壓軸題——等腰三角形

1、壓軸題等腰三角形1.（12分）如圖, 已知拋物線與y軸相交于C，與x軸相交于A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1）.（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作DEx軸于點(diǎn)D，連結(jié)DC，當(dāng)DCE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在直線BC上是否存在一點(diǎn)P，使ACP為等腰三角形，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.2.（本小題滿分14分）如圖9，在直角坐標(biāo)系xoy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x正半軸上，OA=cm，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，OB=12cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA以cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)R

2、從點(diǎn)B開始沿BO以2cm/s的速度向點(diǎn)O移動(dòng).如果P、Q、R分別從O、A、B同時(shí)移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t（0t6）s.（1）求OAB的度數(shù).（2）以O(shè)B為直徑的O與AB交于點(diǎn)M，當(dāng)t為何值時(shí)，PM與O相切？（3）寫出PQR的面積S隨動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并求s的最小值及相應(yīng)的t值.（4）是否存在APQ為等腰三角形，若存在，求出相應(yīng)的t值，若不存在請說明理由.3已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA在軸的正半軸上，OC在軸的正半軸上，OA=2，OC=3。過原點(diǎn)O作AOC的平分線交AB于點(diǎn)D，連接DC，過點(diǎn)D作DEDC，交OA于點(diǎn)E。（1）求過點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式；（2）將E

3、DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，角的一邊與軸的正半軸交于點(diǎn)F，另一邊與線段OC交于點(diǎn)G。如果DF與（1）中的拋物線交于另一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，那么EF=2GO是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）對于（2）中的點(diǎn)G，在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得直線GQ與AB的交點(diǎn)P與點(diǎn)C、G構(gòu)成的PCG是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。4（本題滿分10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為矩形，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)交直線于點(diǎn)；（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與重合）時(shí)，求證：；（2）在（1）成立的條件下，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段的長度

4、為，求出關(guān)于的函數(shù)解析式，并判斷是否存在最小值，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由；yAPBQCOx（3）直線上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形，若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由參考答案:1. 解：（1）二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）C(0,1) 解得： b= c=1-2分二次函數(shù)的解析式為 -3分（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，0） （0m2） OD=m AD=2-m由ADEAOC得， -4分DE=-5分CDE的面積=m=當(dāng)m=1時(shí)，CDE的面積最大點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）-8分（3）存在 由(1)知：二次函數(shù)的解析式為設(shè)y=0則 解得：x1=2 x2=1點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0） C（

5、0，1）設(shè)直線BC的解析式為：y=kxb 解得：k=-1 b=-1直線BC的解析式為: y=x1在RtAOC中，AOC=900 OA=2 OC=1由勾股定理得：AC=點(diǎn)B(1,0) 點(diǎn)C（0，1）OB=OC BCO=450當(dāng)以點(diǎn)C為頂點(diǎn)且PC=AC=時(shí)，設(shè)P(k, k1)過點(diǎn)P作PHy軸于HHCP=BCO=450CH=PH=k 在RtPCH中k2+k2= 解得k1=， k2=P1（，） P2（，）-10分以A為頂點(diǎn)，即AC=AP=設(shè)P(k, k1)過點(diǎn)P作PGx軸于GAG=2k GP=k1在RtAPG中 AG2PG2=AP2（2k)2+(k1)2=5解得：k1=1,k2=0(舍)P3(1, 2

6、) -11分以P為頂點(diǎn)，PC=AP設(shè)P(k, k1)過點(diǎn)P作PQy軸于點(diǎn)QPLx軸于點(diǎn)LL(k,0)QPC為等腰直角三角形 PQ=CQ=k由勾股定理知CP=PA=kAL=k-2, PL=k1在RtPLA中(k)2=(k2)2(k1)2解得：k=P4(,) -12分綜上所述： 存在四個(gè)點(diǎn)：P1（，） P2（-，） P3(1, 2) P4(,)2.解：（1）在RtAOB中：tanOAB=OAB=30（2）如圖10，連接OP，OM. 當(dāng)PM與O相切時(shí)，有PM O=PO O=90， PM OPO O由（1）知OBA=60OM= OBOBM是等邊三角形B OM=60可得O OP=M OP=60OP= O

7、 OtanO OP =6tan60=又OP=tt=，t=3即：t=3時(shí)，PM與O相切.（3）如圖9，過點(diǎn)Q作QEx于點(diǎn)E BAO=30，AQ=4t QE=AQ=2t AE=AQcosOAB=4tOE=OA-AE=-t Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-t，2t） SPQR= SOAB -SOPR -SAPQ -SBRQ = = = （） 當(dāng)t=3時(shí)，SPQR最小= （4）分三種情況：如圖11.當(dāng)AP=AQ1=4t時(shí)，OP+AP=t+4t=t=或化簡為t=-18當(dāng)PQ2=AQ2=4t時(shí) 過Q2點(diǎn)作Q2Dx軸于點(diǎn)D，PA=2AD=2A Q2cosA=t即t+t =t=2當(dāng)PA=PQ3時(shí)，過點(diǎn)P作PHAB于點(diǎn)H AH

8、=PAcos30=（-t）=18-3tAQ3=2AH=36-6t得36-6t=4t，t=3.6綜上所述，當(dāng)t=2，t=3.6，t=-18時(shí)，APQ是等腰三角形.3. (1)易證AEDBDC, 故E(0,1) D(2,2) C(3,0)所以拋物線解析式為 y=-x+x+1 (2)成立。M(-,), 所以直線DM：y=-0.5x+3,所以F（0，3），作DHOC于H，則DGHFAD，從而GH=1,OG=1,又EF=3-1=2，所以EG=2GO（3）存在。分三種情況：若PG=PC,則P與D重合，此時(shí)點(diǎn)Q即為點(diǎn)D若GP=GC，則GP=2，因?yàn)辄c(diǎn)G到直線AB的距離是2，故點(diǎn)P在直線x=1上，所以Q(1,)若CP=CG,則CP=2, 因?yàn)辄c(diǎn)C到直線AB的距離是2,所以P與B重合，此時(shí)Q與C重合， 因?yàn)榇藭r(shí)GQAB，故舍去綜上，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，2）或(1,)4（本題滿分10分）（1）證明：，在中，則即