第五章_微分方程模型(清華大學數(shù)學建模教程).ppt

第五章微分方程模型,5.1傳染病模型5.2經濟增長模型5.3正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)5.4藥物在體內的分布與排除5.5香煙過濾嘴的作用5.6人口預測和控制5.7煙霧的擴散與消失5.8萬有引力定律的發(fā)現(xiàn),動態(tài)模型,描述對象特征隨時間(空間)的演變過程,分析對象特征的變化規(guī)律,預報對象特征的未來性態(tài),研究控制對象特征的手段,根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關系確定函數(shù),微分方程建模,根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設,按照內在規(guī)律或用類比法建立微分方程,5.1傳染病模型,問題,描述傳染病的傳播過程,分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律,預報傳染病高潮到來的時刻,預防傳染病蔓延的手段,按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型,已感染人數(shù)(病人)i(t),每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為,模型1,假設,若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加,建模,?,模型2,區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假設,1）總人數(shù)N不變，病人和健康人的比例分別為,2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病,建模,日接觸率,SI模型,模型2,tm傳染病高潮到來時刻,(日接觸率)tm,病人可以治愈！,?,t=tm,di/dt最大,模型3,傳染病無免疫性病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染,增加假設,SIS模型,3）病人每天治愈的比例為,日治愈率,建模,日接觸率,1/感染期,一個感染期內每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。,模型3,接觸數(shù)=1閾值,感染期內有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù),模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,模型4,傳染病有免疫性病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者,SIR模型,假設,1）總人數(shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為,2）病人的日接觸率,日治愈率,接觸數(shù)=/,建模,需建立的兩個方程,模型4,SIR模型,模型4,SIR模型,相軌線的定義域,在D內作相軌線的圖形，進行分析,模型4,SIR模型,相軌線及其分析,s(t)單調減相軌線的方向,P1:s01/i(t)先升后降至0,P2:s0u,Q吸一支煙毒物進入人體總量,模型建立,t=0,x=0，點燃香煙,q(x,t)毒物流量,w(x,t)毒物密度,1)求q(x,0)=q(x),t時刻，香煙燃至x=ut,1)求q(x,0)=q(x),2)求q(l,t),3)求w(ut,t),4)計算Q,結果分析,煙草為什么有作用?,1）Q與a,M成正比，aM是毒物集中在x=l處的吸入量,2)過濾嘴因素，,l2負指數(shù)作用,是毒物集中在x=l1處的吸入量,3）(r)煙草的吸收作用,b,l1線性作用,帶過濾嘴,不帶過濾嘴,結果分析,4)與另一支不帶過濾嘴的香煙比較，w0,b,a,v,l均相同，吸至x=l1扔掉,提高-b與加長l2，效果相同,5.6人口預測和控制,年齡分布對于人口預測的重要性,只考慮自然出生與死亡，不計遷移,人口發(fā)展方程,人口發(fā)展方程,一階偏微分方程,人口發(fā)展方程,已知函數(shù)（人口調查）,生育率（控制人口手段）,生育率的分解,總和生育率,h生育模式,人口發(fā)展方程和生育率,總和生育率控制生育的多少,生育模式控制生育的早晚和疏密,正反饋系統(tǒng),滯后作用很大,人口指數(shù),1）人口總數(shù),2）平均年齡,3）平均壽命,t時刻出生的人，死亡率按(r,t)計算的平均存活時間,4）老齡化指數(shù),控制生育率,控制N(t)不過大,控制(t)不過高,5.7煙霧的擴散與消失,現(xiàn)象和問題,炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴散，形成圓形不透光區(qū)域。,不透光區(qū)域不斷擴大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮，區(qū)域縮小，最后煙霧消失。,建立模型描述煙霧擴散和消失過程，分析消失時間與各因素的關系。,問題分析,無窮空間由瞬時點源導致的擴散過程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化。,觀察的煙霧消失與煙霧對光線的吸收，以及儀器對明暗的靈敏程度有關。,模型假設,1）煙霧在無窮空間擴散，不受大地和風的影響；擴散服從熱傳導定律。,2）光線穿過煙霧時光強的減少與煙霧濃度成正比；無煙霧的大氣不影響光強。,3）穿過煙霧進入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。,模型建立,1）煙霧濃度的變化規(guī)律,熱傳導定律：單位時間通過單位法向面積的流量與濃度梯度成正比,曲面積分的奧氏公式,1）煙霧濃度的變化規(guī)律,初始條件,Q炮彈釋放的煙霧總量,單位強度的點源函數(shù),對任意t,C的等值面是球面x2+y2+z2=R2;RC,僅當t,對任意點(x,y,z),C0,1）煙霧濃度的變化規(guī)律,2）穿過煙霧光強的變化規(guī)律,光強的減少與煙霧濃度成正比,3）儀器靈敏度與煙霧明暗界限,煙霧濃度連續(xù)變化,煙霧中光強連續(xù)變化,設光源在z=-,儀器在z=,則觀測到的明暗界限為,不透光區(qū)域邊界,4）不透光區(qū)域邊界的變化規(guī)律,對任意t,不透光區(qū)域邊界是圓周,不透光區(qū)域邊界半徑,結果分析,觀測到不透光區(qū)域邊界達到最大的時刻t1，可以預報煙霧消失的時刻t2,5.8萬有引力定律的發(fā)現(xiàn),背景,航海業(yè)發(fā)展,天文觀測精確,“地心說”動搖,哥白尼：“日心說”,伽里略：落體運動,開普勒：行星運動三定律,變速運動的計算方法,牛頓：一切運動有力學原因,牛頓運動三定律,牛頓：研究變速運動，發(fā)明微積分（流數(shù)法）,開普勒三定律,牛頓運動第二定律,萬有引力定律,自然科學之數(shù)學原理(1687),模型假設,極坐標系(r,),太陽(0,0),1.行星軌道,a長半軸,b短半軸,e離