重慶大學2015概率論與數(shù)理統(tǒng)計試題及解答

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末試題（2）與解答一、填空題（每小題3分，共15分）1 設事件僅發(fā)生一個的概率為0.3，且，則至少有一個不發(fā)生的概率為_.2 設隨機變量服從泊松分布，且，則_.3 設隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布，則隨機變量在區(qū)間內(nèi)的概率密度為_.4 設隨機變量相互獨立，且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則_，=_.5 設總體的概率密度為 .是來自的樣本，則未知參數(shù)的極大似然估計量為_. 解：1 即 所以 . 2 由 知 即 解得 ，故 . 3設的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為，密度為則 因為，所以，即 故 另解 在上函數(shù)嚴格單調(diào)，反函數(shù)為所以 4，故 . 5似然函數(shù)為 解似然方程得的極大似然估計為 .二、單

2、項選擇題（每小題3分，共15分）1設為三個事件，且相互獨立，則以下結論中不正確的是 （A）若，則與也獨立. （B）若，則與也獨立. （C）若，則與也獨立. （D）若，則與也獨立. （ ）2設隨機變量的分布函數(shù)為，則的值為 （A）. （B）. （C）. （D）. （ ）3設隨機變量和不相關，則下列結論中正確的是 （A）與獨立. （B）. （C）. （D）. （ ）4設離散型隨機變量和的聯(lián)合概率分布為 若獨立，則的值為 （A）. （A）. （C） （D）. （ ）5設總體的數(shù)學期望為為來自的樣本，則下列結論中 正確的是 （A）是的無偏估計量. （B）是的極大似然估計量. （C）是的相合（一致）估計

3、量. （D）不是的估計量. （ ） 解：1因為概率為1的事件和概率為0的事件與任何事件獨立，所以（A），（B），（C）都是正確的，只能選（D）.SABC 事實上由圖 可見A與C不獨立. 2所以 應選（A）. 3由不相關的等價條件知應選（B）. 4若獨立則有YX ， 故應選（A）. 5，所以是的無偏估計，應選（A）.三、（7分）已知一批產(chǎn)品中90%是合格品，檢查時，一個合格品被誤認為是次品的概率為0.05，一個次品被誤認為是合格品的概率為0.02，求（1）一個產(chǎn)品經(jīng)檢查后被認為是合格品的概率；（2）一個經(jīng)檢查后被認為是合格品的產(chǎn)品確是合格品的概率. 解：設任取一產(chǎn)品，經(jīng)檢驗認為是合格品 任取一產(chǎn)

4、品確是合格品 則（1） （2） .四、（12分）從學校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗，假設在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是2/5. 設為途中遇到紅燈的次數(shù)，求的分布列、分布函數(shù)、數(shù)學期望和方差. 解：的概率分布為 即 的分布函數(shù)為 .五、（10分）設二維隨機變量在區(qū)域 上服從均勻分布. 求（1）關于的邊緣概率密度；（2）的分布函數(shù)與概率密度.1D01zxyx+y=1x+y=zD1解： （1）的概率密度為 （2）利用公式 其中 當 或時xzz=x 時 故的概率密度為 的分布函數(shù)為 或利用分布函數(shù)法 六、（10分）向一目標射擊，目標中心為坐標原點，已知命中點的橫坐標和縱坐標相

5、互獨立，且均服從分布. 求（1）命中環(huán)形區(qū)域的概率；（2）命中點到目標中心距離的數(shù)學期望.xy012 解： （1） ； （2） . 七、（11分）設某機器生產(chǎn)的零件長度（單位：cm），今抽取容量為16的樣本，測得樣本均值，樣本方差. （1）求的置信度為0.95的置信區(qū)間；（2）檢驗假設（顯著性水平為0.05）. （附注） 解：（1）的置信度為下的置信區(qū)間為 所以的置信度為0.95的置信區(qū)間為（9.7868，10.2132） （2）的拒絕域為. ， 因為 ，所以接受.概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末試題（3）與解答一、填空題（每小題3分，共15分）（1） 設事件與相互獨立，事件與互不相容，事件與互不相容，且

6、，則事件、中僅發(fā)生或僅不發(fā)生的概率為_.（2） 甲盒中有2個白球和3個黑球，乙盒中有3個白球和2個黑球，今從每個盒中各取2個球，發(fā)現(xiàn)它們是同一顏色的，則這顏色是黑色的概率為_.（3） 設隨機變量的概率密度為 現(xiàn)對進行四次獨立重復觀察，用表示觀察值不大于0.5的次數(shù)，則_.（4） 設二維離散型隨機變量的分布列為 若，則_.（5） 設是總體的樣本，是樣本方差，若，則_. （注：, , , ） 解：（1） 因為 與不相容，與不相容，所以，故 同理 . . （2）設四個球是同一顏色的， 四個球都是白球，四個球都是黑球 則 . 所求概率為 所以 . （3） 其中 ， ， . （4）的分布為 XY1200

7、.40.10.510.20.30.50.60.4這是因為 ，由 得 ， 故 . （5） 即 ，亦即 .二、單項選擇題（每小題3分，共15分）（1）設、為三個事件，且，則有 （A） （B） （C） （D） （ ）（2）設隨機變量的概率密度為 且，則在下列各組數(shù)中應取 （A） （B） （C）. （D） （ ）（3）設隨機變量與相互獨立，其概率分布分別為 則有 （A） （B） （C） （D） （ ）（4）對任意隨機變量，若存在，則等于 （A） （B） （C） （D） （ ）（5）設為正態(tài)總體的一個樣本，表示樣本均值，則的 置信度為的置信區(qū)間為 （A） （B） （C） （D） （ ） 解 （1）由知，

8、故 應選C. （2） 即 故當 時 應選B. （3） 應選C. （4） 應選C. （5）因為方差已知，所以的置信區(qū)間為 應選D.三、（8分）裝有10件某產(chǎn)品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丟失一件產(chǎn)品，但不知是幾等品，今從箱中任取2件產(chǎn)品，結果都是一等品，求丟失的也是一等品的概率。 解：設從箱中任取2件都是一等品 丟失等號 . 則 ； 所求概率為.四、（10分）設隨機變量的概率密度為 求（1）常數(shù)； （2）的分布函數(shù)； （3） 解：（1） （2）的分布函數(shù)為 （3）.五、（12分）設的概率密度為 求（1）邊緣概率密度； （2）； （3）的概率密度.x+y=1yy=xx0 解：

9、（1） （2） . （3） zyz=xx0z=2x 當 時 時 所以 六、（10分）（1）設，且與獨立，求； （2）設且與獨立，求.11yx0 解： （1） ； （2）因相互獨立，所以 ，所以.七、（10分）設總體的概率密度為 試用來自總體的樣本，求未知參數(shù)的矩估計和極大似然估計. 解：先求矩估計 故的矩估計為 再求極大似然估計 所以的極大似然估計為 .概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末試題（4）與解答一、填空題（每小題3分，共15分）（1） 設,，則至少發(fā)生一個的概率為_.（2） 設服從泊松分布，若，則_.（3） 設隨機變量的概率密度函數(shù)為 今對進行8次獨立觀測，以表示觀測值大于1的觀測次數(shù)，則_.（4）

10、 元件的壽命服從參數(shù)為的指數(shù)分布，由5個這種元件串聯(lián)而組成的系統(tǒng)，能夠正常工作100小時以上的概率為_.（5） 設測量零件的長度產(chǎn)生的誤差服從正態(tài)分布，今隨機地測量16個零件，得，. 在置信度0.95下，的置信區(qū)間為_. 解：（1） 得 . （2） 故 . . （3），其中 . （4）設第件元件的壽命為，則. 系統(tǒng)的壽命為，所求概率為 （5）的置信度下的置信區(qū)間為 所以的置信區(qū)間為（）.二、單項選擇題（下列各題中每題只有一個答案是對的，請將其代號填入（ ） 中，每小題3分，共15分）（1）是任意事件，在下列各式中，不成立的是 （A）. （B）. （C）. （D）. （ ）（2）設是隨機變量，其

11、分布函數(shù)分別為，為使是某一隨機變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應取 （A）. （B）. （C）. （D）. （ ）（3）設隨機變量的分布函數(shù)為，則的分布函數(shù)為 （A）. （B）. （C）. （D）. （ ）（4）設隨機變量的概率分布為 . 且滿足，則的相關系數(shù)為 （A）0. （B）. （C）. （D）. （ ）（5）設隨機變量且相互獨立，根據(jù)切比 雪夫不等式有 （A）. （B）. （C）. （D）. （ ） 解：（1）（A）：成立，（B）： 應選（B） （2）. 應選（C） （3） 應選（D） （4）的分布為 X2X110110000100 ，所以， 于是 . 應選（A） （5） 由切比

12、雪夫不等式 應選（D）三、（8分）在一天中進入某超市的顧客人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，而進入超市的每一個人購買種商品的概率為，若顧客購買商品是相互獨立的， 求一天中恰有個顧客購買種商品的概率。 解：設一天中恰有個顧客購買種商品 一天中有個顧客進入超市 則 .四、（10分）設考生的外語成績（百分制）服從正態(tài)分布，平均成績（即參數(shù)之值）為72分，96以上的人占考生總數(shù)的2.3%，今任取100個考生的成績，以表示成績在60分至84分之間的人數(shù)，求（1）的分布列. （2）和. 解：（1），其中 由 得 ，即，故 所以 . 故的分布列為 （2），.五、（10分）設在由直線及曲線所圍成的區(qū)域上服從均勻分布，

13、 （1）求邊緣密度和，并說明與是否獨立. （2）求.y01e2xy=1/xD 解：區(qū)域的面積 的概率密度為 （1） （2）因，所以不獨立. （3） .六、（8分）二維隨機變量在以為頂點的三角形區(qū) 域上服從均勻分布，求的概率密度。yx+y=z101xD1 解1： 的概率密度為 設的概率密度為，則 11zy0y 當 或時 當 時 所以的密度為 解2：分布函數(shù)法，設的分布函數(shù)為，則 故的密度為 七、（9分）已知分子運動的速度具有概率密度 為的簡單隨機樣本 （1）求未知參數(shù)的矩估計和極大似然估計； （2）驗證所求得的矩估計是否為的無偏估計。 解：（1）先求矩估計 再求極大似然估計 得的極大似然估計 ，

14、 （2）對矩估計 所以矩估計 是的無偏估計.八、（5分）一工人負責臺同樣機床的維修，這臺機床自左到右排在一條直線上，相鄰兩臺機床的距離為（米）。假設每臺機床發(fā)生故障的概率均為，且相互獨立，若表示工人修完一臺后到另一臺需要檢修的機床所走的路程，求. 解：設從左到右的順序?qū)C床編號為 為已經(jīng)修完的機器編號，表示將要去修的機床號碼，則 于是 概率論與數(shù)理統(tǒng)計試題（5）一、 判斷題（每小題3分，本題共15分。正確打“”，錯誤打“”） 設A、B是中的隨機事件,必有P(A-B)=P(A)-P(B) ( ) 設A、B是中的隨機事件,則AB=AABB ( ) 若X服從二項分布b(k;n,p), 則EX=p (

15、 ) 樣本均值= 是母體均值EX的一致估計 （ ） XN(,) , YN(,) ，則 XYN(0, ) （ ） 二、 計算（10分）（1）教室里有個學生，求他們的生日都不相同的概率；（2）房間里有四個人，求至少兩個人的生日在同一個月的概率.三、（10分） 設，證明、互不相容與、相互獨立不能同時成立.四、（15分）某地抽樣結果表明，考生的外語成績（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績（即參數(shù)之值）為72分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率。分布表如下x 0 1 1.5 2 2.5 3 (x) 0.5 0.841 0.933 0.977 0.994 0.

16、999五、（15分） 設的概率密度為 問是否獨立？ 六、（20分）設隨機變量服從幾何分布，其分布列為 ，求與 七、（15分）設總體服從指數(shù)分布 試利用樣本，求參數(shù)的極大似然估計概率論與數(shù)理統(tǒng)計試題（5）評分標準一 ； ； ； ； 。二 解 （1）設他們的生日都不相同，則 -5分 （2）設至少有兩個人的生日在同一個月，則 ；或 -10分三 證 若、互不相容，則，于是所以 、不相互獨立.-5分 若、相互獨立，則，于是，即、不是互不相容的.-5分四 解 -3分 -7分所求概率為 -12分 =2（1）-1=20.841-1=0.682-15分五 解 邊際密度為 -5分 -10分因為 ，所以獨立.-15

17、分六 解1 -8分其中 由函數(shù)的冪級數(shù)展開有 ，所以 -12分因為 -16分所以 -20分七 解 -8分 由極大似然估計的定義，的極大似然估計為-15分概率論與數(shù)理統(tǒng)計試題（6）一、 判斷題（本題共15分，每小題3分。正確打“”，錯誤打“”） 設A、B是中的隨機事件，則A （ ） 對任意事件A與B，則有P(AB)=P(A)+P(B) （ ） 若X服從二項分布b(k;n,p),則EX=npq ( ) X N（，2 ），X1 ，X 2 ，Xn是X的樣本，則 N（，2 ）（） X為隨機變量，則DX=Cov（X，X）-（ ）二、（10分）一袋中裝有枚正品硬幣，枚次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國徽）從袋

18、中任取一枚，已知將它投擲次，每次都得到國徽，問這枚硬幣是正品的概率是多少？.三、（15分）在平面上畫出等距離的一些平行線，向平面上隨機地投擲一根長的針，求針與任一平行線相交的概率.四、（15分） 從學校到火車站的途中有3個交通崗，假設在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是，設為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機變量的分布律、分布函數(shù)和數(shù)學期望.五、（15分）設二維隨機變量（，）在圓域x2+y2a2上服從均勻分布，（1）求和的相關系數(shù)；（2）問是否獨立？ 六、（10分）若隨機變量序列滿足條件 試證明服從大數(shù)定律.七、（10分） 設是來自總體的一個樣本，是的一個估計量，若且試證是的相合（一致）估計量。 八、（10分）某種零