講義矩形和菱形

1、龍文教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員姓名： 年級(jí)：八年級(jí) 教師: 制作人：孫發(fā)青課 題矩形和菱形教學(xué)目標(biāo)1、探索并掌握矩形、菱形的定義、性質(zhì)和判定方法2、靈活運(yùn)用矩形、菱形的性質(zhì)和判定解決有關(guān)問(wèn)題3、知道矩形、菱形是特殊的平行四邊形4、體驗(yàn)矩形、菱形的特征和它的判別在實(shí)際生產(chǎn)和生活中的應(yīng)用5、在學(xué)習(xí)中感受轉(zhuǎn)化的思想，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的樂(lè)趣重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：矩形、菱形的定義、性質(zhì)和判定方法難點(diǎn)：運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題考點(diǎn)及考試要求矩形、菱形的定義、性質(zhì)和判定方法教學(xué)內(nèi)容考點(diǎn)一：矩形【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】1矩形的定義：有一個(gè)角是直角的 是矩形（矩形是特殊的平行四邊形）。DCBA2、矩形的性質(zhì)：矩形具有平行四邊形的一切

2、性質(zhì)。 （1）邊：對(duì)邊 且 。 （2）角：四個(gè)角都是 。 （3）對(duì)角線：互相 且 。3、矩形的判定：（1）有一個(gè)角是直角的 。 （2）對(duì)角線相等的 。 （3）有三個(gè)角是 的四邊形。 注意：矩形被兩條對(duì)角線分成的四個(gè)小三角形都是 三角形且面積相等。 矩形是軸對(duì)稱圖形，兩組對(duì)邊的 線是它的對(duì)稱軸?！净A(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練】1矩形是面積的60，一邊長(zhǎng)為5，則它的一條對(duì)角線長(zhǎng)等于 。2矩形的兩條對(duì)角線的交角之一是60，矩形較短的邊與一條對(duì)角線長(zhǎng)度之和為12cm，則對(duì)角線的長(zhǎng)為 ，較短的邊的長(zhǎng)為 ，較長(zhǎng)的邊的長(zhǎng)為 。3.平行四邊形沒(méi)有而矩形具有的性質(zhì)是（ ） A、對(duì)角線相等B、對(duì)角線互相垂直C、對(duì)角線互相平分D、

3、對(duì)角相等4矩形各內(nèi)角平分線所圍成的四邊形是（ ） A、矩形 B、平行四邊形 C、正方形 D、菱形【典型例題】(2011浙江紹興，15，5分) 取一張矩形紙片按照?qǐng)D1、圖2中的方法對(duì)折，并沿圖3中過(guò)矩形頂點(diǎn)的斜線（虛線）剪開，那剪下的這部分展開，平鋪在桌面上，若平鋪的這個(gè)圖形是正六邊形，則這張矩形紙片的寬和長(zhǎng)之比為 . 【答案】例1. 如圖，菱形ABCD中，AC和BD交于點(diǎn)O，OEAB于E，OFBC于F，OGCD于G，OHAD于H，試說(shuō)明四邊形EFGH為矩形。分析：四邊形EFGH與已知條件有關(guān)的主要是對(duì)角線，如果能夠證明對(duì)角線EG和HF相等且互相平分，那么就能夠判定四邊形EFGH是矩形，根據(jù)菱形

4、的對(duì)角線平分每一組對(duì)角，知AC是DAB和DCB的角平分線，DE是ADC和ABC的角平分線，因?yàn)镺EAB，OFBC，OGCD，OHAD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)很容易得出OEOFOGOH 解：四邊形ABCD是菱形 AC、BD平分對(duì)角 O點(diǎn)在DAB、BCD、CDA、ABC的角平分線上 又OEAB，OFBC，OGCD，OHAD OEOFOGOH 又AB/CD OECD 又OGOD 直線OE與OG重合 即E、O、G三點(diǎn)共線 同理可證H、O、F共線 EFGH是平行四邊形 又HF=EG 四邊形EFGH是矩形 點(diǎn)撥：（1）用定義判定一個(gè)四邊形是矩形必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：一是有一個(gè)角是直角；二是平行四邊形。 （2）

5、用對(duì)角線判定一個(gè)四邊形是矩形也必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：一是對(duì)角線相等，二是平行四邊形。DACBHGFE例2如圖，ABCD中，AE、BF、CG、DH分別是各內(nèi)角的平分線，E、F、G、H為它們的交點(diǎn)，求證：四邊形EFGH的矩形。例3如圖，已知矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于O，AB=4cm，求此矩形的面積。ABOCD例4如圖，矩形ABCD中，E為垂足，則等于多少？DAOBCE【鞏固練習(xí)】1、在矩形中，對(duì)角線具有的性質(zhì)是（ ）A相等且互相垂直B相等且互相平分 C互相垂直且互相平分D互相垂直且平分內(nèi)角2、下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）（A）矩形的對(duì)角線互相平分 （B）矩形的對(duì)角線相等（C）有一個(gè)角是直角的四邊形是

6、矩形 （D）有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形3、矩形的對(duì)角線把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ） （A）2對(duì) （B）4對(duì) （C）6對(duì) （D）8對(duì)4、矩形的定義中有兩個(gè)條件：一是 ，二是 已知矩形的一條對(duì)角線與一邊的夾角為 30，則矩形兩條 對(duì)角線相交所得的四個(gè)角的度數(shù)分為 、 、 、 已知矩形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為10cm， 兩條對(duì)角線的一 個(gè)交角 為120，則矩形的邊長(zhǎng)分別為 cm， cm， cm， cm5. （2011甘肅蘭州，20，4分）如圖，依次連結(jié)第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)菱形，再依次連結(jié)菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，按照此方法繼續(xù)下去。已知第一個(gè)矩形的面積為1，則第n個(gè)矩形的面

7、積為 。【答案】6. （2011四川綿陽(yáng)17，4）如圖，將長(zhǎng)8cm，寬4cm的矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A與C重合，則折痕EF的長(zhǎng)為_cm.【答案】2AEBFODC7.如圖，矩形ABCD中，CE平分，求的度數(shù)。8、如圖，矩形紙片中，現(xiàn)將重合使紙片折疊壓平，設(shè)折痕為，則重疊部分的面積為多少？FDCBE考點(diǎn)二：菱形知識(shí)點(diǎn)一：菱形的定義：有一組鄰邊相等的 叫做菱形知識(shí)點(diǎn)二：菱形的性質(zhì)菱形是特殊的 ，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，還具有自己獨(dú)特的性質(zhì)： 邊的性質(zhì)：對(duì)邊平行且四邊相等 角的性質(zhì)：鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等 對(duì)角線性質(zhì)：對(duì)角線互相垂直平分且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角 對(duì)稱性：菱形是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)

8、稱圖形菱形的面積等于底乘以高，等于對(duì)角線乘積的一半點(diǎn)評(píng)：其實(shí)只要四邊形的對(duì)角線互相垂直，其面積就等于對(duì)角線乘積的一半知識(shí)點(diǎn)三：菱形的判定判定：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形判定：四邊相等的四邊形是菱形知識(shí)點(diǎn)四：菱形的對(duì)稱性菱形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，有 條對(duì)稱軸?！净A(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練】1、菱形的兩條對(duì)角線將菱形分成全等三角形的對(duì)數(shù)為 。2、在下列命題中，真命題是（）兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形 兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 兩條對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形3已知菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)為10cm和24cm, 那么這個(gè)菱形的周

9、長(zhǎng)為_, 面積為_.4、將兩張長(zhǎng)10cm寬3cm的長(zhǎng)方形紙條疊放在一起, 使之成60度角, 那么重疊部分的面積的最大值為_.【典型例題】【例1】、（2011浙江省嘉興，10，4分）如圖，五個(gè)平行四邊形拼成一個(gè)含30內(nèi)角的菱形EFGH（不重疊無(wú)縫隙）若四個(gè)平行四邊形面積的和為14cm2，四邊形ABCD面積是11cm2，則四個(gè)平行四邊形周長(zhǎng)的總和為（ ）（A）48cm（B）36cm （C）24cm （D）18cm（第10題）【例2】、（2011廣東廣州市，18，9分） 如圖4，AC是菱形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，且AE=AF 求證：ACEACF圖4ABCDEF【例3】菱形的周

10、長(zhǎng)為，兩鄰角度數(shù)之比為，則菱形較短的對(duì)角線的長(zhǎng)度為 【鞏固】 如圖2，在菱形中，則菱形的邊長(zhǎng)為（ ）A B C D【例4】菱形中，、分別是、的中點(diǎn)，且，那么等于 【鞏固】 如圖，將一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形紙片對(duì)折兩次后，沿所得矩形兩鄰邊中點(diǎn)的連線（虛線）剪下，再打開，得到的菱形的面積為（ ）A B CD【例4】已知菱形的兩條對(duì)角線的乘積等于菱形的一條邊長(zhǎng)的平方，則菱形的一個(gè)鈍角的大小是 【鞏固】如圖，菱形花壇的周長(zhǎng)為，沿著菱形的對(duì)角線修建了兩條小路和，求兩條小路的長(zhǎng)和花壇的面積菱形的判定【例1】 如圖，如果要使平行四邊形成為一個(gè)菱形，需要添加一個(gè)條件，那么你添加的條件是 【例2】 如圖，在中，平分

11、，的中垂線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：四邊形是菱形【鞏固】 已知：如圖，平行四邊形的對(duì)角線的垂直平分線與邊、分別相交于 、.求證：四邊形是菱形.【例3】 如圖，是菱形的邊的中點(diǎn)，于，交的延長(zhǎng)線于，交于，證明：與互相平分【鞏固】 如圖，是矩形內(nèi)的任意一點(diǎn)，將沿方向平移，使與重合，點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)的位置畫出平移后的三角形；連結(jié)，試說(shuō)明四邊形的對(duì)角線互相垂直，且長(zhǎng)度分別等于的長(zhǎng)；當(dāng)在矩形內(nèi)的什么位置時(shí)，在上述變換下，四邊形是菱形？為什么？【鞏固】(湖南湘西24,10分)如圖,已知矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于O,ACB=30,AB=2.(1)求AC的長(zhǎng).(2)求AOB的度數(shù).(3)以O(shè)B、OC為鄰邊作菱形OBE

12、C,求菱形OBEC的面積.【綜合題】已知等腰中，平分交于點(diǎn)，在線段上任取一點(diǎn)（點(diǎn)除外），過(guò)點(diǎn)作，分別交、于、點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，連結(jié).求證四邊形為菱形當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，菱形的面積為四邊形面積的一半？ 考點(diǎn)三：矩形和菱形的綜合應(yīng)用例（2011山東德州16,4分）長(zhǎng)為1，寬為a的矩形紙片（），如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去若在第n此操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止當(dāng)n=3時(shí)，a的值為_第一次操作第二次操作練習(xí)1：(2011江蘇南京，21，7分)如圖，將ABCD的

13、邊DC延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE=DC，連接AE，交BC于點(diǎn)F求證：ABFECF若AFC=2D，連接AC、BE求證：四邊形ABEC是矩形ABCDEF(第21題)練習(xí)2（2011湖南衡陽(yáng)，26，10分）如圖，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m(m4)，點(diǎn)P是AB邊上的任意一點(diǎn)（不與A、B重合），連結(jié)PD，過(guò)點(diǎn)P作PQPD，交直線BC于點(diǎn)Q(1)當(dāng)m=10時(shí)，是否存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合？若存在，求出此時(shí)AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由；(2)連結(jié)AC，若PQAC,求線段BQ的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）(3)若PQD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范

14、圍練習(xí)3已知：如圖，C是線段BD上一點(diǎn)，ABC和ECD都是等邊三角形，R、F、G、H分別是四邊形ABDE各邊的中點(diǎn)，求證：四邊形RFGH是菱形?！菊n后作業(yè)】一、填空題：1、若矩形的對(duì)稱中心到兩邊的距離差為4，周長(zhǎng)為56，則這個(gè)矩形的面積為 。2、已知菱形的銳角是600，邊長(zhǎng)是20cm，則較短的對(duì)角線長(zhǎng)是 cm。3、如圖，矩形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，若AEBD于E，且OEOD12，AEcm，則DE cm。4、如圖，P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA3，PD4，PC5，則PB 。5、如圖，在菱形ABCD中，BEAF600，BAE200，則CEF 。 二、選擇題：6、在矩形ABCD的各邊AB、BC、

15、CD、DA上分別取點(diǎn)E、F、G、H，使EFGH為矩形，則這樣的矩形（ ） A、僅能作一個(gè) B、可以作四個(gè)C、一般情況下不可作 D、可以作無(wú)窮多個(gè)7、如圖，在矩形ABCD中，AB4cm，AD12cm，P點(diǎn)在AD邊上以每秒1 cm的速度從A向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在BC邊上，以每秒4 cm的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在CB間往返運(yùn)動(dòng)，二點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，待P點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)為止，在這段時(shí)間內(nèi)，線段PQ有（ ）次平行于AB。 A、1 B、2 C、3 D、4 8、如圖，已知矩形紙片ABCD中，AD9cm，AB3cm，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，那么折疊后DE的長(zhǎng)和折痕EF的長(zhǎng)分別是（ ） A、4cm、cm B、5cm、cm C、4c

16、m、cm D、5cm、cm9、給出下面四個(gè)命題：對(duì)角線相等的四邊形是矩形；對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；有一個(gè)角是直角且對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形；菱形的對(duì)角線的平方和等于邊長(zhǎng)平方的4倍。其中正確的命題有（ ） A、 B、 C、 D、10、平行四邊形四個(gè)內(nèi)角的平分線，如果能圍成一個(gè)四邊形，那么這個(gè)四邊形一定是（ ） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形三、解答題：11、如圖，在矩形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn)，AF的延長(zhǎng)線交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，DEAG于E，且DEDC，根據(jù)上述條件，請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，并證明你的結(jié)論。 12、如圖，在ABC中，ACB900，CD是AB邊上的高

17、，BAC的平分線AE交CD于F，EGAB于G，求證：四邊形GECF是菱形。13、如圖，以ABC的三邊為邊在BC的同一側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形，即ABD、BCE、ACF。請(qǐng)回答下列問(wèn)題（不要求證明）：（1）四邊形ADEF是什么四邊形？（2）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是矩形？（3）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在？ 思考題（有能力的學(xué)生完成）（2011江蘇鹽城，27，12分）情境觀察 將矩形ABCD紙片沿對(duì)角線AC剪開，得到ABC和ACD，如圖1所示.將ACD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A(A)、B在同一條直線上，如圖2所示觀察圖2可

18、知：與BC相等的線段是 ，CAC= 圖1 圖2問(wèn)題探究如圖3，ABC中，AGBC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，過(guò)點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q. 試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.圖3圖4拓展延伸如圖4，ABC中，AGBC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H. 若AB= k AE，AC= k AF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.部分參考答案（2011江蘇泰州，28，12分）【答案】解：（1）當(dāng)BAO=45時(shí)，PAO=90，在RtAOB中，

19、OAAB，在RtAPB中，PAAB。點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）（2）過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線垂足分別為M、N，則有PMA=PNB=NPM=BPA=90，MPA=NPB，又PAPB，PAMPBN，PM=PN，于是，點(diǎn)P都在AOB的平分線上；（3）h。當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離為，然后頂點(diǎn)A在x軸正半軸上向左運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離逐漸增大，當(dāng)BAO=45時(shí)，PAx軸，這時(shí)點(diǎn)P到AB的距離最大為，然后又逐漸減小到，x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O ，點(diǎn)P到x軸的距離的取值范圍是h。(2011江蘇南京，21，7分)【答案】證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

20、ABCD,AB=CDABF=ECF.EC=DC, AB=EC在ABF和ECF中，ABF=ECF，AFB=EFC，AB=EC，ABFECF（2）解法一：AB=EC ，ABEC，四邊形ABEC是平行四邊形AF=EF， BF=CF四邊形ABCD是平行四邊形，ABC=D，又AFC=2D，AFC=2ABCAFC=ABF+BAF，ABF=BAFFA=FB FA=FE=FB=FC, AE=BC口ABEC是矩形解法二：AB=EC ，ABEC，四邊形ABEC是平行四邊形四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，D=BCE又AFC=2D，AFC=2BCE，AFC=FCE+FEC，F(xiàn)CE=FECD=FECAE=AD又C

21、E=DC，ACDE即ACE=90口ABEC是矩形2011江蘇南通，26，10分【答案】（1）AEBF證明：如圖2，在正方形ABCD中， ACBDAODAOB90即AOEAOFBOFAOFAOEBOF又OAOBOD，OE2OD，OF2OAOEOFOAEOBFAEBF（2）作AOE的中線AM，如圖3.則OE2OM2OD2OAOAOM30AOM60AOM為等邊三角形MAMOME，又AMO即26030AOE306090AOE為直角三角形.2011湖南衡陽(yáng)，26，10分【解】(1) 假設(shè)當(dāng)m=10時(shí)，存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合（如下圖），PQPDDPC=90，APDBPC=90，又ADPAPD=90，BPC=ADP，又B=A=90，PBCDAP，或8，存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，出此時(shí)AP的長(zhǎng)2 或8(2) 如下圖，PQAC，BPQ=BAC，BPQ=ADP，BAC=ADP，又B=DAP=90，ABCDAP，即，PQAC，BPQ=BAC，B=B，PBQABC，即，(3)由已知 PQPD，所以只有當(dāng)DP=PQ時(shí)，PQD為等腰三角形（如圖），BPQ=ADP，又B=A=90，PBQDAP，PB=DA=4，AP=BQ=，以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式為：S四邊形PQCD= S矩形ABCDSDAPSQBP=16（48）2011江蘇鹽城，27，12分【答案】情境觀察AD（