初中幾何經(jīng)典例題及解題技巧;

1、初中幾何證明技巧及經(jīng)典試題證明兩線段相等 1. 兩全等三角形中對應(yīng)邊相等。 2.同一三角形中等角對等邊。 3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。 4.平行四邊形的對邊或?qū)蔷€被交點分成的兩段相等。 5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。 6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。 7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。 8.過三角形一邊的中點且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。 *9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。 *10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。 11.兩前項（或兩

2、后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等。 *12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長相等。 13.等于同一線段的兩條線段相等。 證明兩個角相等 1.兩全等三角形的對應(yīng)角相等。 2.同一三角形中等邊對等角。 3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。 4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯角或平行四邊形的對角相等。 5.同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。 *6.同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。 *7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。 8.相似三角形的對應(yīng)角相等。 *9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角。 10.等于同

3、一角的兩個角相等。 證明兩條直線互相垂直1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。 2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。 3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。 4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。 5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。 6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。 7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的對角線互相垂直。 *10.在圓中平分弦（或?。┑闹睆酱怪庇谙?。 *11.利用半圓上的圓周角是直角。 證明兩直線平行 1.垂直于同一直線的各直線平行。 2.同位角相等，

4、內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。 3.平行四邊形的對邊平行。 4.三角形的中位線平行于第三邊。 5.梯形的中位線平行于兩底。 6.平行于同一直線的兩直線平行。 7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。 證明線段的和差倍分 1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。 2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。 3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。 4.取長線段的中點，再證其一半等于短線段。 5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）。

5、 證明 角的和差倍分 1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。 2.利用角平分線的定義。 3.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。 證明線段不等 1.同一三角形中，大角對大邊。 2.垂線段最短。 3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。 4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。 *5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。 6.全量大于它的任何一部分。 證明兩角的不等1.同一三角形中，大邊對大角。 2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。 3.在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。 *4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心

6、角大。 5.全量大于它的任何一部分。 證明比例式或等積式 1.利用相似三角形對應(yīng)線段成比例。 2.利用內(nèi)外角平分線定理。 3.平行線截線段成比例。 4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理。 *5.與圓有關(guān)的比例定理-相交弦定理、切割線定理及其推論。 6.利用比利式或等積式化得。 證明四點共圓*1.對角互補(bǔ)的四邊形的頂點共圓。 *2.外角等于內(nèi)對角的四邊形內(nèi)接于圓。 *3.同底邊等頂角的三角形的頂點共圓（頂角在底邊的同側(cè)）。 *4.同斜邊的直角三角形的頂點共圓。 *5.到頂點距離相等的各點共圓知識歸納： 1. 幾何證明是平面幾何中的一個重要問題，它對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有

7、兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問題常常可以相互轉(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問題。 2. 掌握分析、證明幾何問題的常用方法： （1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問題的解決； （2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實為止； （3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實際思考問題時，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后

8、達(dá)到證明目的。 3. 掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的。一. 證明線段相等或角相等 兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。 例1. 已知：如圖1所示，中，。 求證：dedf 分析：由是等腰直角三角形可知，由d是ab中點，可考慮連結(jié)cd，易得，

9、。從而不難發(fā)現(xiàn) 證明：連結(jié)cd 說明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應(yīng)該連結(jié)cd，因為cd既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。本題亦可延長ed到g，使dgde，連結(jié)bg，證是等腰直角三角形。 例2. 已知：如圖2所示，abcd，adbc，aecf。求證：ef 證明：連結(jié)ac 在和中， 在和中， 說明：利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線，制造全等三角形，這時應(yīng)注意： （1）制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量； （2）添輔助線能夠直接得到的兩個全等三角形。二. 證明直線平行或垂直

10、 在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來證，也可通過邊對應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個角等于90，或利用兩個銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來證。 例3. 如圖3所示，設(shè)bp、cq是的內(nèi)角平分線，ah、ak分別為a到bp、cq的垂線。求證：khbc 分析：由已知，bh平分abc，又bhah，延長ah交bc于n，則babn，ahhn。同理，延長ak交bc于m，則cacm，akkm。從而由三角形的中位線定理，知khbc。 證明：延長ah交bc于n，延長ak交bc于m bh平分abc 又bhah bhb

11、h 同理，cacm，akkm 是的中位線 即kh/bc 說明：當(dāng)一個三角形中出現(xiàn)角平分線、中線或高線重合時，則此三角形必為等腰三角形。我們也可以理解成把一個直角三角形沿一條直角邊翻折（軸對稱）而成一個等腰三角形。 例4. 已知：如圖4所示，abac，。 求證：fded 證明一：連結(jié)ad 在和中， 說明：有等腰三角形條件時，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。 證明二：如圖5所示，延長ed到m，使dmed，連結(jié)fe，fm，bm 說明：證明兩直線垂直的方法如下： （1）首先分析條件，觀察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用輔助線，見本題證二。 （2）找到待證三直線所組成的三角

12、形，證明其中兩個銳角互余。 （3）證明二直線的夾角等于90。三. 證明一線段和的問題 （一）在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長法） 例5. 已知：如圖6所示在中，bac、bca的角平分線ad、ce相交于o。 求證：acaecd 分析：在ac上截取afae。易知，。由，知。，得： 證明：在ac上截取afae 又 即（二）延長一較短線段，使延長部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長線段。（補(bǔ)短法） 例6. 已知：如圖7所示，正方形abcd中，f在dc上，e在bc上，。 求證：efbedf 分析：此題若仿照例1，將會遇到困難，不易利用

13、正方形這一條件。不妨延長cb至g，使bgdf。 證明：延長cb至g，使bgdf 在正方形abcd中， 又 即gaefae 中考題： 如圖8所示，已知為等邊三角形，延長bc到d，延長ba到e，并且使aebd，連結(jié)ce、de。 求證：eced 證明：作df/ac交be于f 是正三角形 是正三角形 又aebd 即efac 題型展示： 證明幾何不等式： 例題：已知：如圖9所示，。 求證： 證明一：延長ac到e，使aeab，連結(jié)de 在和中， 證明二：如圖10所示，在ab上截取afac，連結(jié)df 則易證 說明：在有角平分線條件時，常以角平分線為軸翻折構(gòu)造全等三角形，這是常用輔助線。實戰(zhàn)模擬： 1. 已知：如圖11所示，中，d是ab上一點，decd于d，交bc于e，且有。求證： 2. 已知：如圖12所示，在中，cd是c的平分線。 求證：bcacad 3. 已知：如圖13所示，過的頂點a，在a內(nèi)任引一射線，過b、c作此射線的垂線bp和cq。設(shè)m為bc的中點。 求證：mpmq 4. 中，于d，求證：【試題答案】 1. 證明：取cd的中點f，連