課程對圖形的平移、對折（對稱）、旋轉、相似等變換作了高要求，不僅從幾何的角度去研究，還從坐標的角度去研究這些變換，為我們高中數(shù)學學習打下了堅實的基礎；高中數(shù)學新課程對函數(shù)與方程的內(nèi)容比過去要求更高，要求學生了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解等。上述這些內(nèi)容在這次考題中都有所體現(xiàn)，如文理科第10題不僅體現(xiàn)了對圖象變換的考查，而且體現(xiàn)了對函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系的考查，對圖象變換內(nèi)容考查的還有：文科第16（2）、20（2）題，理科第9、16（2）、20（2）題，突出了對運動變換思想的考查，加大了“變”與“不變”的轉換，提高了空間思維的含量，不避免地增加了解決這些問題的難度。第三，注意與初中數(shù)學新課程的內(nèi)容相銜接，盡量在高考題中不出現(xiàn)初中未學過內(nèi)容的運用。如立方和（差）公式、高次方程（組）的求解、分組分解法等等。四、改進命題工作的幾點思考1.起點題的難度偏高，全卷運算量較大。這次送分的基礎題是常規(guī)常見題，但考查的知識點較多，且每道題都有一定量的運算，致使相當一部分學生在前面花費了不少時間，后面能夠解決的一些問題因時間不夠而望題興嘆。如文科第1題（選擇題第一題）平均3.94分，比后面的第2、3、4題的平均分都低，文科第11題（填空題第一題）平均3.07分，比后面的第12題的平均分低，文科第16題（解答題第一題）平均6.84分，比后面的第17題的平均分低，理科的第2題（選擇題第二題）平均4.47分，比后面的第3、4題的平均分低，理科的第16題（解答題第一題）平均7.98分，比后面的第17題的平均分低，這些充分說明，起點題的分數(shù)要送就送到手，不要害怕題簡單，畢竟存在大量中下學生參加高考。另外，這次考題對學生的運算水平進行了一次大檢驗，算得有點叫人難受，有用運算量來增加難度的感覺。如文科除第2、11題外，理科除第1、9題外，其余每道題都有一定量的運算，有些題的運算量真是不算不知道，一算嚇一跳。如文科第8、9、15題和20題的求點的坐標等，理科第6、10、15、20（2）題等。希望今后能夠控制每個題的運算量，增大思考的力度，不在運算上兜圈子，多設置一些“一眼望穿”的有一定思維含量的題目。2.個別知識點考查過多，有重復考查之嫌。本次考試對組合內(nèi)容、平面向量的數(shù)量積考查較多，兩次出現(xiàn)“至少”一詞。如理科第6、13、17題都對組合內(nèi)容進行了考查，且理科第6、13題都出現(xiàn)了“至少”一詞，理科涉及平面向量的數(shù)量積有第4、7、20（2）題。由此建議盡量在同一試卷中避免同一知識點的多次考查。3.少數(shù)題目結構不盡合理，有畫蛇添足、人為制造難度之嫌。如文科第20題的第2小題本來求的最小值就行了，但還要求學生求此時點的坐標就顯得多余了，并且求解點的坐標并非易事，要解二元二次方程組運算量較大，其結果也不簡捷，況且初中數(shù)學新課程對二元二次方程組也不作要求了。又如理科第20題的第1小題要先求出已知橢圓的方程，才能求的最大值，而的最大值與本題第2小題毫無關系，但橢圓的方程對第2小題有直接影響，因此，本題不如把第1小題改為求橢圓的方程，這樣設計就顯得題目結構和諧完美。4.文理科填空題、立幾解答題難度偏大，壓軸題的難度可適當再降低。文科填空題沒有一個題的難度值在0.7以上，后面三個填空題難度值在0.5以下，難度值最低為0.01，難得不可想象；理科填空題后面三個的難度值都在0.5以下，難度值最低為0.08，也不令人滿意。文科立幾第18題難度值為0.25，其難度與壓軸題的難度相當，這也是文科學生的空間想象能力較差所致；理科立幾第19題難度值為0.44，也不容樂觀。文科第20、21題的難度值分別為0.24、0.18；理科第20、21題的難度值分別為0.30、0.07，這些說明文理科最后兩個解答題的難度值都在0.3及以下，特別是理科最后一題屬超難題，有形同虛設之感。實際上，今年文理科第20題的難度已經(jīng)是最后壓軸題的難度了，建議今后文理科最后一道壓軸題的難度能夠保持在0.2左右就較為理想了。五、統(tǒng)計數(shù)據(jù)下面統(tǒng)計數(shù)據(jù)均不包括零分和缺考人數(shù)。通過近三年統(tǒng)計數(shù)據(jù)的各項指標來看，文理科數(shù)學試題有逐年難度加大的趨勢，要實現(xiàn)重慶卷在難度上保持相對穩(wěn)定的目標，還有待命題者們繼續(xù)努力。從統(tǒng)計表中還看到今年文、理科試卷整體的信度較高，標準差適中，區(qū)分度較好，但個別題目需調(diào)整完善。如文科的第8、9、10、14、15題和理科的第9、10題區(qū)分度明顯偏低。題號12345678910總計滿分555555555550平均分3.944.434.134.113.283.503.432.352.382.1733.72難度值0.790.890.830.820.660.700.690.470.480.430.674標準差2.041.591.891.912.372.292.322.502.502.48區(qū)分度0.540.410.560.470.590.520.400.110.180.24表一：文科選擇題統(tǒng)計數(shù)據(jù)表題號12345678910總計滿分555555555550平均分4.674.474.534.704.203.903.672.762.651.8537.40難度值0.930.890.910.940.840.780.730.550.530.370.748標準差1.231.541.451.181.842.072.212.492.502.41區(qū)分度0.340.390.480.390.460.360.400.480.290.11表二：理科選擇題統(tǒng)計數(shù)據(jù)表表三：文科填空題統(tǒng)計數(shù)據(jù)表題號1112131415總計滿分5555525平均分3.073.422.200.870.069.64難度值0.610.680.440.170.010.39標準差2.432.322.481.900.555.95區(qū)分度0.490.600.580.260.170.78表四：理科填空題統(tǒng)計數(shù)據(jù)表題號1112131415總計滿分5555525平均分4.413.172.271.270.4011.51難度值0.880.630.450.250.080.46標準差1.612.412.492.181.355.85區(qū)分度0.450.540.440.390.360.76表五：文科解答題統(tǒng)計數(shù)據(jù)表題號161718192021總計滿分13131312121275平均分6.847.093.264.952.932.1627.23難度值0.530.550.250.410.240.180.363標準差5.075.484.325.032.561.63區(qū)分度0.850.810.680.830.790.67表六：理科解答題統(tǒng)計數(shù)據(jù)表題號161718192021總計滿分13131312121275平均分7.9810.497.255.343.540.8835.48難度值0.610.810.560.440.300.070.473標準差3.853.784.534.042.861.64區(qū)分度0.760.710.790.680.700.48表七：文理科數(shù)學成績分段人數(shù)統(tǒng)計表文科（64480人）理科（106046人）110分10801.67%3880.37%1120分32935.10%13981.32%2130分47997.43%22722.14%3140分53468.28%30822.91%4150分55738.63%45624.30%5160分54428.43%68036.41%6170分50847.88%100039.43%7180分55848.65%1346212.69%8190分653710.13%1627015.34%91100分752811.66%1664715.69%101110分725611.24%1431713.50%111120分48507.51%100449.47%121130分17942.78%51464.85%131140分3600.56%15621.47%141150分280.04%1180.11%表八：文理科數(shù)學全卷成績統(tǒng)計數(shù)據(jù)表項目平均分標準差信度難度及格率優(yōu)生率最高分有效分專一三本二本重點文科2007年76.170.50840%14984921041212008年74.0036.050.9120.49337.13%12.31%14783901051242009年70.5732.120.9130.47134.44%3.64%147808797.5112理科2007年90.830.60660%150941001061172008年87.5030.690.9040.58353.58%12.96%15091971031142009年84.4026.010.8700.56345.92%6.83%150848995106.5六、對中學數(shù)學教學的幾點建議1.學習數(shù)學科考試大綱，明確要求通過學習考試說明，明確考試的性質(zhì)、內(nèi)容、形式與基本結構。研究每一年考試大綱的變化及對高考試題的影響。特別是重慶將發(fā)布的有關考試說明是我們復習備考的重要依據(jù)，要逐條落實考試內(nèi)容，有針對性的培養(yǎng)綜合考試所要求的五種能力，即思維能力、運算能力、空間想象能力以及實踐能力和創(chuàng)新意識。同時要明確今年高考在內(nèi)容、難度和題型要求上將要發(fā)生的變化，哪些內(nèi)容被刪去了，哪些內(nèi)容降低了要求，哪些內(nèi)容是增加的，都要做到心中有數(shù)。另外注意教育部頒布的普通高中數(shù)學課程標準，將引領數(shù)學教學改革與高考改革的方向。2.精心研究新教材，有的放矢與舊教材相比較，新教材增加了簡易邏輯，平面向量，概率與統(tǒng)計，函數(shù)極限與導數(shù)等內(nèi)容，刪減了冪函數(shù)，指對數(shù)方程，三角函數(shù)中的部分公式及反三角函數(shù)，指對數(shù)不等式與無理不等式，復數(shù)的三角形式，坐標平移，參數(shù)方程與極坐標方程等舊教材中學生普遍感到學習困難的內(nèi)容，對不等式的證明，立體幾何中的論述，解析幾何中的圓錐曲線性質(zhì)等熱點內(nèi)容的教學要求也有所降低；高三文科選修，理科選修的內(nèi)容也有很大的差異，教學目標也極不相同；新教材同時還增加了實習作業(yè)、閱讀材料、研究性學習課題等三塊內(nèi)容，這些極有可能成為高考數(shù)學命題的背景材料。近年高考數(shù)學試題緊密結合新教材內(nèi)容，新增加的內(nèi)容占了很大的比例，一般都高于它們在課時中所占的比例，而且要與傳統(tǒng)內(nèi)容相結合命題，如函數(shù)的極限、導數(shù)（利用導數(shù)可確定函數(shù)的單調(diào)性和最值）與函數(shù)的傳統(tǒng)內(nèi)容相結合，平面向量與解析幾何相結合，簡易邏輯與函數(shù)、不等式、方程等的結合，線性規(guī)劃與函數(shù)、不等式、方程的結合，概率統(tǒng)計與排列組合的結合等。3.強化“四基”的教學與訓練，夯實基礎所謂“四基”就是指基礎知識、基本技能、基本數(shù)學思想方法和基本數(shù)學活動經(jīng)驗，從今年高考數(shù)學試題可見“出活題、考基礎、考能力”仍是命題的主導思