高中數學基本不等式知識點歸納及練習題;

1、高中數學基本不等式的巧用1基本不等式：(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號成立的條件：當且僅當ab時取等號2幾個重要的不等式(1)a2b22ab(a，br)；(2)2(a，b同號)；(3)ab2(a，br)；(4)2(a，br)3算術平均數與幾何平均數設a0，b0，則a，b的算術平均數為，幾何平均數為，基本不等式可敘述為兩個正數的算術平均數大于或等于它的幾何平均數4利用基本不等式求最值問題已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最小值是2.(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大) 一個技巧

2、運用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a，b0)逆用就是ab2(a，b0)等還要注意“添、拆項”技巧和公式等號成立的條件等 兩個變形(1)2ab(a，br，當且僅當ab時取等號)；(2) (a0，b0，當且僅當ab時取等號)這兩個不等式鏈用處很大，注意掌握它們 三個注意(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可(2)在運用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件(3)連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴格，要求同

3、時滿足任何一次的字母取值存在且一致應用一：求最值例1：求下列函數的值域（1）y3x 2 （2）yx解題技巧：技巧一：湊項例1：已知，求函數的最大值。技巧二：湊系數例1. 當時，求的最大值。技巧三： 分離例3. 求的值域。技巧四：換元技巧五：注意：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函數的單調性。例：求函數的值域。練習求下列函數的最小值，并求取得最小值時，x 的值. （1） （2） (3) 2已知，求函數的最大值.；3，求函數的最大值.條件求最值1.若實數滿足，則的最小值是 .變式：若，求的最小值.并求x,y的值技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致

4、性，否則就會出錯。2：已知，且，求的最小值。變式： （1）若且，求的最小值(2)已知且，求的最小值技巧七、已知x，y為正實數，且x 21，求x的最大值.技巧八：已知a，b為正實數，2baba30，求函數y的最小值.技巧九、取平方5、已知x，y為正實數，3x2y10，求函數w的最值.應用二：利用基本不等式證明不等式1已知為兩兩不相等的實數，求證：1）正數a，b，c滿足abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc例6：已知a、b、c，且。求證：應用三：基本不等式與恒成立問題例：已知且，求使不等式恒成立的實數的取值范圍。 應用四：均值定理在比較大小中的應用：例：若，則的大小關系是 .解：（1）y

5、3x 22 值域為，+） （2）當x0時，yx22；當x0時， yx= （ x）2=2值域為（，22，+）解：因，所以首先要“調整”符號，又不是常數，所以對要進行拆、湊項，當且僅當，即時，上式等號成立，故當時，。評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值。解析：由知，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個系數即可。當，即x2時取等號 當x2時，的最大值為8。評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值。解析一：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊

6、出含有（x1）的項，再將其分離。當,即時,（當且僅當x1時取“”號）解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在分離求最值。當,即t=時,（當t=2即x1時取“”號）。評注：分式函數求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用基本不等式來求最值。解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調性。因為在區(qū)間單調遞增，所以在其子區(qū)間為單調遞增函數，故。所以，所求函數的值域為。分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值， 解： 都是正數，當時等號成立，由及得

7、即當時，的最小值是6錯解：，且， 故 。錯因：解法中兩次連用基本不等式，在等號成立條件是，在等號成立條件是即,取等號的條件的不一致，產生錯誤。因此，在利用基本不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。正解：，當且僅當時，上式等號成立，又，可得時， 。分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式ab。同時還應化簡中y2前面的系數為 ， xx x下面將x，分別看成兩個因式：x 即xx 分析：這是一個二元函數的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函數問題，再用單調性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題

8、來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。法一：a， abb 由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2（t）34t28 ab18 y 當且僅當t4，即b3，a6時，等號成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab2令u則u22u300， 5u3 3，ab18，y點評：本題考查不等式的應用、不等式的解法及運算能力；如何由已知不等式出發(fā)求得的范圍，關鍵是尋找到之間的關系，由此想到不等式，這樣將已知條件轉換為含的不等式，進而解得的范圍.變式：1.已知a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系，本題很簡單 2 解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。w0，w23x2y210210()2()2 10(3x2y)20 w2 變式: 求函數的最大值。解析：注意到與的和為定值。又，所以當且僅當=，即時取等號。 故。評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件?？傊?，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，