固體物理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(考試必備)

11.體心立方元素晶體,111方向上的結(jié)晶學(xué)周期為多大?實(shí)際周期為多大?解答結(jié)晶學(xué)的晶胞,其基矢為a，b，c,只考慮由格矢R=ha+kb+lc構(gòu)成的格點(diǎn).因此,體心立方元素晶體111方向上的結(jié)晶學(xué)周期為根3a,但實(shí)際周期為根3a/2.13.在晶體衍射中，為什么不能用可見光？解答晶體中原子間距的數(shù)量級(jí)為10-10米，要使原子晶格成為光波的衍射光柵，光波的波長(zhǎng)應(yīng)小于10-10米.但可見光的波長(zhǎng)為7.6-4.0*10-7米,是晶體中原子間距的1000倍.因此,在晶體衍射中，不能用可見光.3.晶體的結(jié)合能,晶體的內(nèi)能,原子間的相互作用勢(shì)能有何區(qū)別?解答自由粒子結(jié)合成晶體過程中釋放出的能量,或者把晶體拆散成一個(gè)個(gè)自由粒子所需要的能量,稱為晶體的結(jié)合能.原子的動(dòng)能與原子間的相互作用勢(shì)能之和為晶體的內(nèi)能.在0K時(shí),原子還存在零點(diǎn)振動(dòng)能.但零點(diǎn)振動(dòng)能與原子間的相互作用勢(shì)能的絕對(duì)值相比小得多.所以,在0K時(shí)原子間的相互作用勢(shì)能的絕對(duì)值近似等于晶體的結(jié)合能.,10.為什么許多金屬為密積結(jié)構(gòu)?解答金屬結(jié)合中,受到最小能量原理的約束,要求原子實(shí)與共有電子電子云間的庫侖能要盡可能的低(絕對(duì)值盡可能的大).原子實(shí)越緊湊,原子實(shí)與共有電子電子云靠得就越緊密,庫侖能就越低.所以,許多金屬的結(jié)構(gòu)為密積結(jié)構(gòu).5.晶體中聲子數(shù)目是否守恒?頻率為w的格波平均聲子數(shù)為18.在甚低溫下,德拜模型為什么與實(shí)驗(yàn)相符?解答在甚低溫下,不僅光學(xué)波得不到激發(fā),而且聲子能量較大的短聲學(xué)格波也未被激發(fā),得到激發(fā)的只是聲子能量較小的長(zhǎng)聲學(xué)格波.長(zhǎng)聲學(xué)格波即彈性波.德拜模型只考慮彈性波對(duì)熱容的貢獻(xiàn).因此,在甚低溫下,德拜模型與事實(shí)相符,自然與實(shí)驗(yàn)相符.,19.在絕對(duì)零度時(shí)還有格波存在嗎?若存在,格波間還有能量交換嗎?解答頻率為w的格波的振動(dòng)能為其中是由個(gè)聲子攜帶的熱振動(dòng)能,()是零點(diǎn)振動(dòng)能,聲子數(shù)為絕對(duì)零度時(shí),=0.頻率為的格波的振動(dòng)能只剩下零點(diǎn)振動(dòng)能.格波間交換能量是靠聲子的碰撞實(shí)現(xiàn)的.絕對(duì)零度時(shí),聲子消失,格波間不再交換能量.6.溫度一定，一個(gè)光學(xué)波的聲子數(shù)目多呢,還是聲學(xué)波的聲子數(shù)目多?解答頻率為的格波的(平均)聲子數(shù)為因?yàn)楣鈱W(xué)波的頻率比聲學(xué)波的頻率高,()大于(）,所以在溫度一定情況下,一個(gè)光學(xué)波的聲子數(shù)目少于一個(gè)聲學(xué)波的聲子數(shù)目.,5.金屬淬火后為什么變硬?解答我們已經(jīng)知道晶體的一部分相對(duì)于另一部分的滑移,實(shí)際是位錯(cuò)線的滑移,位錯(cuò)線的移動(dòng)是逐步進(jìn)行的,使得滑移的切應(yīng)力最小.這就是金屬一般較軟的原因之一.顯然,要提高金屬的強(qiáng)度和硬度,似乎可以通過消除位錯(cuò)的辦法來實(shí)現(xiàn).但事實(shí)上位錯(cuò)是很難消除的.相反,要提高金屬的強(qiáng)度和硬度,通常采用增加位錯(cuò)的辦法來實(shí)現(xiàn).金屬淬火就是增加位錯(cuò)的有效辦法.將金屬加熱到一定高溫,原子振動(dòng)的幅度比常溫時(shí)的幅度大得多,原子脫離正常格點(diǎn)的幾率比常溫時(shí)大得多,晶體中產(chǎn)生大量的空位、填隙缺陷.這些點(diǎn)缺陷容易形成位錯(cuò).也就是說,在高溫時(shí),晶體內(nèi)的位錯(cuò)缺陷比常溫時(shí)多得多.高溫的晶體在適宜的液體中急冷,高溫時(shí)新產(chǎn)生的位錯(cuò)來不及恢復(fù)和消退,大部分被存留了下來.數(shù)目眾多的位錯(cuò)相互交織在一起,某一方向的位錯(cuò)的滑移,會(huì)受到其它方向位錯(cuò)的牽制,使位錯(cuò)滑移的阻力大大增加,使得金屬變硬.6.在位錯(cuò)滑移時(shí),刃位錯(cuò)上原子受的力和螺位錯(cuò)上原子受的力各有什么特點(diǎn)?解答在位錯(cuò)滑移時(shí),刃位錯(cuò)上原子受力的方向就是位錯(cuò)滑移的方向.但螺位錯(cuò)滑移時(shí),螺位錯(cuò)上原子受力的方向與位錯(cuò)滑移的方向相垂直.,2.布洛赫函數(shù)滿足=,何以見得上式中具有波矢的意義?解答人們總可以把布洛赫函數(shù)展成付里葉級(jí)數(shù),其中k是電子的波矢.將代入=,得到其中利用了(是整數(shù)),由上式可知,k=k,即k具有波矢的意義.14.等能面在布里淵區(qū)邊界上與界面垂直截交的物理意義是什么？解答將電子的波矢k分成平行于布里淵區(qū)邊界的分量和垂直于布里淵區(qū)邊界的分量k.則由電子的平均速度得到等能面在布里淵區(qū)邊界上與界面垂直截交,則在布里淵區(qū)邊界上恒有=0,即垂直于界面的速度分量為零.垂直于界面的速度分量為零,是晶格對(duì)電子產(chǎn)生布拉格反射的結(jié)果.在垂直于界面的方向上,電子的入射分波與晶格的反射分波干涉形成了駐波.,8.當(dāng)電子的波矢落在布里淵區(qū)邊界上時(shí),其有效質(zhì)量何以與真實(shí)質(zhì)量有顯著差別?解答晶體中的電子除受外場(chǎng)力的作用外,還和晶格相互作用.設(shè)外場(chǎng)力為F,晶格對(duì)電子的作用力為Fl,電子的加速度為但Fl的具體形式是難以得知的.要使上式中不顯含F(xiàn)l,又要保持上式左右恒等,則只有顯然,晶格對(duì)電子的作用越弱,有效質(zhì)量m*與真實(shí)質(zhì)量m的差別就越小.相反,晶格對(duì)電子的作用越強(qiáng),有效質(zhì)量m*與真實(shí)質(zhì)量m的差別就越大.當(dāng)電子的波矢落在布里淵區(qū)邊界上時(shí),與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對(duì)電子的散射作用最強(qiáng)烈.在晶面族的反射方向上,各格點(diǎn)的散射波相位相同,迭加形成很強(qiáng)的反射波.正因?yàn)樵诓祭餃Y區(qū)邊界上的電子與晶格的作用很強(qiáng),所以其有效質(zhì)量與真實(shí)質(zhì)量有顯著差別.18.一維簡(jiǎn)單晶格中一個(gè)能級(jí)包含幾個(gè)電子?解答設(shè)晶格是由N個(gè)格點(diǎn)組成,則一個(gè)能帶有N個(gè)不同的波矢狀態(tài),能容納2N個(gè)電子.由于電子的能帶是波矢的偶函數(shù),所以能級(jí)有(N/2)個(gè).可見一個(gè)能級(jí)上包含4個(gè)電子.,電子氣的費(fèi)米能和熱容量,在熱平衡時(shí)，能量為E的狀態(tài)被電子占據(jù)的概率是,1.費(fèi)米分布函數(shù),索末菲自由電子服從費(fèi)米狄拉克分布。,這是因?yàn)樵诔叵拢M(fèi)米球內(nèi)部的電子從晶格振動(dòng)獲取的能量不足以使其躍遷到費(fèi)米面附近或以外的空狀態(tài)，只有費(fèi)米面附近kBT范圍的電子才能受熱激發(fā)而躍遷至較高的能級(jí)。也就是說能量隨溫度發(fā)生變化的只是少數(shù)電子。所以電子的熱容量很小。,2電子的熱容量,常溫下電子對(duì)與熱容量的貢獻(xiàn)很小，如何解釋呢?,習(xí)題2:一維復(fù)式格子，原子質(zhì)量為m，原子統(tǒng)一編號(hào)，任一原子與兩個(gè)最近鄰原子的間距不同，力學(xué)常數(shù)不同。分別為1，和2，晶格常量為a，求原子的運(yùn)動(dòng)方程和色散關(guān)系。,解:只考慮最近鄰原子間的相互作用，,設(shè)格波的解為:,將試探解代入方程得:,解得:,晶體的宏觀特性是由晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的周期性決定的，即晶體的宏觀特性是微觀特性的反映。晶格+基元=晶體結(jié)構(gòu)。晶格是晶體結(jié)構(gòu)周期性的數(shù)學(xué)抽象。原胞構(gòu)造：取一格點(diǎn)為頂點(diǎn)，由此點(diǎn)向近鄰的三個(gè)格點(diǎn)作三個(gè)不共面的矢量，以此三個(gè)矢量為邊作平行六面體即為固體物理學(xué)原胞。特點(diǎn)：格點(diǎn)只在平行六面體的頂角上，面上和內(nèi)部均無格點(diǎn)，平均每個(gè)固體物理學(xué)原胞包含1個(gè)格點(diǎn)。它反映了晶體結(jié)構(gòu)的周期性。晶胞構(gòu)造：使三個(gè)基矢的主軸盡可能地沿空間對(duì)稱軸的方向。它具有明顯的對(duì)稱性和周期性。特點(diǎn)：晶胞不僅在平行六面體頂角上有格點(diǎn)，面上及內(nèi)部亦可有格點(diǎn)。其體積是原胞體積的整數(shù)倍。,通過晶格中任意兩個(gè)格點(diǎn)連一條直線稱為晶列，晶列的取向稱為晶向，描寫晶向的一組數(shù)稱為晶向指數(shù)(或晶列指數(shù))。在晶格中，通過任意三個(gè)不在同一直線上的格點(diǎn)作一平面，稱為晶面，描寫晶面方位的一組數(shù)稱為晶面指數(shù)配位數(shù)：一個(gè)粒子周圍最近鄰的粒子數(shù)稱為配位數(shù)。它可以描述晶體中粒子排列的緊密程度，粒子排列越緊密，配位數(shù)越大?？赡艿呐湮粩?shù)有：12、8、6、4、3、2。密堆積：如果晶體由完全相同的一種粒子組成，而粒子被看作小圓球，則這些全同的小圓球最緊密的堆積稱為密堆積。密堆積的配位數(shù)最大，為12。密堆積有六角密積和立方密積。致密度：如果把等體積的硬球放置在晶體結(jié)構(gòu)中原子所在的位置上，球的體積取得盡可能大，以使最近鄰的球相切，我們把一個(gè)晶胞中被硬球占據(jù)的體積和晶胞體積之比稱為致密度,平均每個(gè)晶胞包含4個(gè)格點(diǎn)。,3.體心立方,平均每個(gè)晶胞包含2個(gè)格點(diǎn)。,2.面心立方,典型的晶體結(jié)構(gòu),1.簡(jiǎn)立方,倒格,2.,3.,其中是正格基矢，是固體物理學(xué)原胞體積。,倒格,2.,3.,其中是正格基矢，是固體物理學(xué)原胞體積。,倒格矢與正格中晶面族(h1h2h3)正交.,且倒格矢的模等于。,已知晶體結(jié)構(gòu)如何求其倒格呢？,晶體結(jié)構(gòu),正格,正格基矢,倒格基矢,倒格,(h1h2h3)面間距,晶格振動(dòng)的波矢數(shù)目=晶體的原胞數(shù)N，格波振動(dòng)頻率(模式)數(shù)目=晶體的自由度數(shù)mNn，晶體中格波的支數(shù)=原胞內(nèi)原子的自由度數(shù)mn。N是晶體的原胞個(gè)數(shù)，n是原胞內(nèi)原子個(gè)數(shù)，m是維數(shù)。簡(jiǎn)諧近似下，原子的振動(dòng)或者說格波的振動(dòng)可以看成是3N個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)模式的線性疊加。聲子是晶格振動(dòng)的能量量子，3nN個(gè)振動(dòng)模式得：3nN種聲子，3N種聲學(xué)聲子，(3n-3)N種光學(xué)聲子。1.固體比熱的實(shí)驗(yàn)規(guī)律(1)在高溫時(shí)，晶體的比熱為3NkB；(2)在低溫時(shí)，絕緣體的比熱按T3趨于零。2.模式密度,模型,運(yùn)動(dòng)方程,試探解,色散關(guān)系,波矢q范圍,一維無限長(zhǎng)原子鏈，m，a，,晶格振動(dòng)波矢的數(shù)目=晶體的原胞數(shù),B-K條件,波矢q取值,愛因斯坦模型：(1)晶體中原子的振動(dòng)是相互獨(dú)立的；(2)所有原子都具有同一頻率；(3)設(shè)晶體由N個(gè)原子組成,共有3N個(gè)頻率為的振動(dòng)。高溫時(shí)與實(shí)驗(yàn)相吻合，低溫時(shí)以比T3更快的速度趨于零。德拜模型：(1)晶體視為連續(xù)介質(zhì),格波視為彈性波；(2)有一支縱波兩支橫波；(3)晶格振動(dòng)頻率在0w之間(D為德拜頻率)。高低溫時(shí)均與實(shí)驗(yàn)相吻合,且溫度越低，與實(shí)驗(yàn)吻合的越好。按缺陷的幾何形狀和涉及范圍將缺陷分為：點(diǎn)缺陷、線缺陷和面缺陷。1.點(diǎn)缺陷：點(diǎn)缺陷是在格點(diǎn)附近一個(gè)或幾個(gè)晶格常量范圍內(nèi)的一種晶格缺陷，如空位、填隙原子、雜質(zhì)等。弗侖克爾缺陷：當(dāng)晶格中的原子脫離格點(diǎn)后，移到間隙位置形成填隙原子時(shí)，在原來的格點(diǎn)位置處產(chǎn)生一個(gè)空位，填隙原子和空位成對(duì)出現(xiàn)，這種缺陷稱為弗侖克爾缺陷。肖特基缺陷：當(dāng)晶體中的原子脫離格點(diǎn)位置后不在晶體內(nèi)部形成填隙原子，而是占據(jù)晶體表面的一個(gè)正常位置，并在原來的格點(diǎn)位置產(chǎn)生一個(gè)空位，這種缺陷稱為肖特基缺陷。,2.線缺陷：當(dāng)晶格周期性的破壞是發(fā)生在晶體內(nèi)部一條線的周圍近鄰，這種缺陷稱為線缺陷。位錯(cuò)就是線缺陷。刃型位錯(cuò)：刃型位錯(cuò)的位錯(cuò)線與滑移方向垂直。螺旋位錯(cuò)：螺旋位錯(cuò)的位錯(cuò)線與滑移方向平行。位錯(cuò)缺陷的滑移：刃位錯(cuò)：刃位錯(cuò)的滑移方向與晶體受力方向平行。螺位錯(cuò)：螺位錯(cuò)的滑移方向與晶體受力方向垂直。三個(gè)近似：第一步簡(jiǎn)化絕熱近似：離子實(shí)質(zhì)量比電子大，離子運(yùn)動(dòng)速度慢，討論電子問題，認(rèn)為離子是固定在瞬時(shí)位置上。第二步簡(jiǎn)化單電子近似：每個(gè)電子是在固定的離子勢(shì)場(chǎng)以及其它電子的平均場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第三步簡(jiǎn)化所有離子勢(shì)場(chǎng)和其它電子的平均場(chǎng)是周期性勢(shì)場(chǎng)復(fù)雜的多體問題轉(zhuǎn)化為周期場(chǎng)中的單電子運(yùn)動(dòng)問題,布里淵區(qū)：在倒格空間中以任意一個(gè)倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，做原點(diǎn)和其他所有倒格點(diǎn)連線的中垂面(或中垂線)，這些中垂面(或中垂線)將倒格空間分割成許多區(qū)域，這些區(qū)域稱為布里淵區(qū)。第一布里淵區(qū)(簡(jiǎn)約布里淵區(qū))：圍繞原點(diǎn)的最小閉合區(qū)域；布里淵區(qū)的形狀由晶體結(jié)構(gòu)的布喇菲晶格決定；布里淵區(qū)的體積(或面積)等于倒格原胞的體積(或面積)。布洛赫定理：在晶格周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波。具有此形式的波函數(shù)稱為布洛赫波函數(shù)。,在此范圍內(nèi)k共有N個(gè)值(N為晶體原胞數(shù)),可容納2N個(gè)電子。,簡(jiǎn)約布里淵區(qū)(第一布里淵區(qū)),晶體中的電子在某個(gè)原子附近時(shí)主要受該原子勢(shì)場(chǎng)的作用，其他原子的作用視為微擾來處理，以孤立原子的電子態(tài)作為零級(jí)近似。,2.勢(shì)場(chǎng),緊束縛近似,1.模型,3.波函數(shù),4.能量表達(dá)式：,5.能帶寬度：,等能面能態(tài)密度,在波矢空間內(nèi)，布洛赫電子的能量E(k)的特性,(1)周期性:,(2)反演對(duì)稱性:,(3)E(k)具有與晶格相同的對(duì)稱性:,在k空間內(nèi)，電子的能量等于定值的曲面稱為等能面。,電子在k空間填充一個(gè)半徑為kF的球。,EF費(fèi)米能，對(duì)應(yīng)的等能面為費(fèi)米面，kF為費(fèi)米半徑。,電子的平均速度加速度和有效質(zhì)量,電子的平均速度：,平均