高等數(shù)學(xué)下-復(fù)旦大學(xué)出版-習(xí)題十答案詳解

1、習(xí)題十1. 根據(jù)二重積分性質(zhì)，比較與的大小，其中：（1）D表示以（0，1），（1，0），（1，1）為頂點(diǎn)的三角形；（2）D表示矩形區(qū)域.解：（1）區(qū)域D如圖10-1所示，由于區(qū)域D夾在直線x+y=1與x+y=2之間，顯然有圖10-1從而 故有 所以 （2）區(qū)域D如圖10-2所示.顯然，當(dāng)時(shí)，有.圖10-2從而 ln(x+y)1故有 所以 2. 根據(jù)二重積分性質(zhì)，估計(jì)下列積分的值：（1）;（2）;（3）.解：（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有, 因而 .從而 故 即而 （為區(qū)域D的面積），由=4得 .(2) 因?yàn)?，從而?即而所以（3）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以故 即 而 所以 3. 根據(jù)二重積分的幾何意義，確定下列積分的

2、值：（1）（2）解：（1）在幾何上表示以D為底，以z軸為軸，以（0，0，a）為頂點(diǎn)的圓錐的體積，所以（2）在幾何上表示以原點(diǎn)（0，0，0）為圓心，以a為半徑的上半球的體積，故4. 設(shè)f(x，y)為連續(xù)函數(shù)，求.解：因?yàn)閒(x，y)為連續(xù)函數(shù)，由二重積分的中值定理得，使得又由于D是以（x0，y0）為圓心，r為半徑的圓盤(pán)，所以當(dāng)時(shí)，于是：5. 畫(huà)出積分區(qū)域，把化為累次積分：（1）;(2) (3) 解：（1）區(qū)域D如圖10-3所示，D亦可表示為.所以(2) 區(qū)域D如圖10-4所示，直線y=x-2與拋物線x=y2的交點(diǎn)為（1，-1），（4，2），區(qū)域D可表示為 . 圖10-3 圖10-4所以（3）區(qū)域

3、D如圖10-5所示，直線y=2x與曲線的交點(diǎn)(1，2)，與x=2的交點(diǎn)為(2，4),曲線與x=2的交點(diǎn)為（2，1），區(qū)域D可表示為圖10-5所以.6. 畫(huà)出積分區(qū)域，改變累次積分的積分次序：（1）; (2) ;(3) ; (4) ;(5) .解：（1）相應(yīng)二重保健的積分區(qū)域?yàn)镈：如圖10-6所示.圖10-6D亦可表示為： 所以(2) 相應(yīng)二重積分的積分區(qū)域D：如圖10-7所示.圖10-7D亦可表示為： 所以(3) 相應(yīng)二重積分的積分區(qū)域D為：如圖10-8所示.圖10-8D亦可看成D1與D2的和，其中D1：D2：所以.(4) 相應(yīng)二重積分的積分區(qū)域D為：如圖10-9所示.圖10-9D亦可看成由D

4、1與D2兩部分之和，其中D1：D2：所以(5) 相應(yīng)二重積分的積分區(qū)域D由D1與D2兩部分組成，其中D1： D2：如圖10-10所示.圖10-10D亦可表示為：所以7. 求下列立體體積：（1）旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2,平面z=0與柱面x2+y2=ax所圍；（2）旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2,柱面y=x2及平面y=1和z=0所圍.解：（1）由二重積分的幾何意義知，所圍立體的體積V=其中D：由被積函數(shù)及積分區(qū)域的對(duì)稱性知，V=2，其中D1為D在第一象限的部分.利用極坐標(biāo)計(jì)算上述二重積分得.(2) 由二重積分的幾何意義知，所圍立體的體積其中積分區(qū)域D為xOy面上由曲線y=x2及直線y=1所圍成的區(qū)域，如

5、圖10-11所示.圖10-11D可表示為：所以8. 計(jì)算下列二重積分：（1）(2) D由拋物線y2=x,直線x=0與y=1所圍；（3） D是以O(shè)(0,0)，A(1，-1)，B(1，1)為頂點(diǎn)的三角形;(4) .解：（1）(2) 積分區(qū)域D如圖10-12所示.圖10-12D可表示為：所示(3) 積分區(qū)域D如圖10-13所示.圖10-13D可表示為：所以9. 計(jì)算下列二次積分：解：（1）因?yàn)榍蟛怀鰜?lái)，故應(yīng)改變積分次序。積分區(qū)域D：0y1, yx，如圖10-14所示。圖10-14D也可表示為：0x1,x2yx.所以(2)因?yàn)榍蟛怀鰜?lái)，故應(yīng)改變積分次序。積分區(qū)域D分為兩部分，其中如圖10-15所示：圖

6、10-15積分區(qū)域D亦可表示為：于是：10. 在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分：(1)(2)D為圓=1所圍成的區(qū)域；(3)D是由=4, =1,及直線y=0,y=x所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域；(4)D是由曲線=x+y所包圍的閉區(qū)域。解：(1)積分區(qū)域D如圖10-16所示：圖10-16D亦可采用極坐標(biāo)表示為：r2, 02所以(2)積分區(qū)域D可用極坐標(biāo)表示為：0r1, 02.所以：(3)積分區(qū)域D如圖10-17所示.圖10-17D可用極坐標(biāo)表示為：0, 1r2.所以：(4)積分區(qū)域D如圖10-18所示，圖10-18D可用極坐標(biāo)表示為：所以：11. 將下列積分化為極坐標(biāo)形式，并計(jì)算積分值：解：（1）積分區(qū)域

7、D如圖10-19所示.圖10-19D亦可用極坐標(biāo)表示為：所以：(2)積分區(qū)域D如圖10-20所示.圖10-20D可用極坐標(biāo)表示為：于是：(3)積分區(qū)域D如圖10-21所示.圖10-21D也可用極坐標(biāo)表示為：.于是：(4)積分區(qū)域D如圖10-22所示.圖10-22D可用極坐標(biāo)表示為：于是:*12. 作適當(dāng)坐標(biāo)變換，計(jì)算下列二重積分：(1),其中D是由xy=2,xy=4,x=y,y=3x在第一象限所圍平面區(qū)域；(2)(3)令x=v,x+y=u;(4)(5)(6)解：(1)積分區(qū)域D如圖10-23所示： 圖10-23令xy=u,則于是：(2)積分區(qū)域D如圖10-24所示。圖10-24令x+y=u,x

8、-y=v,則且 -1u1, -1v1.于是：（3）積分區(qū)域Dxy: 0x1, 1-xy2-x令x=v, x+y=u, 則y=u-v積分區(qū)域Dxy變?yōu)镈uv:0v1, 1u2.且于是(4)令x=arcos, y=brsin則積分區(qū)域D變?yōu)镈r： 02, 0r1,于是：(5) 令x=rcos，y=rsin. 即作極坐標(biāo)變換，則D變?yōu)椋?r3, 02.于是：（6）積分區(qū)域D如圖10-25所示：D可分為D1,D2D3,D4四個(gè)部分.它們可分為用極坐標(biāo)表示為。圖10-25D1: 0, 0r2sin,D2D3: 0, 2sinr2,D4: 2, 0r2于是：13. 求由下列曲線所圍成的閉區(qū)域的面積：(1)

9、曲線所圍（a0,b0）;(2)曲線xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x所圍（x0,y0）.解：（1）曲線所圍的圖形D如圖10-26所示：圖10-26D可以表示為：所求面積為：(2)曲線xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x(x0,y0)所圍圖形D如圖10-27所示：圖10-27所求面積為令xy=u,則于是14. 證明：(1)(2),D為|x|+|y|1;(3),其中D為x2+y21且a2+b20.解：（1）題中所給累次積分的積分區(qū)域D為ayb, axy.如圖10-28所示：圖10-28D也可表示為axb，xyb，于是：(2)令x+y=u,x-y=v，則,且-1u1,-1v1,于是(3

10、)令,則當(dāng)x2+y21時(shí)，于是15. 求球面x2+y2+z2= y2含在圓柱面x2+y2=ax內(nèi)部的那部分面積。解：如圖10-29所示：圖10-29上半球面的方程為，由得由對(duì)稱性知16. 求錐面z=被柱面z2=2x所割下部分的曲面面積。解：由z2=x2+y2,z2=2x兩式消去z得x2+y2=2x，則所求曲面在xOy面上的投影區(qū)域D為：x2+y22x,而故所求曲面的面積為.17. 求底面半徑相等的兩個(gè)直交圓柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所圍立體的表面積。解：由對(duì)稱性知，所圍立體的表面積等于第一卦限中位于圓柱面x2+y2=R2內(nèi)的部分面積的16倍，如圖10-30所示。圖10-30這部分曲

11、面的方程為，于是所求面積為.18. 設(shè)薄片所占的閉區(qū)域D如下，求均勻薄片的重心。(1)D由所圍成；(2)D是半橢圓形閉區(qū)域：;(3)D是介于兩個(gè)圓r=acos,r=bcos(0a0,b0）對(duì)x軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（面為常數(shù)）.解：所圍三角區(qū)域D如圖10-37所示：圖10-3724. 求面密度為常量的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片：對(duì)位于z軸上點(diǎn)M0(0,0,a)(a0)處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力F.解：由對(duì)稱性知Fy=0，而故所求引力為：25. 化三重積分為三次積分，其中積分區(qū)域分別是：(1)由雙曲拋物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所圍成的閉區(qū)域；(2)由曲面z=x2+y2及平面z=1所圍成的閉區(qū)域；

12、(3)由曲面z=x2+2y2及z=2-x2 所圍成的閉區(qū)域;(4)由曲面cz=xy(c0)，所圍成的第I卦限內(nèi)的閉區(qū)域。解：(1)積分區(qū)域如圖10-38所示，圖10-38可表示為：故 (2)積分區(qū)域如圖10-39所示。圖10-39可表示為：故 (3)由消去z得即，所以在xOy面的投影區(qū)域?yàn)閤2+y21，如圖10-40所示。圖10-40可表示為：-1x1, , x2+2y2z2-x2故(4)積分區(qū)域如圖10-41所示?？杀硎緸椋簣D10-41故26. 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分：(1),其中是由曲面z=xy與平面y=x,x=1和z=0所圍成的閉區(qū)域；(2)，其中為平面x=0,y=0,z=0,x+y

13、+z=1所圍成的四面體；(3)，是兩個(gè)球：x2+y2+z2R2和x2+y2+z22Rz(R0)的公共部分；(4),其中是由x=a(a0),y=x,z=y,z=0所圍成；(5),其中是由x2+z2-y2=1,y=0,y=2所圍成；(6),其中是由所圍成。解：(1)積分區(qū)域如圖10-42所示。圖10-42可表示為：(2)積分區(qū)域如圖10-43所示，可表示為：圖10-43故(3)積分區(qū)域如圖10-44所示。圖10-44由方程x2+y2+z2=R及x2+y2+z2=2Rz得兩球的交線為：,且平面把積分區(qū)域分為兩部分，且積分區(qū)域在z軸上的投影區(qū)間為0,R,記過(guò)上任意一點(diǎn)z的平行于xOy面的平面與相交的平

14、面區(qū)域?yàn)镈1(z),過(guò)上任意一點(diǎn)z的平行于xOy面的平面與的相交的平面區(qū)域?yàn)镈2(z)，則(4)積分區(qū)域如圖10-45所示。圖10-45可表示為：故(5)積分區(qū)域如圖10-46所示。圖10-46在y軸上的投影區(qū)間為0,2，故(6) 積分區(qū)域如圖10-47所示。圖10-47可表示為：故27. 如果三重積分的被積函數(shù)f(x,y,z)是三個(gè)函數(shù)f1(x), f2(y), f3(z)的乘積，即f(x,y,z)=f1(x)f2(y)f3(z)，積分區(qū)域?yàn)閍xb，cyd,lzm，證明,這個(gè)三重積分等于三個(gè)單積分的乘積，即證：28. 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分：(1) ,其中是由曲面及所圍成的閉區(qū)域；(2

15、) ,其中是由曲面及平面z=2所圍成的閉區(qū)域.圖10-48解：(1) 由及消去得,因而區(qū)域在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)?如圖10-48所示，在柱面坐標(biāo)系下：可表示為：故 (2) 積分區(qū)域如圖10-49所示，在柱面坐標(biāo)系下，可表示為圖10-49故 29. 利用球面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分：(1) ，其中是由球面所圍成的閉區(qū)域；(2) ，其中由不等式,所確定.解：（1） (2) 積分區(qū)域如圖10-50所示，在球面坐標(biāo)系下，可表示為圖10-50故 30. 選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列三重積分：(1) ，其中為柱面及平面z=1,z=0,x=0,y=0所圍成的第I卦限內(nèi)的閉區(qū)域；(2) ,其中是由球面所圍成的閉區(qū)域;

16、(3) ,其中是由曲面及平面z=5所圍成的閉區(qū)域；(4) ，其中由不等式所確定。解：（1）積分區(qū)閉如圖10-51所示.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算，在柱面坐標(biāo)系下表示為：圖10-51,0r1，0z1,故本題也可采用直角坐標(biāo)計(jì)算，在直角坐標(biāo)系下，可表示為：故 (2)積分區(qū)域如圖10-52所示。用球面坐標(biāo)計(jì)算，在球面坐標(biāo)系下可表示為：圖10-52故(3) 積分區(qū)域如圖10-53所示。利用柱面坐標(biāo)計(jì)算，在柱面坐標(biāo)系下，可表示為：圖10-53故(4) 積分區(qū)域如圖10-54所示。利用球面坐標(biāo)計(jì)算，在球面坐標(biāo)系下，可表示為：圖10-54故31. 利用三重積分計(jì)算由下列曲面所圍成的立體的體積：(1) z=6-x2-y

17、2及；(2) x2+y2+z2=2az(a0)及x2+y2=z2（含有z軸的部分）；(3)及z=x2+y2;(4) z=及x2+y2=4z.解：（1）曲面圍成的立體如圖10-55所示。在柱面坐標(biāo)系下，可表示為：圖10-55用柱面坐標(biāo)可求得的體積（2）曲面圍成的立體如圖10-56所示。在球面坐標(biāo)系下可表示為：圖10-56利用球面坐標(biāo)可求得的體積：（3）曲面圍成的立體如圖10-57所示。在柱面坐標(biāo)系下，可表示為：圖10-57利用柱面坐標(biāo)可求得的體積：(4) 曲面圍成的立體如圖10-58所示。在柱面坐標(biāo)系下，可表示為：圖10-58利用柱面坐標(biāo)可求得的體積：*32. 選擇坐標(biāo)變換計(jì)算下列各題：（1）（

18、2）解：（1）令則積分區(qū)域變?yōu)?：且故 (2) 坐標(biāo)變換同（1）。33. 球心在原點(diǎn)，半徑為R的球體，在其上任意一點(diǎn)的密度的大小與這點(diǎn)到球的距離成正比，求這球體的質(zhì)量。解：利用球面坐標(biāo)計(jì)算：則34. 利用三重積分計(jì)算下列由曲面所圍立體的重心（設(shè)密度=1）;(1) z2=x2+y2,z=1;(2)(3)z= x2+y2,x+y=a,x=0,y=0,z=0.解：（1）兩曲面所圍立體為一高和底面半徑均為1的圓錐體（如圖10-59所示），其體積v=.在柱面坐標(biāo)系下，可表示為：rz1,0r1,02.圖10-59又由對(duì)稱性可知，重心在z軸上，故,所以，所圍立體的重心為.(2)所圍立體如圖10-60所示。其

19、體積.圖10-60在球面坐標(biāo)系下，可表示為：,又由對(duì)稱性知，重點(diǎn)在z軸上，故,故所圍立體的重心為(3) 所圍立體如圖10-61所示，在直角坐標(biāo)系下，可以表示為圖10-610xa, 0ya-x, 0zx2+y2.先求的體積V.故由關(guān)于平面y=x的對(duì)稱性可知。.又故所圍立體的重心為.35. 球體x2+y2+z22Rz內(nèi)，各點(diǎn)處的密度的大小等于該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，試求這球體的重心。解：用球面坐標(biāo)計(jì)算，在球面坐標(biāo)系下球體可以表示為：0r2Rcos，0,02，球體密度=r2,由對(duì)稱性可知重心在z軸上，故，又球體的質(zhì)量從而故球體的重心為.36. 一均勻物體（密度為常量）占有的閉區(qū)域由曲面z=x2+

20、y2和平面z=0,|x|=a,|y|=a所圍成。（1）求物體的體積；（2）求物體的重心；（3）求物體關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：（1）如圖10-62所示。由對(duì)稱性可知。圖10-62(2)由對(duì)稱性知，而故物體重心為.37. 求半徑為a,高為h的均勻圓柱體對(duì)于過(guò)中心，而平行于母線的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（設(shè)密度=1）.解：建立坐標(biāo)系如圖10-63所示，用柱面坐標(biāo)計(jì)算。圖10-6338. 求均勻柱體：對(duì)于位于點(diǎn)M0（0，0，a）(ah)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力。解：由柱體的對(duì)稱性可知，沿x軸與y軸方向的分力互相抵消，故Fx=Fy=0,而39. 在均勻的半徑為R的半圓形薄片的直徑上，要接上一個(gè)一邊與直徑等長(zhǎng)的同樣材

21、料的均勻矩形薄片，為了使整個(gè)均勻薄片的重心恰好落在圓心上，問(wèn)接上去的均勻矩形薄片另一邊的長(zhǎng)度應(yīng)是多少？解：如圖10-64所示，因?yàn)殚]區(qū)域D對(duì)稱于y軸，所以重心必位于y軸上，即，要使重心恰好落在圓心上，必須使,于是必須,而圖10-64由得.即均勻矩形薄片另一邊長(zhǎng)度應(yīng)是.40.求由拋物線y=x2及直線y=1所圍成的均勻薄片（面密度為常數(shù)）c對(duì)于直線y=-1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。圖10-65解：*41. 試討論下列無(wú)界區(qū)域上二重積分的收斂性：(1)(2),D為全平面；(3)當(dāng) 時(shí)當(dāng) 時(shí)解：（1） 故當(dāng)m1時(shí)，原積分收斂，當(dāng)m1時(shí)發(fā)散。（2）由于被積函數(shù)是正的，并且關(guān)于x軸和y軸都對(duì)稱，故由于,故積分當(dāng)p1時(shí)收

22、斂，p1且q1時(shí)收斂，其他情形均發(fā)散。(3)由0m|(x,y)|M,可知積分與積分同時(shí)收斂同時(shí)發(fā)散。由于被積函數(shù)是正的，故由于，當(dāng)0y1時(shí)，有 (若p0), (若p0),故 (若p0),若p0，則有相反的不等式。由于,故積分當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散，而時(shí)，由知積分也發(fā)散。由此可知：積分，從而積分當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。*42. 計(jì)算積分解：由于而收斂，故收斂，從而，采用極坐標(biāo)有：*43. 試討論下列無(wú)界函數(shù)的二重積分的收斂性：(1);(2)解：(1)故當(dāng)m1時(shí)，原積分收斂，當(dāng)m1時(shí)，原積分發(fā)散。（2）由于x2+xy+y2= (當(dāng)(x,y)(0,0)時(shí))故 (當(dāng)(x,y)(0,0)時(shí))再注意到廣義重積分收斂

23、必絕對(duì)收斂，即知積分與同斂散。由于(當(dāng)(x,y)(0,0)時(shí))，采用極坐標(biāo)即得而為常義積分，其值為有限數(shù)，而由此可知：原積分當(dāng)p1時(shí)收斂，當(dāng)p1時(shí)發(fā)散。44. 設(shè)A（0，0，a）為球體x2+y2+z2R2內(nèi)一質(zhì)量為1的質(zhì)點(diǎn)（0aR，球體密度為常數(shù)）,求球?qū)的吸引力。解:45. 計(jì)算下列對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分：（1），其中L為圓周x=a cos t, y=a sin t (0t2);(2),其中L為連接（1,0）及（0，1）兩點(diǎn)的直線段；(3),其中L為由直線y=x及拋物線y=x2所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界；(4)，其中L為圓周x2+y2=a2，直線y=x及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界；（5）

24、，其中為曲線x=etcost,y=etsint,z=et上相應(yīng)于t從0變到2的這段弧；（6），其中為折線ABCD，這里A，B，C，D依次為點(diǎn)（0,0,0）,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)；(7)，其中L為擺線的一拱x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)；（8），其中L為曲線x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcot), (0t2)；（9），其中為螺旋線，x=acost, y=asint, z=at (0t).解：（1）.(2)L的方程為y=1-x（0x1）.(3)L由曲線L1：y=x2(0x1),及L2：y=x(0x1)組成（如圖10-66所示）。圖10-66故（4）如圖10-67所示，L=L1+L2+L3圖10-67其中L1：y=0(0xa)，從而L2:x=acost,