橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程第八章教材分析

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程第八章教材分析教學(xué)目的：1.使學(xué)生理解軌跡與軌跡方程的區(qū)別與聯(lián)系2.使學(xué)生掌握轉(zhuǎn)移法（也稱代換法，中間變量法，相關(guān)點(diǎn)法）求動點(diǎn)軌跡方程的方法與橢圓有關(guān)問題的解決教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用中間變量法求動點(diǎn)的軌跡教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用中間變量法求動點(diǎn)的軌跡授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1 橢圓定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距 注意:橢圓定義中容易遺漏的兩處地方：（1）兩個(gè)定點(diǎn)-兩點(diǎn)間距離確定（2）繩長-軌跡上任意點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和確定在同樣的繩長下，兩定點(diǎn)間距離較長，則所畫出的橢圓較扁（線段）兩定點(diǎn)間距離較短，則所畫出的橢圓較圓（圓）橢圓的形狀與兩定點(diǎn)間距離、繩長有關(guān)(為下面離心率概念作鋪墊)2.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)是，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方程 其中（2）它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)是,中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方程 其中在與這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有的要求，如方程就不能肯定焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上；分清兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，可與直線截距式類比，如中，由于，所以在軸上的“截距”更大，因而焦點(diǎn)在軸上(即看分母的大小) 二、講解范例：例1 如圖，已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向軸作垂線段PP，求線段PP的中點(diǎn)M的軌跡（若M分 PP之比為，求點(diǎn)M的軌跡）解：（1）當(dāng)M是線段PP的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為 因?yàn)辄c(diǎn)在圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)半徑為2的圓上，所以有 ，即 所以點(diǎn)的軌跡是橢圓，方程是 （2）當(dāng)M分 PP之比為時(shí)，設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為 因?yàn)辄c(diǎn)在圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)半徑為2的圓上，所以有 ，即 所以點(diǎn)的軌跡是橢圓，方程是 例2 已知軸上的一定點(diǎn)A（1,0），Q為橢圓上的動點(diǎn)，求AQ中點(diǎn)M的軌跡方程解：設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為 因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，所以有 ，即所以點(diǎn)的軌跡方程是 例3 長度為2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在軸、軸上滑動，點(diǎn)M分AB的比為，求點(diǎn)M的軌跡方程解：設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為 的坐標(biāo)為 因?yàn)?，所以?，即所以點(diǎn)的軌跡方程是 例4 已知定圓，動圓M和已知圓內(nèi)切且過點(diǎn)P(-3，0)，求圓心M的軌跡及其方程 分析：由兩圓內(nèi)切，圓心距等于半徑之差的絕對值 根據(jù)圖形，用數(shù)學(xué)符號表示此結(jié)論： 上式可以變形為，又因?yàn)?，所以圓心M的軌跡是以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓 解 已知圓可化為：圓心Q(3，0)，所以P在定圓內(nèi) 設(shè)動圓圓心為，則為半徑 又圓M和圓Q內(nèi)切，所以，即 ，故M的軌跡是以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓，且PQ中點(diǎn)為原點(diǎn)，所以，故動圓圓心M的軌跡方程是： 三、課堂練習(xí)：（1）已知橢圓上一點(diǎn)P到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是 （ ）A.2 B.3 C.5 D.7 答案：D（2）已知橢圓方程為,那么它的焦距是 （ ）A.6 B.3 C.3 D. 答案：A（3）如果方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是 A.（0，+） B.(0,2)C.(1,+) D.(0,1) 答案：D(4)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），并且經(jīng)過點(diǎn)P（），則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是_ 答案：（5）過點(diǎn)A（-1，-2）且與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)相同的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是_ 答案：（6）過點(diǎn)P（，-2），Q（-2，1）兩點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是_答案：四、小結(jié) ：用轉(zhuǎn)移法求軌跡方程的方法 轉(zhuǎn)移法是在動點(diǎn)的運(yùn)動隨著另一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動而運(yùn)動，而另一個(gè)點(diǎn)又在有規(guī)律的曲線上運(yùn)動，這種情況下才能應(yīng)用的，運(yùn)用這種方法解題的關(guān)鍵是尋求兩動點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系 五、課后作業(yè)：1已知圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向軸作垂線段，求線段的中點(diǎn)M的軌跡.選題意圖：訓(xùn)練相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的方法，考查“通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)”這一解析幾何基本思想.解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.P在圓上，即.點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓2ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是B(0，6)和C(0，-6)，另兩邊AB、AC的斜率的乘積是-，求頂點(diǎn)A的軌跡方程.選題意圖：鞏固求曲線方程的一般方法，建立借助方程對應(yīng)曲線后舍點(diǎn)的解題意思，訓(xùn)練根據(jù)條件對一些點(diǎn)進(jìn)行取舍.解：設(shè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為.依題意得 ，頂點(diǎn)A的軌跡方程為 .說明：方程對應(yīng)的橢圓與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，而此兩交點(diǎn)為（，）與(0，6)應(yīng)舍去.3已知橢圓的焦點(diǎn)是，為橢圓上一點(diǎn)，且是和的等差中項(xiàng).(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)P在第三象限，且120，求.選題意圖：綜合考查數(shù)列與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)知識，靈活運(yùn)用等比定理進(jìn)行解題.解：(1)由題設(shè)4， 2c=2， 橢圓的方程為.（）設(shè)，則60由正弦定理得：由等比定理得：整理得： 故.說明：曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)連線構(gòu)成的三角形稱曲線三角形，與曲線三角形有關(guān)