第三章非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

1、第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析計(jì)算3-1 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程分析一、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程及其特點(diǎn)圖3-1平板加熱過程示意圖x00t=0tt0=2=3=1導(dǎo)熱系統(tǒng)（物體）內(nèi)溫度場(chǎng)隨時(shí)間變化的導(dǎo)熱過程為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程。在過程的進(jìn)行中系統(tǒng)內(nèi)各處的溫度是隨時(shí)間變化的，熱流量也是變化的。這反映了傳熱過程中系統(tǒng)內(nèi)的能量隨時(shí)間的改變。我們研究非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的意義在于，工程上和自然界存在著大量的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程，如房屋墻壁內(nèi)的溫度變化、爐墻在加熱（冷卻）過程中的溫度變化、物體在爐內(nèi)的加熱或在環(huán)境中冷卻等。歸納起來，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程可分為兩大類型，其一是周期性的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程，其二是非周期性的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程，通常指物體（或系統(tǒng)）的

2、加熱或冷卻過程。這里主要介紹非周期性的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程。下面以一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為例來分析其過程的主要特征。今有一無限大平板，突然放入加熱爐中加熱，平板受爐內(nèi)煙氣環(huán)境的加熱作用，其溫度就會(huì)從平板表面向平板中心隨時(shí)間逐漸升高，其內(nèi)能也逐漸增加，同時(shí)伴隨著熱流向平板中心的傳遞。圖3-1顯示了大平板加熱過程的溫度變化的情況。從圖中可見，當(dāng)時(shí)平板處于均勻的溫度下,隨著時(shí)間t的增加平板溫度開始變化，并向板中心發(fā)展，而后中心溫度也逐步升高。當(dāng)時(shí)平板溫度將與環(huán)境溫度拉平，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程結(jié)束。圖中溫度分布曲線是用相同的Dt來描繪的?？傊?，在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中物體內(nèi)的溫度和熱流都是在不斷的變化，而且都是一個(gè)不斷地從非穩(wěn)

3、態(tài)到穩(wěn)態(tài)的導(dǎo)熱過程，也是一個(gè)能量從不平衡到平衡的過程。二、加熱或冷卻過程的兩個(gè)重要階段從圖3-1中也可以看出，在平板加熱過程的初期，初始溫度分布仍然在影響物體整個(gè)的溫度分布。只有物體中心的溫度開始變化之后(如圖中2之后)，初始溫度分布的影響才會(huì)消失，其后的溫度分布就是一條光滑連續(xù)的曲線。據(jù)此，我們可以把非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程分為兩個(gè)不同的階段，即：初始狀況階段環(huán)境的熱影響不斷向物體內(nèi)部擴(kuò)展的過程，也就是物體（或系統(tǒng)）仍然有部分區(qū)域受初始溫度分布控制的階段；正規(guī)狀況階段環(huán)境對(duì)物體的熱影響已經(jīng)擴(kuò)展到整個(gè)物體內(nèi)部，且仍然繼續(xù)作用于物體的過程，也就是物體（或系統(tǒng)）的溫度分布不再受初始溫度分布影響的階段。由于初

4、始狀況階段存在初始溫度分布的影響而使物體內(nèi)的整體溫度分布必須用無窮級(jí)數(shù)來加以描述，而在正規(guī)狀況階段，由于初始溫度影響的消失，溫度分布曲線變?yōu)楣饣B續(xù)的曲線，因而可以用初等函數(shù)加以描述，此時(shí)只要無窮級(jí)數(shù)的首項(xiàng)來表示物體內(nèi)的溫度分布。3 邊界條件對(duì)導(dǎo)熱系統(tǒng)溫度分布的影響從上面的分析不難看出，環(huán)境（邊界條件）對(duì)系統(tǒng)溫度分布的影響是很顯著的，且在整個(gè)過程中都一直在起作用。因此，分析一下非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的邊界條件是十分重要的，這里以一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程（也就是大平板的加熱或冷卻過程）為例來加以說明。圖32表示一個(gè)大平板的加熱過程，并畫出在某一時(shí)刻的三種不同邊界情況的溫度分布曲線（a）、（b）、（c）。這實(shí)質(zhì)

5、上是表明在第三類邊界條件下可能的三種溫度分布。按照傳熱關(guān)系式作一個(gè)近似的分析，就可得出如下結(jié)論。圖3-2不同環(huán)境下的平板加熱過程示意圖(a)(c)x0xtt(b)曲線（a）表示平板外環(huán)境的換熱熱阻遠(yuǎn)大于平板內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻，即。從曲線上看，物體內(nèi)部的溫度幾乎是均勻的，這也就說物體的溫度場(chǎng)僅僅是時(shí)間的函數(shù)，而與空間坐標(biāo)無關(guān)。我們稱這樣的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱系統(tǒng)為集總參數(shù)系統(tǒng)（一個(gè)等溫系統(tǒng)或物體）。曲線（b）表示平板外環(huán)境的換熱熱阻相當(dāng)于平板內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻，即。這也是正常的第三類邊界條件。曲線（c）表示平板外環(huán)境的換熱熱阻遠(yuǎn)小于平板內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻，即。從曲線上看，物體內(nèi)部溫度變化比較大，而環(huán)境與物體邊界幾乎無溫差，

6、此時(shí)可用認(rèn)為.那么，邊界條件就變成了第一類邊界條件，即給定物體邊界上的溫度。把導(dǎo)熱熱阻與換熱熱阻相比可得到一個(gè)無因次的數(shù)，我們稱之為畢歐（Boit）數(shù)，即。那么，上述三種情況則對(duì)應(yīng)著Bi1。畢歐數(shù)是導(dǎo)熱分析中的一個(gè)重要的無因次準(zhǔn)則，它表征了給定導(dǎo)熱系統(tǒng)內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻與其和環(huán)境之間的換熱熱阻的對(duì)比關(guān)系。它和下面將要介紹的傅里葉數(shù)（準(zhǔn)則）一起是計(jì)算非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的重要參數(shù)。下面我們將對(duì)一些簡(jiǎn)單的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程進(jìn)行分析求解，以利于讀者掌握非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的分析方法和進(jìn)行實(shí)際的工程應(yīng)用。3-2 一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程分析一、無限大平板加熱（冷卻）過程分析及線算圖有一溫度為t0而厚度為的無限大平板突然放入溫

7、度為t的環(huán)境中加熱，這是一個(gè)典型的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，如圖3-3所示。該問題的導(dǎo)熱微分方程式和給定的初始條件、邊界條件為寫成無因次形式有 式中，.圖3-3無限大平板加熱過程模型圖x0xtttt0t0,cp上面定義的無因次時(shí)間Fo我們稱之為傅里葉準(zhǔn)則或傅里葉數(shù)，其物理意義表征了給定導(dǎo)熱系統(tǒng)的導(dǎo)熱性能與其貯熱（貯存熱能）性能的對(duì)比關(guān)系，是給定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特征量（可以參照熱擴(kuò)散系數(shù)的物理意義來加以理解）。采用分離變量法可用解出上式而得到大平板的溫度分布3-1式中，mn是微分方程的特征值，與邊界條件密切相關(guān)，是Bi數(shù)的函數(shù)。因此，大平板溫度分布的一般函數(shù)表達(dá)式為。3-2由于級(jí)數(shù)形式的解計(jì)算起來比較復(fù)雜，

8、工程上常采用計(jì)算線圖（俗稱諾謨圖）來解決非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的計(jì)算問題。由海斯勒(Heisler)制成的線算圖為一套三圖，能求解一維導(dǎo)熱溫度場(chǎng)和熱流場(chǎng)。具體做法是將無因次溫度改為，3-3式中，為平板中心的過余溫度。這樣劃分之后無因次中心溫度 僅僅是畢歐數(shù)和傅里葉數(shù)的函數(shù)，而相對(duì)過余溫度 則只是畢歐數(shù)和無因次厚度的函數(shù)。再定義無因次熱量，它也是畢歐數(shù)和傅里葉數(shù)的函數(shù)，即,3-4式中的Q為0t時(shí)間內(nèi)傳導(dǎo)的熱量（內(nèi)熱能的改變量），而為 時(shí)間內(nèi)的總傳導(dǎo)熱量（物體內(nèi)能改變總量），V為物體的體積。Q和Q0的單位均為焦?fàn)朖。計(jì)算大平板無因次中心溫度、相對(duì)過余溫度和無因次熱量的海斯勒線算圖由圖3-4、3-5和3-6給出

9、。利用線算圖我們可以在已知平板初始溫度和環(huán)境換熱系數(shù)及溫度的條件下，確定平板達(dá)到某一溫度所經(jīng)歷的時(shí)間或者經(jīng)歷某一時(shí)間平板的溫度。具體步驟是：（a）對(duì)于由時(shí)間求溫度的步驟為，計(jì)算Bi數(shù)、Fo數(shù)和，從圖3-4中查找和從圖3-5中查找，計(jì)算出，最后求出溫度t ； (b) 對(duì)于由溫度求時(shí)間步驟為，計(jì)算Bi數(shù)、和,從圖3-5中查找，計(jì)算,然后從圖223中查找Fo,再求出時(shí)間t 。（c）平板吸收（或放出）的熱量，可在計(jì)算和Bi數(shù)、Fo數(shù)之后，從圖3-6中查找，再計(jì)算出 。二、無限長(zhǎng)圓柱體和球體的加熱（冷卻）過程分析及線算圖1無限長(zhǎng)圓柱體 tr0ttt0圖3-7無限長(zhǎng)圓柱體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程無限長(zhǎng)圓柱體在均勻環(huán)

10、境中加熱或冷卻是典型的圓柱坐標(biāo)下的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程，如圖3-7所示。通過分析求解亦可得到相應(yīng)的溫度分布，同樣也是無窮級(jí)數(shù)形式的解，其一般表達(dá)式為,3-5式中r0為無限長(zhǎng)圓柱體的半徑，而(注意特征尺寸r0與大平板d的差別)。我們可以采用線算圖來計(jì)算無限長(zhǎng)圓柱體溫度分布和傳導(dǎo)的熱量。這里同樣讓3-6以及3-7。于是可以作出三個(gè)相應(yīng)的線算圖，圖3-8、圖3-9和圖3-10給出了無限長(zhǎng)圓柱體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的中心溫度、相對(duì)過余溫度及導(dǎo)熱量隨時(shí)間和空間的變化。無限長(zhǎng)圓柱體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的具體計(jì)算方法與無限大平板的計(jì)算方法相同。2球體ttt0r0,cp圖3-11球體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程球體也是一種在球坐標(biāo)系中的

11、典型的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程，如圖3-11所示。也可以從方程和相應(yīng)邊界條件確定其溫度分布，進(jìn)而求得導(dǎo)熱熱量。這里我們?nèi)匀徊捎脠D解的方法。處理方法與無限大圓柱體完全相同，相應(yīng)的線算圖示于圖3-12、圖3-13和圖3-14之中。這里要注意的是特征尺寸R為球體的半徑，r為球體的徑向方向。三、半無限大固體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程x0t0tw3-15半無限大固體的導(dǎo)熱系統(tǒng)半無限大系統(tǒng)指的是一個(gè)半無限大的空間，也就是一個(gè)從其表面可以向其深度方向無限延展的物體系統(tǒng)。對(duì)于導(dǎo)熱問題而言就是一個(gè)半無限大的固體系統(tǒng)，只有一個(gè)外邊界面，而沿著此面法線方向向內(nèi)延伸則是無限大的。由于作用于物體表面的熱流是逐步向物體內(nèi)部傳遞的，溫度的

12、變化也是逐步向物體內(nèi)部延伸的，因而很多實(shí)際的物體在加熱或冷卻過程的初期都可以視為是一個(gè)半無限大固體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程。 所有，利用半無限大的概念可以給非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的求解帶來方便。這也就是我們?cè)谶@里介紹該導(dǎo)熱過程的目的。圖3-15給出了一個(gè)半無限大固體的導(dǎo)熱系統(tǒng)，其初始溫度為T0，而表面溫度突然升高到Tw,并一直保持著?，F(xiàn)在，我們可以寫出該問題的導(dǎo)熱微分方程式和相應(yīng)的邊界條件該微分方程的初、邊值問題可以用拉普拉斯變換求解，也可以引入相似變量將偏微分方程變換為常微分方程后分析求解 。得到的溫度分布為：，3-8式中的高斯誤差函數(shù)定義為，式中，這是針對(duì)導(dǎo)熱問題而設(shè)定的相似參數(shù)。高斯誤差函數(shù)的數(shù)值可以通

13、過查表獲得(附錄13 )，其隨的變化關(guān)系如圖3-16所示。由傅里葉定律，任意位置上的熱流量為：0t0twx3-17第三類邊界條件下的半無限大固體3-9顯然，邊界表面上的熱流量為。3-10當(dāng)半無限大固體的邊界條件變?yōu)榈谌愡吔鐥l件時(shí)，即，式中。此時(shí)微分方程的解為。3-11在此情況下的溫度分布如圖3-17所示。3-3多維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的圖解法0xy21223-18無限長(zhǎng)矩形柱截面坐標(biāo)選取多維導(dǎo)熱問題的求解一般而言是較為復(fù)雜的，常常采用數(shù)值求解的辦法加以解決。這一節(jié)中我們將就幾種幾何結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的物體的多維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題在分析的基礎(chǔ)上采用一維問題的線算圖來進(jìn)行求解。應(yīng)用上面討論的海斯勒線算圖可以求出厚度為2

14、d的大平板、半徑為R的無限長(zhǎng)圓柱體、及半徑為R的球體的溫度分布和傳導(dǎo)的熱量。但是，我們常常會(huì)遇到高度與寬度不比厚度大多少的平板（長(zhǎng)矩形柱或矩形塊），或者長(zhǎng)度不比半徑大多少的短圓柱，此時(shí)上面討論的海斯勒線算圖就不再適用。面對(duì)這些非一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，我們能不能利用上面的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱線算圖來進(jìn)行求解呢？下面用一個(gè)無限長(zhǎng)矩形柱為例來回答這一問題。一個(gè)無限長(zhǎng)矩形柱，如圖3-18所示，它可以看成是由兩個(gè)無限大平板正交而組成，它們的厚度分別為2d1和2d2。無限長(zhǎng)矩形柱的導(dǎo)熱微分方程式為：,式中。如果假定,并將其代入微分方程中，最后可得到：。注意到此式兩邊括號(hào)中的式子分別表示x方向和y方向上的兩個(gè)一維非

15、穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的微分方程式，且應(yīng)分別為零。那么方程式是恒等的，這也就表明的假設(shè)是成立的。這也就是說，一個(gè)二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的解可以用兩個(gè)導(dǎo)熱方向相互垂直的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題解的乘積來表示。用同樣的方法可以證明，初始條件和邊界條件也是能夠滿足上述假定的。進(jìn)而也可以推廣到三維問題上去，也就是說，一個(gè)三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的解可以用三個(gè)相互垂直的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題解的乘積來表示。這樣，求解一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的線算圖就可以推廣應(yīng)用于簡(jiǎn)單的多維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題中去。例如：1.矩形截面的長(zhǎng)棱柱（正四棱柱）可由兩個(gè)大平板正交構(gòu)成，因而溫度分布為兩個(gè)大平板對(duì)應(yīng)的溫度分布的乘積，即，3-12下標(biāo)p1和p2分別表示兩個(gè)坐標(biāo)方

16、向上大平板的溫度；2.矩形塊體(立方體) 可由三個(gè)大平板正交構(gòu)成，因而溫度分布為三個(gè)大平板對(duì)應(yīng)的溫度分布的乘積，即，3-13下標(biāo)p1、p2和p3分別表示三個(gè)坐標(biāo)方向上大平板的溫度；3.短圓柱體可由一個(gè)長(zhǎng)圓柱體和一個(gè)大平板正交構(gòu)成，因而溫度分布為一個(gè)長(zhǎng)圓柱體和一個(gè)大平板對(duì)應(yīng)的溫度分布的乘積，即，3-14下標(biāo)p1和c分別表示大平板和長(zhǎng)圓柱體的溫度；4.半長(zhǎng)圓柱體可由一個(gè)長(zhǎng)圓柱體和一個(gè)半無限大固體正交構(gòu)成，因而溫度分布為一個(gè)長(zhǎng)圓柱體和一個(gè)半無限大固體對(duì)應(yīng)的溫度分布的乘積，即，3-15下標(biāo)c和s分別表示長(zhǎng)圓柱體和半無限大固體的溫度。21yx220yzxxrR2rx00圖3-19顯示了以上幾種情況。這里

17、需要強(qiáng)調(diào)的是，我們要確定某一點(diǎn)的溫度時(shí)，一定要首先確定該點(diǎn)在對(duì)應(yīng)的幾個(gè)一維空間上的位置，再去確定相應(yīng)的一維溫度值，最終乘積得出物體在該點(diǎn)的溫度值。以上僅僅是幾個(gè)例子，其余情況不再贅述。3-4集總參數(shù)系統(tǒng)分析在第一節(jié)中已經(jīng)指出，當(dāng)物體系統(tǒng)的外熱阻遠(yuǎn)大于它的內(nèi)熱阻(即)時(shí)，環(huán)境與物體表面間的溫度變化是遠(yuǎn)大于物體內(nèi)的溫度變化，這就可以認(rèn)為物體內(nèi)的溫度分布幾乎是均勻一致的。于是我們把物體內(nèi)熱阻可以忽略，也就是的導(dǎo)熱系統(tǒng)稱為集總參數(shù)系統(tǒng)，有時(shí)也稱為充分?jǐn)嚢柘到y(tǒng)或熱薄物體系統(tǒng)。應(yīng)該指出，這都是一個(gè)相對(duì)的概念，是由系統(tǒng)的內(nèi)、外熱阻的相對(duì)大小來決定的，即Bi數(shù)的大小。同一物體在一種環(huán)境下是集總參數(shù)系統(tǒng)，而在另

18、一種情況下就可能不是集總參數(shù)系統(tǒng)，如金屬材料在空氣中冷卻可視為集總參數(shù)系統(tǒng)，而在水中冷卻就不是集總參數(shù)系統(tǒng)。注意一下前面介紹的計(jì)算非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的線算圖，在圖3-5、圖3-9和圖3-13中顯示，當(dāng)時(shí)，這表明物體內(nèi)部溫度分布幾乎趨于一致（誤差小于5），可以近似認(rèn)為物體是一個(gè)集總參數(shù)系統(tǒng)。由于溫度分布不再是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而僅僅是時(shí)間坐標(biāo)的函數(shù)。這樣的物體系統(tǒng)就是一個(gè)僅隨時(shí)間響應(yīng)的系統(tǒng)。一、集總系統(tǒng)的能量平衡方程和溫度分布圖3-20給出了一個(gè)集總參數(shù)系統(tǒng)，其體積為V、表面積為A、密度為r、比熱為c以及初始溫度為t0，突然放入溫度為t、換熱系數(shù)為a的環(huán)境中。在任一時(shí)刻系統(tǒng)的熱平衡關(guān)系為：內(nèi)熱能隨時(shí)間的變

19、化率通過表面與外界交換的熱流量Qc，于是熱平衡方程表述為, t0, c, V, t0AQc圖3-20集總參數(shù)系統(tǒng)示意圖初始條件為.引入過余溫度方程與初始條件變?yōu)榉蛛x變量積分并代入初始條件得出或。3-16從式255可見，物體的溫度隨時(shí)間的變化關(guān)系是一條負(fù)自然指數(shù)曲線，或者無因次溫度的對(duì)數(shù)與時(shí)間的關(guān)系是一條負(fù)斜率直線?？梢娢矬w溫度隨時(shí)間的推移逐步趨于環(huán)境溫度，這是符合物體冷卻過程的規(guī)律的。對(duì)于加熱過程，只要過余溫度仍然采用上面的定義，方程形式和最后的解都不改變。二、時(shí)間常數(shù)注意公式3-16，不難看出具有時(shí)間的量綱，即因次，稱為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，記為ts，也稱弛豫時(shí)間。它反映了系統(tǒng)處于一定的環(huán)境中所表現(xiàn)出來的傳熱動(dòng)態(tài)特征，與其幾何形狀、密度及比熱有關(guān)，還與環(huán)境的換熱情況相關(guān)?？梢姡晃镔|(zhì)不同的形狀其時(shí)間常數(shù)不同，同一物體在不同的環(huán)境下時(shí)間常數(shù)也是不相同。由于時(shí)間常數(shù)對(duì)系統(tǒng)的溫度隨時(shí)間而變化的快慢有很大的影響，因而在溫度的動(dòng)態(tài)測(cè)量中是一個(gè)很受關(guān)注的物理量。例如，用熱電偶測(cè)量一個(gè)隨時(shí)間變化的溫度場(chǎng)，熱電偶時(shí)間常數(shù)的大小對(duì)所測(cè)量的溫度變化就會(huì)產(chǎn)生影響，時(shí)間常數(shù)大，響