向心加速度公式推導(dǎo)完整版—李朝輝整理.doc

1、向心加速度公式推導(dǎo)完整版李朝輝整理向心加速度是勻速圓周運(yùn)動(dòng)中的教學(xué)難點(diǎn)，這是由于學(xué)生因長(zhǎng)期接受標(biāo)量運(yùn)算而產(chǎn)生的思維定勢(shì)，認(rèn)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)中物體運(yùn)動(dòng)速率不變，故其因此我們?cè)诮虒W(xué)中必須強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)，一的矢量性，速度的方向變化也表示速度有變化，故v0，另一是速度變化的方向就是加速度的方向。因此在教學(xué)中必須說(shuō)清楚v的方向。教材中引進(jìn)了速度三角形的方法，實(shí)際上已經(jīng)考慮到了上述兩點(diǎn)。關(guān)于向心加速度公式的推導(dǎo)方法甚多，下面提供幾種有推導(dǎo)方法，供大家參考。方法一：（課本上的方法）利用加速度的定義推導(dǎo)（又稱矢量合成法）：如圖所示：設(shè)小球在很短的時(shí)間t內(nèi)從A運(yùn)動(dòng)到B,在時(shí)間t內(nèi)速度變化為v,因?yàn)镺ABBDC（可自己證

2、一下）,所以有：v/v=AB/R當(dāng)t0時(shí),AB=弧AB所以：v=弧AB/t,a=v/t所以a=v/R方法二：在矢量合成法中應(yīng)用三角函數(shù)推導(dǎo)：如圖所示，物體自半徑為r的圓周a勻速率運(yùn)動(dòng)至b，所經(jīng)時(shí)間為t，若物體在a、b點(diǎn)的速率為va=vb=v，則其速度的增量v=vb-va=vb+（-va），由平行四邊形法則作出其矢量圖如圖。由余弦定理可得可見(jiàn)當(dāng)0時(shí)，=90，即v的方向和vb垂直，由于vb方向?yàn)閳A周切線方向，故v的方向指向圓心.因v的方向即為加速度的方向，可見(jiàn)勻速圓周運(yùn)動(dòng)中加速度的方向指向圓心， 。方法三：利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解推導(dǎo)（簡(jiǎn)稱運(yùn)動(dòng)合成法）由于慣性, 小球有離開(kāi)圓心沿切線運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì), 而細(xì)

3、線的拉力卻拉著小球向圓心運(yùn)動(dòng).這樣小球運(yùn)動(dòng)可分解成沿切線方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿半徑方向的初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)設(shè)在很短的時(shí)間t內(nèi), 小球沿圓周從A到B,可分解為沿切線AC方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿AD方向初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng).如圖一：方法四：利用開(kāi)普勒第三定律、萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律推導(dǎo)向心加速度設(shè)：質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星以速率v在半徑為r的近圓軌道上繞地球運(yùn)行, 運(yùn)行周期為T(mén),地球質(zhì)量為M.根據(jù)開(kāi)普勒第三定律：T/r=k（k為常量）根據(jù)萬(wàn)有引力定律：F=GMm/r對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)的物體有：T=2r/v根據(jù)牛頓第二定律：a=F/m聯(lián)立上述各式有：a=（GMk/4）（v/r）所以：av/r方法五：曲率圓法方法六：類比法：設(shè)有一位置矢量r繞o點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其矢端由a至b時(shí)發(fā)生的位移為s（如圖4）.若所經(jīng)時(shí)間為t，則在此段時(shí)間內(nèi)的平均速率顯然這個(gè)速率描述的是位置矢量矢端的運(yùn)動(dòng)速率，當(dāng)t趨近于零時(shí)，這個(gè)平均速率就表示位置矢量的矢端在某一時(shí)刻的即時(shí)速率，如果旋轉(zhuǎn)是勻角速的，則其矢端的運(yùn)動(dòng)也是勻速率的，易知其速率（1）式中t為旋轉(zhuǎn)周期.再如圖5是一物體由a至b過(guò)程中，每轉(zhuǎn)過(guò)1/8圓周，速度變化的情況。現(xiàn)將其速度平移至圖6中，容易看出圖6和圖5相類似，所不同的是圖5表示的是位置矢量的旋轉(zhuǎn).，而圖6則是速度矢量的旋轉(zhuǎn)，顯然加速度是速度的變化率，即由圖6可知，這個(gè)速度變化率其實(shí)就是端的旋轉(zhuǎn)