《三角形的證明》復(fù)習(xí)課件1

第一章三角形的證明復(fù)習(xí),“原名”知多少,定義:對名稱和術(shù)語的含義加以描述,作出明確的規(guī)定,也就是給出它們的定義(definition).命題:判斷一件事情的句子,叫做命題(statement).每個命題都由條件(condition)和結(jié)論(conclusion)兩部分組成.條件是已知事項,結(jié)論是由已事項推斷出的事項.正確的命題稱為真命題(truestatement),不正確的的命題稱為假命題(falsestatement).,公理:公認(rèn)的真命題稱為公理(axiom).證明:除了公理外,其它真命題的正確性都通過推理的方法證實(shí).推理的過程稱為證明.定理:經(jīng)過證明的真命題稱為定理(theorem).推論:由一個公理或定理直接推出的定理,叫做這個公理或定理的推論(corollary).推論可以當(dāng)作定理使用.,作為證明基礎(chǔ)的幾條公理,本套教材選用如下命題作為公理:1、兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行;2、兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等;3、兩邊夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等;4、兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等;5、三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等;6、全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等.,提示:每一條公理或定理的三種語言要能相互滲透,轉(zhuǎn)化.,怎么證明幾何命題,證明命題的一般步驟:(1)理解題意:分清命題的條件(已知),結(jié)論(求證);(2)根據(jù)題意,畫出圖形;(3)結(jié)合圖形,用符號語言寫出“已知”和“求證”;(4)分析題意,探索證明思路(由“因”導(dǎo)“果”,執(zhí)“果”索“因”.);(5)依據(jù)思路,運(yùn)用數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)語言條理清晰地寫出證明過程;(6)檢查表達(dá)過程是否正確,完善.,提示:要說明一個命題是假命題,通?？梢耘e出一個例子,使之具備命題的條件,而不具備命題的結(jié)論,這種例子稱為反例(counterexample).,2.推論:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合(三線合一).,（1）AB=AC,1=2(已知).BD=CD,ADBC（等腰三角形三線合一）.,（2）AB=AC,BD=CD(已知).1=2,ADBC（等腰三角形三線合一）,（3）AB=AC,ADBC(已知).BD=CD,1=2（等腰三角形三線合一）,輪換條件：1=2,ADBC,BD=CD,可得三線合一的三種不同形式的運(yùn)用.,知識要點(diǎn)回顧,1.定理:等腰三角形的兩個底角相等,簡稱:等邊對等角,4.等邊三角形的判定：,結(jié)論4:等腰三角形腰上的高線與底邊的夾角等于頂角的一半.,結(jié)論5:等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高.,3.等腰三角形有關(guān)知識要點(diǎn):,結(jié)論1:等腰三角形兩底角的平分線相等.,結(jié)論2:等腰三角形兩腰上的中線相等.,結(jié)論3:等腰三角形兩腰上的高相等；,(3).有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形.,(1).三條邊都相等的三角形是等邊三角形.,(2).三個角都相等的三角形是等邊三角形.,5.定理:在直角三角形中,如果一個銳角等于300,那么這個銳角所對直角邊等于斜邊的一半,它的逆命題:,ACB=900,A=300,在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對的銳角等于300.,ACB=900,A=300,6.勾股定理:直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.,它的逆定理:,如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三角形是直角三角形.,7.直角三角形全等的判定定理:,斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.,(簡稱“HL”),8.寫出命題：“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題：,有兩個角相等的三角形是等腰三角形.,定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等.,9.線段的垂直平分線,它的逆命題:到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.,MN垂直平分AB(MNAB,AC=BC或P在AB的垂直平分線上)PA=PB,PA=PB(已知),點(diǎn)P在AB的垂直平分線上,10.角平分線,定理:角平分線上的點(diǎn)到這個角兩邊的距離相等.,PDOA,PEOB,PD=PE1=2(OP是角平分線或P在AOB的平分線上),逆定理:,在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個角的平分線上.,1=2,PDOA,PEOBPD=PE,11.定理:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等.,12.定理:三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.,(這一點(diǎn)叫做三角形的外心),(這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心),在本章中你學(xué)到了什么,角的平分線,通過探索,猜想,計算和證明得到定理,與等腰三角形、等邊三角形有關(guān)的結(jié)論,與直角三角形有關(guān)的結(jié)論,與一般的三角形有關(guān)的結(jié)論,命題的逆命題及其真假,尺規(guī)作圖,線段的垂直平分線,與同伴交流講述一兩個命題的證明思路和證明方法.,提示:能將證明的能力提升一個臺階的前提是:認(rèn)識并掌握一定數(shù)量的基本圖形.,如：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)距離相等.,如：等腰三角形底邊上一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高.,如：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等.如：,我能行不只是字面意義,互逆定理與互逆命題,在什么情況下互逆的命題才是互逆的定理?,你能說出一對互逆的命題嗎?,一個命題的逆命題的真假性如何?,一個定理的逆命題的真假性如何?,它們的真假性如何?,基本作圖,作一條線段等于已知線段;,已知三邊,兩邊夾角,兩角夾邊,斜邊直角邊作三角形.,作線段的垂直平分線;,作已知角的平分線;,作一個角等于已知角;,作圖題的一般步驟:已知,求作,分析,作法,證明,討論.,做一做:任意畫一個角,利用尺規(guī)將其二等分,四等分.,作圖題的要求:能寫出規(guī)范的作圖步驟.,例1:在ABC中,AB=2AC,1=2,DA=DB求證:DCAC,2,1,A,C,E,F,證明:取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DEDA=DB,AE=BEDEAB(等腰三角形三線合一)AB=2AC,E為AB的中點(diǎn)AE=AC在AED和ACD中,AE=AC,1=2,AD=ADAEDACD(SAS)AED=ACD=900即ACDC,或用延長法:延長AC至F使CF=AC,連結(jié)DF,小試牛刀,例1:在ABC中,AB=2AC,1=2,DA=DB求證:DCAC,證明:延長AC至F使CF=AC,連結(jié)DFAB=2AC,AC=CFAB=AF1=2,AD=ADADBADF(SAS)DB=BFDA=DBDA=DFAC=CFDCAF(等腰三角形三線合一)即DCAC,思路探究:除了截短法和延長法外,在等腰三角形中,我們通常作底邊的中線或高或頂角平分線,以便使用等腰三角形的性質(zhì)(三線合一).,小試牛刀,2,1,A,C,F,例2:如圖,ABC,CDE是等邊三角形(1)求證:AE=BD,(2)若BD和AC交于點(diǎn)M,AE和CD交于點(diǎn)N,求證:CM=CN,M,N,(3)連結(jié)MN,猜想MN與BE的位置關(guān)系.并加以證明,思路探究:通過證明三角形全等從而證明線段相等或角相等,這是一種常見的證明方法.本題我們應(yīng)注意用到等邊三角形的性質(zhì)以及平行法的判定方法.當(dāng)圖形較復(fù)雜時,注意分清條件與圖形中的對應(yīng)關(guān)系,學(xué)無止境,在ABC中,C=900,B=300,AD是BAC的平分線,已知,求AD的長.,解:C=900,B=300,CAB=600AD是角平分線CAD=300,設(shè)CD=x,那么AD=2x，在RtACD中，AD2=CD2+AC2,解得：x=2AD=4,思路探究：本題綜合運(yùn)用了勾股定理，含300角的直角三角形性質(zhì).它們都與直角有關(guān),所以當(dāng)問題中出現(xiàn)直角條件時,要善于聯(lián)想到這些性質(zhì).,初露鋒芒,作業(yè),、基礎(chǔ)作業(yè)：課本33頁復(fù)習(xí)題第1、2、3、4題2、預(yù)習(xí)作業(yè)：課本P33頁“回顧與思考”,提高證明能力的源泉,1、已知:如圖,D,E,F分別是BC,CA,AB上的點(diǎn),DEBA,DFCA.求證:FDE=A.,2、已知:如圖,ADCB,AD=CB.求證:ABCCDA.,提高證明能力的源泉,3、已知:如圖,AB=AC,ABD=ACE.求證:(1)OB=OC;(2)BE=CD.,提高證明能力的源泉,4、已知:如圖,BD,CE是ABC的高,且BD=CE.求證:ABC是等腰三角形.,提高證明能力的源泉,5、已知:如圖,在ABC中,A,B,C的度數(shù)之比是123,.求:AC的長.,提高證明能力的源泉,6、已知:如圖,ANOB,B