3.2 狀態(tài)轉移矩陣計算ppt課件

.,Ch.3線性系統(tǒng)的時域分析,.,目錄(1/1),目錄概述3.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解3.2狀態(tài)轉移矩陣及其計算3.3線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解3.4線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化3.5線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解3.6Matlab問題本章小結,.,狀態(tài)轉移矩陣計算(1/1),3.2狀態(tài)轉移矩陣計算在狀態(tài)方程求解中,關鍵是狀態(tài)轉移矩陣(t)的計算。對于線性定常連續(xù)系統(tǒng),該問題又歸結為矩陣指數函數eAt的計算。上一節(jié)已經介紹了基于拉氏反變換技術的矩陣指數函數eAt的計算方法,下面講述計算矩陣指數函數的下述其他3種常用方法。級數求和法約旦規(guī)范形法化eAt為A的有限多項式矩陣函數法,重點推薦,.,級數求和法(1/3),3.2.1級數求和法由上一節(jié)對矩陣指數函數的定義過程中可知:,矩陣指數函數eAt的計算可由上述定義式直接計算。由于上述定義式是一個無窮級數,故在用此方法計算eAt時必須考慮級數收斂性條件和計算收斂速度問題。類似于標量指數函數eat,對所有有限的常數矩陣A和有限的時間t來說,矩陣指數函數eAt這個無窮級數表示收斂。,.,級數求和法(2/3),顯然,用此方法計算eAt一般不能寫成封閉的、簡潔的解析形式,只能得到數值計算的近似計算結果。其計算精度取決于矩陣級數的收斂性與計算時所取的項數的多少。如果級數收斂較慢,則需計算的級數項數多,人工計算是非常麻煩的,一般只適用于計算機計算。因此,該方法的缺點:計算量大精度低非解析方法,難以得到計算結果的簡潔的解析表達式。,.,級數求和法(3/3)例3-4,例3-4用直接計算法求下述矩陣的矩陣指數函數:,解按矩陣指數函數的展開式計算如下:,.,約旦規(guī)范形法(1/8),3.2.2約旦規(guī)范形法上節(jié)給出了對角線矩陣、塊對角矩陣和約旦塊三種特殊形式矩陣的矩陣指數函數。由于任何矩陣都可經線性變換成為對角線矩陣或約旦矩陣,因此可通過線性變換將一般形式的矩陣變換成對角線矩陣或約旦矩陣,再利用上述特殊形式矩陣的矩陣指數函數來快速計算矩陣矩陣指數函數。下面討論之。,.,約旦規(guī)范形法(2/8),下面首先討論矩陣指數函數的一條性質:對矩陣A,經變換矩陣P作線性變換后,有則相應地有如下矩陣指數函數的變換關系,.,約旦規(guī)范形法(3/8),根據上述性質,對矩陣A,可通過線性變換方法得到對角線矩陣或約旦矩陣,然后利用該類特殊矩陣的矩陣指數函數,由矩陣指數函數的變換關系來求原矩陣A的矩陣指數函數。,該結論可簡單證明如下:,.,約旦規(guī)范形法(4/8)例3-5,例3-5試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數函數,解1.先求A的特征值。由特征方程可求得特征值為1=-12=-23=-32.求特征值所對應的特征向量。由前述的方法可求得特征值1,2和3所對應的特征向量分別為p1=101p2=124p3=169,.,約旦規(guī)范形法例3-5,故將A變換成對角線矩陣的變換矩陣P及其逆陣P-1為,3.由系統(tǒng)矩陣和矩陣指數函數的變換關系,分別有,.,約旦規(guī)范形法例3-6,例3-6試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數函數,.,約旦規(guī)范形法(7/8)例3-6,解1.先求A的特征值。由特征方程可求得特征值為1=22=3=-12.由于矩陣A為友矩陣,故將A變換成約旦矩陣的變換矩陣P和其逆陣P-1分別為,3.由系統(tǒng)矩陣和矩陣指數函數的變換關系,分別有,.,約旦規(guī)范形法(8/8)-例3-6,.,塞爾維斯特內插法(1/1),3.2.3塞爾維斯特內插法在討論塞爾維斯特(Sylvester)內插法計算矩陣指數函數eAt時,需要用到關于矩陣特征多項式的凱萊-哈密頓(Cayley-Hamilton)定理以及最小多項式的概念。因此,首先給出凱萊-哈密頓定理及最小多項式的概念,再討論塞爾維斯特內插法。下面依次介紹:凱萊-哈密頓定理最小多項式塞爾維斯特內插法計算矩陣指數函數,.,凱萊-哈密頓定理(1/4),1.凱萊-哈密頓定理凱萊-哈密頓定理是矩陣方程分析和求解中非常重要的定理,其表述和證明如下。定理3-1(凱萊-哈密頓定理)設nn矩陣A的特征多項式為f()=|I-A|=n+a1n-1+an-1+an則矩陣A必使由上述特征多項式決定的矩陣多項式函數f(A)=An+a1An-1+an-1A+anI=0上述特征多項式亦稱為矩陣A的零化特征多項式。,.,凱萊-哈密頓定理(2/4),證明因為I=(I-A)-1(I-A)=adj(I-A)/|I-A|(I-A)故|I-A|I=adj(I-A)(I-A)由伴隨矩陣的定義可知,伴隨矩陣adj(I-A)可表示為如下多項式矩陣函數:adj(I-A)=n-1I+n-2B2+Bn-1+Bn其中矩陣B2,B3,Bn為nn維的常數矩陣。,.,凱萊-哈密頓定理(3/4),因此由前面兩式,有(n+a1n-1+an-1+an)I=(n-1I+n-2B2+Bn-1+Bn)(I-A)整理得(n+a1n-1+an-1+an)I=nI+(B2-A)n-1+(Bn-Bn-1A)-BnA,.,凱萊-哈密頓定理(4/4),上式中,令等號兩邊的同冪次項的系數相等,則有a1I-B2+A=0a2I-B3+AB2=0an-1I-Bn+ABn-1=0anI+ABn=0因此,將上述各等式從上至下依次右乘以An-1,A,I,然后將各等式相加,即得An+a1An-1+an-1A+anI=0故矩陣A滿足其本身的零化特征多項式。,.,最小多項式(1/3),2.最小多項式根據凱萊-哈密爾頓定理,任一nn維矩陣A滿足其自身的特征方程,即特征多項式為A的一個零化多項式。然而特征多項式不一定是A的最小階次的零化多項式。將矩陣A滿足的最小階次的首一零化多項式稱為最小多項式,也就是說,定義nn維矩陣A的最小多項式為滿足(A)=Am+1Am-1+m-1A+mI=0,mn的階次最低的首一多項式()=m+1m-1+m-1+m,.,最小多項式(2/3),最小多項式在矩陣多項式的分析與計算中起著重要作用。定理3-2給出了特征多項式與最小多項式的關系。定理3-2設首一多項式d()是I-A的伴隨矩陣adj(I-A)的所有元素的最高公約式,則最小多項式為,.,最小多項式(3/3),證明由假設知,矩陣adj(I-A)的最高公約式為d(),故adj(I-A)=d()B(),式中,B()的n2個元素(為的函數)的最高公約式為1。由于(I-A)adj(I-A)=|I-A|I可得d()(I-A)B()=|I-A|I由上式可知,特征多項式|I-A|可被整除d()。因此設d()整除|I-A|得到的因式記為(),故有|I-A|=d()(),.,最小多項式(4/3),由于首一多項式d()的最高階次的系數為1,所以()的最高階次的系數也應為1。因此,綜合上兩式,可得(I-A)B()=()I因而(A)=0即()亦為A的零化多項式。設()為A的最小多項式,因此零化多項式()可寫為()=g()()+e()其中g()和e()分別是多項式()除以()的商和余項,且e()的階次低于()。,.,最小多項式(5/3),由于(A)=0和(A)=0,所以必然有e(A)=0。考慮到()為矩陣A的最小多項式,所以不存在比()階次還低的A的零化多項式,故e()必為零,即有()=g()()又因為(A)=0,所以()可寫為()I=(I-A)H()式中,H()為()的一個因子矩陣,故()I=g()()I=g()(I-A)H()將上式與(I-A)B()=()I比較,有B()=g()H(),.,最小多項式(6/3),又因為B()的n2個元素的最高公約式為1,因此g()=1于是()=()因此,由前面證明的|I-A|=d()()而證明了最小多項式()為,.,最小多項式(7/3),根據上述定理3-2,nn維矩陣A的最小多項式可按以下步驟求出。1)根據伴隨矩陣adj(I-A),寫出作為的因式分解多項式的adj(I-A)的各元素;2)確定作為伴隨矩陣adj(I-A)各元素的最高公約式d()。選取d()的最高階次系數為1。如果不存在公約式,則d()=1;3)最小多項式()可由|I-A|除以d()得到。,.,塞爾維斯特內插法計算矩陣指數函數(1/4),3.塞爾維斯特內插法計算矩陣指數函數基于最小多項式(或特征多項式),塞爾維斯特內插法可以非常簡潔、快速地計算出矩陣指數函數,其計算思想與過程可描述如下。若()=m+1m-1+m-1+m為矩陣A的最小多項式,則由(A)=0有Am=-1Am-1-m-1A-mI即Am可用有限項Am-1,A,I的線性組合來表示。,.,塞爾維斯特內插法計算矩陣指數函數(2/4),將上式兩邊乘以矩陣A,則有即Am+1可用有限項Am-1,A,I的線性組合來表示。,.,塞爾維斯特內插法計算矩陣指數函數(3/4),依次類推,則可知,Ai(im)可用有限項Am-1,A,I的線性組合來表示。因此,我們有,其中i(t)(i=0,1,m-1)為待定的關于時間t的函數。即,矩陣指數函數eAt亦可以用有限項Am-1,A,I的線性函數組合表示。,.,塞爾維斯特內插法計算矩陣指數函數(4/4),利用上式去計算矩陣指數函數eAt的關鍵是如何計算待定函數i(t)。下面分A的特征值互異A有重特征值兩種情況來討論如何計算i(t)以及eAt。,.,A的特征值互異(1/4),(1)A的特征值互異設矩陣A的n個互異特征值為1,2,n,則矩陣A的最小多項式()等于特征多項式f()=|I-A|=n+a1n-1+an-1+an。因系統(tǒng)的所有特征值i使特征多項式f(i)=0,故與前面證明過程類似,我們亦有,其中待定函數i(t)(i=0,1,n-1)與矩陣指數函數eAt的表達式中的i(t)一致。,.,A的特征值互異(2/4),因此,可得如下待定函數i(t)(i=0,1,n-1)的線性方程組:,求解上述方程得函數i(t)后,由式(3-49)可計算得矩陣指數函數eAt。,.,A的特征值互異(3/4)-例3-7,例3-7試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數函數,解由于矩陣A的3個特征值互異,并分別為-1,-2和-3,因此解方程組(3-52)可得,.,A的特征值互異(4/4),則系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣為,.,A有重特征值(1/4),(2)A有重特征值由于矩陣A與它的約旦矩陣具有相同的最小多項式(),因此由前面的推導過程可知,約旦矩陣也滿足,設A與的特征值i的代數重數為mi,則由上式很容易證明i(t)滿足,求解上述方程,則可求得待定函數i(t)。,.,A有重特征值(2/4),為清楚說明問題,設A和有如下6個特征值:1,1,1,2,2,3。則相應的矩陣指數函數計算式(3-49)中的待定函數i(t)(i=0,1,5)的計算式為,.,A有重特征值(3/4)例3-8,值得指出的是,上述塞爾維斯特內插法不僅對矩陣A的最小多項式成立,而且對所有矩陣A的零化多項式也成立。因此,在難以求解最小多項式時,上述方法中的最小多項式可用矩陣A的特征多項式代替,所得結果一致,僅計算量稍大。例3-8試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數函數,.,A有重特征值(4/4)例3-8,解解矩陣A的特征方程,得特征值為1,1和2。由于特征值2為二重特征值,下面按基于最小多項式和特征多項式兩種多項式用塞爾維斯特插值法計算矩陣指數函數。,.,A有重特征值(5/4)例3-8,(1)基于最小多項式計算。先計算伴隨矩陣因此,伴隨