把m個(gè)球放到n個(gè)盒子里-有多少種方法-球盒問題-8種情況

1、球盒問題一、球相同，盒子相同，且盒子不能空 例18個(gè)相同的球放入3個(gè)相同的盒子中，每個(gè)盒子中至少有一個(gè). 問有多少種不同的放法？解析 球入盒問題，可以看成分兩步完成，首先是將8個(gè)球分成三堆，每堆至少一個(gè). 由于這里球和盒子都相同，每三堆放入3個(gè)盒子中只有一種情況，所以只要將8個(gè)球分成三堆. 即1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五種，故將8個(gè)相同的球放入3個(gè)相同的盒子中，每個(gè)盒子至少有一個(gè)， 有五種不同的放法.結(jié)論個(gè)相同的球放入個(gè)相同的盒子（nm），不能有空盒時(shí)的放法種數(shù)等于分解為個(gè)數(shù)的和的種數(shù).二、球相同，盒子相同，且盒子可以空例28個(gè)相同的球放入3個(gè)相同的盒子中. 問

2、有多少種不同的放法？解析 與上題不同的是分成的三堆中，上題中的每一堆至少有一個(gè)球，而這個(gè)題中的三堆可以有球數(shù)為零的堆，即除了分成上面的五堆外，還可分為1-7、2-6、3-5、4-4和只一堆共五種情況，故8個(gè)相同的球放入3個(gè)相同的盒子中.，有十種不同的放法.結(jié)論個(gè)相同的球放入個(gè)相同的盒子（nm），可以有空盒時(shí)的放法種數(shù)等于將分解為個(gè)、(1)個(gè)、(2)個(gè)、2個(gè)、1個(gè)數(shù)的和的所有種數(shù)之和.三、球相同，盒子不同，且盒子不能空例38個(gè)相同的球放入標(biāo)號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中至少有一個(gè). 問有多少種不同的放法？（隔板法）解析 這是個(gè)相同的球放入不同的盒子中，與前面不同的是，這里盒子不同，所以不

3、能再用前面的解法. 將8個(gè)球排成一排，形成7個(gè)空隙，在7個(gè)空隙中任取兩個(gè)插入兩塊隔板，有=種，這樣將8個(gè)球分成三堆，第一堆放到1號(hào)盒子內(nèi)，第二堆放到2號(hào)盒子內(nèi)，第三堆放到3號(hào)盒子內(nèi). 故將8個(gè)相同的球放入標(biāo)號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中至少有一個(gè)，有21種不同的放法.結(jié)論 個(gè)相同的球放入個(gè)不同的盒子中（nm），不能有空盒的放法數(shù).四、球相同，盒子不同，且盒子可以空例48個(gè)相同的球放入標(biāo)號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中. 問有多少種不同的放法？解析 與上一題不同的是，這里可以有盒子沒放一個(gè). 還是利用隔板原理將8個(gè)球分為三堆，只不過有的堆的球數(shù)為零，即在8個(gè)球之間插入兩塊隔板. 首先將8個(gè)球排

4、成一排，就有9個(gè)空，任取一個(gè)空插入一塊隔板，有種；然后再將第二塊隔板插入前面8個(gè)球和第一塊隔板形成的10個(gè)空中，有種，但這兩種放法中有重復(fù)的，要除以2；最后將第一塊隔板左邊的球放入1號(hào)盒子中，兩塊隔板之間的球放入2號(hào)盒子中，第二塊隔板右邊的球放入3號(hào)盒子中. 故一共有種.或者，將8個(gè)球分成三堆（包括沒有0數(shù)堆和有0數(shù)堆），也就是在8個(gè)球的9個(gè)空隙中取兩個(gè)插入隔板或取一個(gè)插入兩塊隔板，即種.例3也可利用上面的分法來解，8個(gè)相同的球放入標(biāo)號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中至少有一個(gè). 先放一個(gè)到每個(gè)盒子中，只有一種放法. 然后將剩下的5個(gè)球排成一排，插入兩塊隔板，有種.結(jié)論 個(gè)相同的球放入個(gè)不

5、同的盒子中（nm），可以有空盒的放法數(shù).五、球不同，盒子相同，且盒子不能空例58個(gè)不同的球放入三個(gè)相同的盒子中，每個(gè)盒子中至少有一個(gè). 問有多少種不同的放法？解析 由于盒子相同，所以只要對(duì)8個(gè)不同的球分成三堆就行了，因?yàn)榉湃牒凶又挥幸环N情況. 而8個(gè)球分成三堆，各堆球數(shù)依次為1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五種. 對(duì)情況1-1-6有種分法，對(duì)情況1-2-5有種分法，對(duì)情況1-3-4有種分法，對(duì)情況2-2-4有種分法，對(duì)情況2-3-3有（注意，分組有幾組個(gè)數(shù)相同即幾組均分就要除以幾的階乘）.故一共有+=966種.結(jié)論個(gè)不同的球放入個(gè)相同的盒子中（nm），不能有空盒的放法

6、種數(shù)等于個(gè)不同的球分成堆的種數(shù).六、球不同，盒子相同，且盒子可以空例68個(gè)不同的球放入三個(gè)相同的盒子中，問有多少種不同的放法？解析 只比上一題多了兩種情況，一是有一堆為0的，即分成兩堆，1-7、2-6、3-5、4-4四種情況，有；二是有兩堆為0的，即只分成一堆，一種情況. 所以一共有966+127+1=1094種.結(jié)論個(gè)不同的球放入個(gè)相同的盒子中（nm），可以有空盒的放法種數(shù)等于將個(gè)不同的球分成堆、(1)堆、(2)堆、2堆、1堆的所有種數(shù)之和.七、球不同，盒子不同，且盒子不能空例78個(gè)不同的球放入標(biāo)號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中至少有一個(gè). 問有多少種不同的放法？解析 這個(gè)問題就等價(jià)于“8本不同的書分給3個(gè)同學(xué)，每人至少有一本，有多少種分法？”就是在例5先分堆的基礎(chǔ)上，再加一步，分到三個(gè)不同的盒子中. 即966=5796種.結(jié)論個(gè)不同的球放入個(gè)不同的盒子中，不能有空盒的放法種數(shù)等于個(gè)不同的球分成堆的種數(shù)乘以！.八、球不同，盒子不同，且盒子可以空例88個(gè)不同的球放入標(biāo)號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中，問有