集合及其表示方法學案(教師用)

1、1.1.1集合及其表示方法【知識導(dǎo)學】知識點一集合與元素的定義(1)集合：把一些能夠確定的、不同的對象匯集在一起，就說由這些對象組成一個集合(有時簡稱為集)(2)元素：組成集合的每個對象都是這個集合的元素(3)表示：通常用英文大寫字母A，B，C，表示集合，用英文小寫字母a，b，c，表示集合中的元素知識點二 元素與集合的關(guān)系(1)“屬于”：如果a是集合A的元素，就記作 ，讀作“a屬于A”(2)“不屬于”：如果a不是集合A的元素，就記作 ，讀作“a不屬于A”知識點三 空集一般地，我們把不含任何元素的集合稱為 ，記作 .知識點四 集合中元素的三個特性(1) ；(2) ；(3) 知識點五 集合的分類(

2、1 ；(2) 知識點六 幾個常用數(shù)集的固定字母表示知識點七 集合的表示方法集合常見的表示方法有： 、 、 、 (以及后面將要學習的維恩圖法和數(shù)軸表示法等直觀表示方法)(1)列舉法：把集合中的元素 出來(相鄰元素之間用逗號分隔)，并寫在 內(nèi)，以此來表示集合的方法稱為列舉法使用列舉法表示集合時需注意的幾點元素之間用“，”隔開；元素不重復(fù)，滿足元素的互異性；元素無順序，滿足元素的無序性；對于含較多元素的集合，如果構(gòu)成該集合的元素有明顯規(guī)律，可用列舉法，但是必須把元素間的規(guī)律表述清楚后才能用省略號(2)描述法：如果屬于集合A的任意一個元素x都具有性質(zhì)p(x)，而不屬于集合A的元素都不具有這個性質(zhì)，則性

3、質(zhì)p(x)稱為集合A的一個 此時，集合A可以用它的特征性質(zhì)p(x)表示為 這種表示集合的方法，稱為特征性質(zhì)描述法，簡稱為描述法知識點八 區(qū)間實數(shù)集R可以用區(qū)間表示為 ，“”讀作“無窮大”，“”讀作“負無窮大”，“”讀作“正無窮大”我們可以把滿足xa，xa，xb，xb的實數(shù)x的集合分別表示為 、 、 可以看出，區(qū)間實質(zhì)上是一類特殊 (即由數(shù)軸某一段上所有點對應(yīng)的實數(shù)組成的集合)的符號表示；例如，大于1且小于10的所有自然數(shù)組成的集合就不能用區(qū)間(1,10)表示.【評價自測】1判一判(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)某校高一年級16歲以下的學生能構(gòu)成集合()(2)已知A是一個確定的集合，a是任一

4、元素，要么aA，要么aA，二者必居其一且只居其一()(3)對于數(shù)集A1,2，x2，若xA，則x0.()(4)對于區(qū)間2a，a1，必有a0.()(5)集合y|yx2，xR與s|st2，tR的元素完全相同()答案(1)(2)(3)(4)(5)2做一做(1)下列所給的對象能組成集合的是()A“金磚國家”成員國 B接近1的數(shù)C著名的科學家 D漂亮的鮮花(2)用適當?shù)姆?，)填空0_，0_0,0_N，2_N*，_Z，_Q，_R.(3)不等式2x13的解集可以用區(qū)間表示為_答案(1)A(2) (3)2，)【核心素養(yǎng)】題型一 集合概念的理解例1下列所給的對象能構(gòu)成集合的是_所有的正三角形；高一數(shù)學必修第一

5、冊課本上的所有難題；比較接近1的正數(shù)全體；某校高一年級的全體女生；平面直角坐標系內(nèi)到原點的距離等于1的點的集合；參加2019年世乒賽的年輕運動員；a，b，a，c.解析能構(gòu)成集合其中的元素需滿足三條邊相等不能構(gòu)成集合因“難題”的標準是模糊的，不確定的，故不能構(gòu)成集合不能構(gòu)成集合因“比較接近1”的標準不明確，所以元素不確定，故不能構(gòu)成集合能構(gòu)成集合其中的元素是“高一年級的全體女生”能構(gòu)成集合其中的元素是“到坐標原點的距離等于1的點”不能構(gòu)成集合因為“年輕”的標準是模糊的，不確定的，故不能構(gòu)成集合不能構(gòu)成集合因為兩個a是重復(fù)的，不符合集合元素的互異性答案【金版點睛】判斷一組對象能否構(gòu)成集合的方法(1

6、)關(guān)鍵：看是否給出一個明確的標準，使得對于任何一個對象能按此標準確定它是不是給定集合的元素(2)切入點：解答此類問題的切入點是集合元素的特性，即確定性、互異性和無序性【跟蹤訓(xùn)練1】判斷下列說法是否正確？并說明理由(1)大于3的所有自然數(shù)組成一個集合；(2)未來世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個集合；(3)1,0.5，組成的集合含有四個元素；(4)出席2019年全國兩會的所有參會代表組成一個集合解(1)中的對象是確定的，互異的，所以可構(gòu)成一個集合，故正確(2)中的“高科技”標準是不確定的，所以不能構(gòu)成集合，故錯誤(3)中由于0.5，不符合集合中元素的互異性，故錯誤(4)中的對象是確定的，所以可以構(gòu)成一個集

7、合，故正確.題型二 元素與集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用例2(1)下列所給關(guān)系正確的個數(shù)是()R；Q；0N*；|4|N*.A1 B2 C3 D4(2)集合A中的元素x滿足N，xN，則集合A中的元素為_解析(1)是實數(shù)，是無理數(shù)，正確；N*表示正整數(shù)集，而0不是正整數(shù)，故不正確；又|4|4是正整數(shù)，故不正確，正確的共有2個(2)N，xN，即0x6，x0,1,2,3,4,5.當x分別為0,3,4,5時，相應(yīng)的值分別為1,2,3,6，也是自然數(shù)，故填0,3,4,5.答案(1)B(2)0,3,4,5【金版點睛】1.常用數(shù)集之間的關(guān)系2.確定集合中元素的三個注意點(1)判斷集合中元素的個數(shù)時，注意集合中的元素必須

8、滿足互異性.(2)集合中的元素各不相同，也就是說集合中的元素一定要滿足互異性.(3)若集合中的元素含有參數(shù)，要抓住集合中元素的互異性，采用分類討論的方法進行研究.【跟蹤訓(xùn)練2】(1)用符號“”或“”填空0_N*；1_N；1.5_Z；2_Q；4_R；若x210，則x_R.(2)設(shè)xR，集合A中含有三個元素3，x，x22x.求實數(shù)x應(yīng)滿足的條件；若2A，求實數(shù)x的值答案(1)(2)見解析解析(1)0不是正整數(shù)，0N*.1是自然數(shù)，1N.1.5是小數(shù)，不是整數(shù)，1.5Z.2是無理數(shù)，2Q.4是無理數(shù)，無理數(shù)是實數(shù)，4R.滿足x210的實數(shù)不存在，x為非實數(shù)，xR.(2)根據(jù)集合元素的互異性，可知即x

9、0，且x3且x1.x22x(x1)211，且2A，x2.題型三 集合中元素的特性例3已知集合A有三個元素：a3,2a1，a21，集合B也有三個元素：0,1，x.(1)若3A，求a的值；(2)若x2B，求實數(shù)x的值解(1)由3A且a211，可知a33或2a13，當a33時，a0；當2a13時，a1.經(jīng)檢驗，0與1都符合要求得a0或1.(2)當x0,1，1時，都有x2B，但考慮到集合元素的互異性，x0，x1，故x1.【金版點睛】利用集合元素互異性求參數(shù)問題(1)根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出參數(shù)的所有可能值，再根據(jù)集合中元素的互異性對集合中元素進行檢驗(也是本講易錯問題)(2)利用集合中元素的特

10、性解題時，要注意分類討論思想的應(yīng)用【跟蹤訓(xùn)練3】已知集合A包含三個元素：a2,2a25a,12，且3A，求a的值解因為A包含三個元素a2,2a25a,12，且3A，所以a23或2a25a3，解得a1或a.當a1時，A中三個元素為：3，3,12，不符合集合中元素的互異性，舍去當a時，A中三個元素為：，3,12，滿足題意故a.題型四 集合的分類例4下列各組對象能否構(gòu)成集合？若能，請指出它們是有限集、無限集，還是空集(1)非負奇數(shù)；(2)小于18的既是正奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)；(3)在平面直角坐標系中所有第三象限的點；(4)在實數(shù)范圍內(nèi)方程(x21)(x22x1)0的解集；(5)在實數(shù)范圍內(nèi)方程組的解構(gòu)成

11、的集合解(1)能構(gòu)成集合，是無限集(2)小于18的質(zhì)數(shù)是2,3,5,7,11,13,17.只有2是偶數(shù)，其余的都是正奇數(shù)，所以能構(gòu)成集合，是有限集(3)第三象限的點的橫坐標和縱坐標都小于0，能構(gòu)成集合，是無限集(4)能構(gòu)成集合，注意集合中元素的互異性，集合中的元素是1，1，是有限集(5)由x2x10的判別式30，方程無實根，由此可知方程組無解，能構(gòu)成集合，是空集【金版點睛】集合的分類方法判斷集合是有限集，還是無限集，關(guān)鍵在于弄清集合中元素的構(gòu)成，從而確定集合中元素的個數(shù)【跟蹤訓(xùn)練4】指出下列各組對象是否能組成集合，若能組成集合，則指出集合是有限集、無限集，還是空集(1)平方等于1的數(shù)；(2)所

12、有的矩形；(3)平面直角坐標系中第二象限的點；(4)被3除余數(shù)是1的正數(shù)；(5)平方后等于3的實數(shù)；(6)15的正約數(shù)解(1)中對象能組成集合，它是一個有限集；(2)中對象能組成集合，它是一個無限集；(3)中對象能組成集合，它是一個無限集；(4)中對象能組成集合，它是一個無限集；(5)中對象能組成集合，它是一個空集；(6)中對象能組成集合，它是一個有限集.題型五 用列舉法表示集合例5用列舉法表示下列集合：(1)方程0的所有實數(shù)根組成的集合；(2)不大于10的質(zhì)數(shù)集；(3)一次函數(shù)yx與y2x1圖像的交點組成的集合解(1)方程0的實數(shù)根為2，故其實數(shù)根組成的集合為2(2)不大于10的質(zhì)數(shù)有2,3

13、,5,7，故不大于10的質(zhì)數(shù)集為2,3,5,7(3)由解得故一次函數(shù)yx與y2x1圖像的交點組成的集合為(1,1)【金版點睛】用列舉法表示集合應(yīng)注意的三點(1)應(yīng)先弄清集合中的元素是什么，是數(shù)還是點，還是其他元素(2)集合中的元素一定要寫全，但不能重復(fù)(3)若集合中的元素是點，則應(yīng)將有序?qū)崝?shù)對用小括號括起來表示一個元素【跟蹤訓(xùn)練5】用列舉法表示下列集合：(1)不等式組的整數(shù)解組成的集合；(2)式子(a0，b0)的所有值組成的集合解(1)由得30，b0時，2；當a0，b0，b0或a0時，0.故所有值組成的集合為2,0,2.題型六 用描述法表示集合例6用描述法表示下列集合：(1)坐標平面內(nèi)，不在第

14、一、三象限的點的集合；(2)所有被3除余1的整數(shù)的集合；(3)使y有意義的實數(shù)x的集合解(1)因為不在第一、三象限的點分布在第二、四象限或坐標軸上，所以坐標平面內(nèi)，不在第一、三象限的點的集合為(x，y)|xy0，xR，yR(2)因為被3除余1的整數(shù)可表示為3n1，nZ，所以所有被3除余1的整數(shù)的集合為x|x3n1，nZ(3)要使y有意義，則x2x60.由x2x60，得x12，x23.所以使y有意義的實數(shù)x的集合為x|x2且x3，xR【金版點睛】用描述法表示集合的注意點(1)用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清集合的屬性，是數(shù)集、點集還是其他的類型一般地，數(shù)集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數(shù)對

15、來表示(2)用描述法表示集合時，若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母，要對新字母說明其含義或取值范圍(3)多層描述時，應(yīng)當準確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi)【跟蹤訓(xùn)練6】試用描述法表示下列集合：(1)方程x2x20的解集；(2)大于1且小于7的所有整數(shù)組成的集合解(1)方程x2x20的解可以用x表示，它滿足的條件是x2x20，因此，方程的解集用描述法表示為xR|x2x20(2)大于1且小于7的整數(shù)可以用x表示，它滿足的條件是xZ，且1x7，因此，該集合用描述法表示為xZ|1x7.題型七 列舉法和描述法的綜合運用例7集合Ax|kx28x160，若集合A只有一個元素，試求實數(shù)k的值，

16、并用列舉法表示集合A.解當k0時，原方程為168x0，x2，此時A2，符合題意當k0時，由集合A中只有一個元素，方程kx28x160有兩個相等實根即6464k0，即k1，從而x1x24，集合A4綜上所述，實數(shù)k的值為0或1.當k0時，A2；當k1時，A4條件探究把本例條件“只有一個元素”改為“有兩個元素”，求實數(shù)k取值范圍的集合解由題意可知方程kx28x160有兩個不等的實根解得k1且k0.k的取值范圍的集合為k|k1且k0【金版點睛】分類討論思想在集合中的應(yīng)用(1)本題在求解過程中，常因忽略討論k是否為0而漏解由kx28x160是否為一元二次方程而分k0和k0兩種情況，注意做到不重不漏(2)

17、解答與集合描述法有關(guān)的問題時，明確集合中的代表元素及其共同特征是解題的切入點【跟蹤訓(xùn)練7】(1)設(shè)集合B.試判斷元素1,2與集合B的關(guān)系；用列舉法表示集合B.(2)已知集合Ax|x2axb0，若A2,3，求a，b的值解(1)當x1時，2N.當x2時，N.所以1B,2B.N，xN，2x只能取2,3,6，x只能取0,1,4.B0,1,4(2)由A2,3知，方程x2axb0的兩根為2,3，由根與系數(shù)的關(guān)系，得因此a5，b6.題型八 集合中的新定義問題例8已知集合A1,2,4，則集合B(x，y)|xA，yA中元素的個數(shù)為()A3 B6 C8 D9解析根據(jù)已知條件，列表如下：由上表可知，B中的元素有9個

18、，故選D.答案D【金版點睛】本例借助表格語言，運用列舉法求解.表格語言是常用的數(shù)學語言，表達問題清晰，明了；列舉法是分析問題的重要的數(shù)學方法，通過“列舉”直接解決問題或發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律，此方法通常配合圖表(含樹形圖)使用.【跟蹤訓(xùn)練8】定義A*Bz|zxy，xA，yB，設(shè)A1,2，B0,2，則集合A*B中的所有元素之和為()A0 B2 C3 D6答案D解析根據(jù)已知條件，列表如右圖：根據(jù)集合中元素的互異性，由上表可知A*B0,2,4，故集合A*B中所有元素之和為0246，故選D.【隨堂測試】1下列所給的對象不能組成集合的是()A我國古代的四大發(fā)明B二元一次方程xy1的解C我班年齡較小的同學D平面內(nèi)到定點距離等于定長的點答案C解析C項中“年齡較小的同學”的標準不明確，不符合確定性故選C.2已知集合A含有三個元素2,4,6，且當aA時，有6aA，則a為()A2 B2或4 C4 D0答案B解析集合A中含有三個元素2,4,6，且當aA時，有6aA.當a2A時，6a4A，a2符合題意；當a4A時，6a2A，a4符合題意；當a6A時，6a0A，綜上所述，a2或4.故選B.3由實數(shù)