阿波羅尼斯圓問(wèn)題

1、阿波羅尼斯圓問(wèn)題 一【問(wèn)題背景】蘇教版數(shù)學(xué)必修2P.112第12題：已知點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為，那么點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？畫(huà)出滿足條件的點(diǎn)所構(gòu)成的曲線二、【阿波羅尼斯圓】公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（Apollonius）在平面軌跡一書(shū)中，曾研究了眾多的平面軌跡問(wèn)題，其中有如下結(jié)果：到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或圓如圖，點(diǎn)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓，后世稱之為阿波羅尼斯圓證：設(shè)以中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則又設(shè)，則由得， 兩邊平方并化簡(jiǎn)整理得， 當(dāng)時(shí)，軌跡為線段的垂直平分線；當(dāng)時(shí)，軌跡為以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓 上述

2、課本習(xí)題的一般化情形就是阿波羅尼斯定理三、【范例】例1 滿足條件的三角形的面積的最大值是 解：以中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由得，平方化簡(jiǎn)整理得，則，的最大值是變式 在中，邊的中點(diǎn)為，若，則的面積的最大值是 解：以中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，由知，的軌跡為阿波羅尼斯圓，方程為，設(shè)，的中點(diǎn)為得，所以點(diǎn)的軌跡方程為，即，故的最大值是例2 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，若存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 解：設(shè)，則 ，整理得，即動(dòng)點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)另一方面，由知?jiǎng)狱c(diǎn)在線段的垂直平分線上運(yùn)動(dòng)，因而問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為直線與圓有交點(diǎn)，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是例3 在平

3、面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線.設(shè)圓的半徑為 ，圓心在上.若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.解： 設(shè)，則圓方程為又設(shè)， ， 即這說(shuō)明既在圓上，又在圓上，因而這兩個(gè)圓必有交點(diǎn)，即兩圓相交或相切， ，解得，即的取值范圍是例4 已知和點(diǎn).（1）過(guò)點(diǎn)向引切線，求直線的方程；（2）求以點(diǎn)為圓心，且被直線截得的弦長(zhǎng)為4的的方程；（3）設(shè)為（2）中上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向引切線，切點(diǎn)為Q. 試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)，使得為定值？若存在，請(qǐng)舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）設(shè)切線方程為 ，易得，解得， 切線方程為 （2）圓心到直線的距離為，設(shè)圓的半徑為，則 的方程為 （3）假設(shè)存在這

4、樣的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，相應(yīng)的定值為，根據(jù)題意可得，即 （*），又點(diǎn)在圓上，即，代入（*）式得： 若系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，則等式恒成立，解得，可以找到這樣的定點(diǎn)，使得為定值. 如點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，比值為；點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，比值為 四、【練習(xí)】1如圖，在等腰中，已知，邊的中點(diǎn)為，點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于 解：，所以點(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，易知其方程為， 設(shè)，由邊的中點(diǎn)為知，所以的軌跡方程為，即，面積為2如圖，已知平面平面，、是平面與平面的交線上的兩個(gè)定點(diǎn)，且，在平面上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使得，求的面積的最大值 解：將空間幾何體中的線、面、角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)點(diǎn)所滿足的幾何條件 ,在中, ，同理， ，這樣就轉(zhuǎn)化為題3的題型在平面上,以線段的中點(diǎn)為原點(diǎn),所在的直線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)則有化簡(jiǎn)得:，的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)取得，則的面積的最大值是3圓與圓的半徑都是，過(guò)動(dòng)點(diǎn)分別作圓、圓的切線（分別為切點(diǎn)），使得試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解：以，的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，PMNO1O2Oyx則，由已知得， 因?yàn)閮蓤A的半徑都為1,所以有：，設(shè)P（x,y），則， 即，此即P的軌跡方程.4已知定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)是否存在不同于的定點(diǎn)