八年級上冊數(shù)學(xué)-三角形三邊關(guān)系-命題與證明

1、三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明【學(xué)習(xí)目的】理解與三角形有關(guān)的基本概念命題與證明考點(diǎn)一：三角形中的邊角關(guān)系知識點(diǎn)撥：1.三角形中的有關(guān)概念（1）三角形的概念：由不在同一直線上的三條線段首尾依次相接所組成的封閉圖形叫做三角形.用符號“”表示.（2）三角形的頂點(diǎn)、邊和角：邊的表示；角的表示；對邊、對角的概念.2.三角形按邊的關(guān)系分類（1）不等邊三角形：三條邊互不相等；等腰三角形：有兩條邊相等的三角形；（2）等邊三角形：三條邊都相等的三角形（等腰三角形的特例）3.三角形的三邊關(guān)系：三角形中任何兩條邊的和大于第三邊，兩邊的差（絕對值）小于第三邊.4.三角形中角的關(guān)系（1）按角分類：直角三角形；斜三角形：

2、銳角三角形和鈍角三角形.（2）三角形的內(nèi)角和等于180.注意：用RtABC表示直角三角形；任意一個三角形最多有三個銳角；最少有兩個銳角；最多有一個鈍角；最多有一個直角；任何三角的最大內(nèi)角不能小于60，最小內(nèi)角不能大于60.5.三角形中的幾條重要線段（1）角平分線：角平分線把角分成兩個相等的角.（三條角平分線的交點(diǎn)就是三角形的外心）（2）中線：三角形一頂點(diǎn)與它對邊中點(diǎn)的線段叫中線.（三條中線的交點(diǎn)就是三角形的重心）（3）高線：三角形一頂點(diǎn)與它對邊所在直線的垂線段叫三角形的高線.注意：三角形的中線所分得的兩個三角形的面積相等.6.定義：能明確界定某個對象含義的語句叫做定義. 例1：如圖所示，以點(diǎn)A

3、為頂點(diǎn)的三角形共有 （ ）A.6個 B.7個 C.8個 D.9個例2：已知實(shí)數(shù)、滿足，則以、的值為兩邊的等腰三角形的周長是（ ）A.20或16 B.20 C.60 D.以上都不對例3：若四條線段的長分別為2cm、3cm、4cm、5cm，以其中的三條線段為邊長，則可以構(gòu)成三角形的個數(shù)有 （）A.1 B.2 C.3 D.4例4：在ABC中，A=B=C，則ABC是 （ ）A. 銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.無法確定例5：如圖，CD、CE、CF分別是ABC的高、角平分線、中線，則下列各式中錯誤的是（ ）A. BA=2BF B.2ACE=ACB C.AE=BE D.CDBE例6：下列屬

4、于定義的是 （）A. 兩點(diǎn)確定一條直線B.兩直線平行，同位角相等C.三角形的高、角平分線和中線都是線段D.有一個角是直角的三角形叫做直角三角形基礎(chǔ)訓(xùn)練1、如圖所示，ABAC，BECD，ADBDDEAECE，則圖中共有個等腰三角形，有個等邊三角形.第1題圖 第3題圖 第4題圖2、一個等腰三角形中，一邊長為9cm，另一邊長為5cm，則等腰三角形的周長是.3、如圖，AD、BE、CF分別是ABC的高、中線、角平分線.則ADC的高、中線、角平分線分別是.4、如圖，圖中以AB為邊的三角形的個數(shù)是 （ ） A.3 B.4 C.5 D.65、已知，b，c是ABC的三邊長，且滿足|a-b|+=0，則ABC是 （

5、 ）A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.不能確定6、三角形的兩邊長分別為3，8，則第三邊長為 （ ）A.5 B.6 C.3 D.117、以下各組長度的線段為邊，組成的三角形是 （ ）A.2、3、5 B.3、3、6 C.5、8、2 D.4、5、68、設(shè)三角形的三邊長分別為2，9，1-2，則的取值范圍是 （ ）A.35 B.-53 C.-5-3 D.不能確定9、三角形的內(nèi)角和等于 （ ）A.90 B.180 C.300 D.36010、在ABC中，若A=54，B=36，則ABC是 （ ）A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形11、當(dāng)三角形中一個內(nèi)角是另一個內(nèi)

6、角的2倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中稱為“特征角”如果一個“特征三角形”的“特征角”為100，那么這個“特征三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為 （ ）A.30 B.50 C.80 D.10012、三角形的角平分線、中線和高 （ ）A.都是射線 B.都是直線 C.都是線段 D.都在三角形內(nèi)13、如圖所示，已知1=2，3=4，則下列結(jié)論正確的個數(shù)為 （ ）AD平分BAF；AF平分DAC；AE平分DAF；AE平分BAC.A.和 B.和 C.和 D.僅有14、下面四個命題中屬于定義的是 （ ）A.兩點(diǎn)之間線段最短B.對頂角相等C.有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形D.內(nèi)錯角相等強(qiáng)化訓(xùn)練1.在ABC中

7、，如果A:B:C=1：2：3，則ABC一定是 （ ）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形2.如圖，AE是ABC的中線,D是BE上一點(diǎn),若BE=5，DE=2，則CD的長為 （ ）A.7 B.6 C.5 D.43.如圖，過ABC的頂點(diǎn)A，作BC邊上的高，以下作法正確的是 （ ）4.下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長度，用它們能擺成三角形的是 （ ）A.3cm，4cm，8cm B.8cm ，7cm，15cmC.5cm ，5cm，11cm D.13cm ，12cm，20cm5.如圖，在ABC中，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn)，且DEBC，B=40，AED=60，則A的度

8、數(shù)是 （ ）A.100 B.90 C.80 D.70 第5題圖 第7題圖 第8題圖6.一個三角形的兩邊長為8和10，則它的最短邊的取值范圍是7.如圖，AD是ABC的BC邊上的高，AE是BAC的平分線.（1） 若B=47，C=53，則DAE=度；（2） 若B=，C=(c）滿足條件的三角形的個數(shù)444、5、6、7434241441（1）將表格補(bǔ)充完整；（2）滿足條件的三角形共有多少個?其中等腰三角形有多少個?等邊三角形又有多少個?考點(diǎn)二：命題與證明知識點(diǎn)撥：1.命題及其分類（1） 命題定義：對某一事件作出正確或不正確判斷的語句（或式子）叫做命題.舉例：一年有365天；對頂角相等；歡迎光臨，其中前兩

9、個是命題.識別：沒有對一件事的正確與否作出任何判斷的語句，不是命題.（2）分類：真命題：正確的命題；假命題：錯誤的命題；識別：一個命題要么是真命題，要么是假命題，不能模棱兩可.注意：命題必須是一個完整的句子，是對事情作出肯定或否定的判斷；命題一般為陳述句.2.命題的結(jié)構(gòu)題設(shè)（或條件），是已知事項(xiàng)；一般形式：如果p，那么q（其中p是題設(shè)，q是結(jié)論）；結(jié)論（或題斷），由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).3.互逆命題原命題與逆命題：將命題“如果p，那么q”中的條件與結(jié)論互換，便得到一個新命題“如果q，那么p”，我們把這樣的兩個命題稱為互逆命題，其中一個叫做原命題，另一個就叫做原命題的逆命題.4.反例：符合命題條件

10、，但不滿足命題結(jié)論的例子，稱為反例.注意：對于一個命題，只要能舉出反例，就說明它是假命題.5.定理、證明定理：從基本事實(shí)或其他真命題出發(fā)，用推理方法判斷為正確的，并被選作判斷命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理.證明：從已知條件出發(fā)，依據(jù)定義、基本事實(shí)、已證定理，并按照邏輯規(guī)則，推倒出結(jié)論，這一方法稱為演繹推理.演繹推理的過程就是演繹證明，簡稱證明. 6.三角形的外角及三角形內(nèi)角和定理的推論三角形外角：由三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角.三角形內(nèi)角和定理的推論：推論1：直角三角形的兩個銳角互余.推論2：有兩個角互余的三角形是直角三角形.推論3：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和.推論4

11、：三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角.例1：下列語句不是命題的是 （ ）A. 直角都等于90 B.對頂角相等 C.互補(bǔ)的兩個角不相等 D.作線段AB例2：把下例命題改寫成“如果.那么.”的形式，并分別指出它們的題設(shè)和結(jié)論.(1) 整數(shù)一定是有理數(shù)；(2) 同角的補(bǔ)角相等；(3) 兩個銳角互余.例3：寫出下列命題的逆命題，并判斷真假（1） 兩直線平行，同位角相等；（2） 若=0，則b=0；（3） 對頂角相等.例4：請舉反例說明命題“對于任意實(shí)數(shù)，的值總是正數(shù)”是假命題，你舉的反例是_（寫出一個的值即可）.例5：在下列證明中，填上推理依據(jù)：如圖，CDEF，1=2，求證：3=ACB.例6：如圖

12、，在ABC中，ABC=66，ACB=54，BE、CF是兩邊AC、AB上的高，它們交于點(diǎn)H.求ABE和BHC的度數(shù).基礎(chǔ)訓(xùn)練1、下列語句中，不是命題的是 （ ）A.兩點(diǎn)之間線段最短B.對頂角相等C.不是對頂角的兩個角不相等D.過直線AB外一點(diǎn)P作直線AB的垂線2、下列命題中，是真命題的是 （ ）A.三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角B.三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角之和C.三角形的兩邊之和一定不小于第三邊D.三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這個交點(diǎn)就是三角形的重心3、“兩條直線相交只有一個交點(diǎn)”的題設(shè)是 （ ）A. 兩條直線 B.相交 C.只有一個交點(diǎn) D.兩條直線相交4、已知命題A：“任何偶數(shù)都是8的整

13、數(shù)倍”.在下列選項(xiàng)中，可以作為“命題A是假命題”的反例的是 （ ） A.2k B.15 C.24 D.42 5、如圖，下列說法中錯誤的是 （ ）A.1不是ABC的外角B.B1+2C.ACD是ABC的外角D.ACDA+B第5題圖 第6題圖 第7題圖6、一副三角板有兩個直角三角形，如圖疊放在一起，則的度數(shù)是 （ ）A.165 B.120 C.150 D.1357、如圖，在ABC中，ACB=90，CDAB，ACD=40，則B的度數(shù)為 （ ）A.40 B.50 C.60 D.708、命題“有兩邊相等的三角形是等腰三角形”的題設(shè)是，結(jié)論是，它的逆命題是.9、完成以下證明，并在括號內(nèi)填寫理由：已知：如圖所

14、示1=2，A=3.求證：ACDE.證明：因?yàn)?=2，所以AB（ ）所以A=4（ ）又因?yàn)锳=3，所以3=.（ ） 所以ACDE. （ ）10、將下列命題改寫成“如果.那么.”的形式，并分別指出命題的題設(shè)與結(jié)論：（1） 直角都相等；（2） 末位數(shù)字是5的整數(shù)能被5整除；（3） 同角的余角相等.11、分析下列所舉反例的正確性，若不正確，請寫出正確的反例.（1）若|=|，則=； 反例：取=3，=-3，則|=|，所以此命題是假命題； （2）兩個銳角的和一定是鈍角； 反例：取1=30，2=100，則1+2=130，不符合命題的結(jié)論，所以此命題是假命題；（3）若|=，則0.12、如圖，已知ACDE，1=2

15、.求證：ABCD.13、如圖，在ABC中，A=62，ABD=DCE=36，求BEC的度數(shù).14、如圖，點(diǎn)E是ABC中AC邊上的一點(diǎn)，過E作EDAB，垂足為D，若1=2，則ABC是直角三角形嗎？為什么？強(qiáng)化訓(xùn)練1.如圖，在銳角三角形ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，且CD、BE相交于點(diǎn)P.若A50，則BPC的度數(shù)是 （ ）A.150 B.130 C.120 D.1002.如圖，從1=2；C=D；A=F三個條件中選出兩個作為已知條件，另一個作為結(jié)論所組成的命題中，正確命題的個數(shù)為 （ ）A.0 B.1 C.2 D.3 第2題圖 第6題圖3.一個三角形的三個外角之比為3：4：5，則這個三

16、角形三個內(nèi)角之比是 （ ）A.5:4:3 B.4:3:2 C.3:2:1 D.5:3:14.能說明命題“對于任何實(shí)數(shù)，”是假命題的一個反例可以是 （ ）A.=-2 B. C. =1 D.5.下列命題：對頂角相等；同位角相等，兩直線平行；若，則；若，則.它們的逆命題一定成立的有 （ ）A. B. C. D.6.如圖，CE是ABC的外角ACD的平分線，若B=35，ACE=60，則A= （ ）A.35 B.95 C.85 D.757.如圖，在ABC中，B=40，三角形的外角DAC和ACF的平分線交于點(diǎn)E，則AEC=.8.直角三角形中兩個銳角的平分線相交所成的銳角的度數(shù)是.9. 寫出命題“如果，那么”

17、的逆命題：.10.如圖，AD是ABC的高，BE平分ABC交AD于E.若C60，BED54，求BAC的度數(shù).11.如圖，AD是ABC的外角平分線，交BC的延長線于D點(diǎn)，若B=30，ACD=100， 求DAE的度數(shù)12.如圖，D是ABC內(nèi)的任意一點(diǎn).求證：BDC=1+A+2.13.用兩種方法證明“三角形的外角和等于360”.如圖，BAE、CBF、ACD是ABC的三個外角.求證：BAE+CBF+ACD=360.證法1：，BAE+1+CBF+2+ACD+3=1803=540.BAE+CBF+ACD=540-（1+2+3）.，BAE+CBF+ACD=540-180=360.請把證法1補(bǔ)充完整，并用不同的方法完成證法2.能力提升1.如