高等數(shù)學(xué)課件完整版

1、,一、基本概念,1.集合:,具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.,組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.,有限集,無限集,數(shù)集分類:,N-自然數(shù)集,Z-整數(shù)集,Q-有理數(shù)集,R-實(shí)數(shù)集,數(shù)集間的關(guān)系:,例如,不含任何元素的集合稱為空集.,例如,規(guī)定,空集為任何集合的子集.,2.區(qū)間:,是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).,稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間,無限區(qū)間,區(qū)間長(zhǎng)度的定義:,兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度)稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.,3.鄰域:,4.常量與變量:,在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意,常量與變量是相對(duì)“過程”而言的.,通常用字母a, b

2、, c等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.,常量與變量的表示方法：,用字母x, y, t等表示變量.,5.絕對(duì)值:,運(yùn)算性質(zhì):,絕對(duì)值不等式:,因變量,自變量,數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域,二、函數(shù)概念,自變量,因變量,對(duì)應(yīng)法則f,函數(shù)的兩要素:,定義域與對(duì)應(yīng)法則.,約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.,定義:,如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù),(1) 符號(hào)函數(shù),幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例,(2) 取整函數(shù) y=x x表示不超過 的最大整數(shù),階梯曲線,(3) 狄利克雷函數(shù),(4) 取最值函數(shù),例1,脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)

3、單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時(shí)間 的函數(shù)關(guān)系式.,解,單三角脈沖信號(hào)的電壓,例2,解,故,三、函數(shù)的特性,有界,無界,1函數(shù)的有界性:,2函數(shù)的單調(diào)性:,3函數(shù)的奇偶性:,偶函數(shù),奇函數(shù),4函數(shù)的周期性:,（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.,直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對(duì)稱.,四、反函數(shù),五、小結(jié),基本概念 集合, 區(qū)間, 鄰域, 常量與變量, 絕對(duì)值.,函數(shù)的概念,函數(shù)的特性 有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性.,反函數(shù),思考題,思考題解答,設(shè),則,故,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,一、基本初等函數(shù),1.冪函數(shù),2.指數(shù)函數(shù),3.對(duì)數(shù)函數(shù),4.三角函數(shù),正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切

4、函數(shù),余切函數(shù),正割函數(shù),余割函數(shù),5.反三角函數(shù),冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).,二、復(fù)合函數(shù) 初等函數(shù),1.復(fù)合函數(shù),定義:,注意:,1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;,2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.,2.初等函數(shù),由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).,例1,解,綜上所述,三、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù),奇函數(shù).,偶函數(shù).,1.雙曲函數(shù),奇函數(shù),有界函數(shù),雙曲函數(shù)常用公式,2.反雙曲函數(shù),奇函數(shù),奇函數(shù),四、小結(jié),函數(shù)的分類:,函數(shù),初等函數(shù),非初等函數(shù)(分段

5、函數(shù),有無窮多項(xiàng)等函數(shù)),代數(shù)函數(shù),超越函數(shù),有理函數(shù),無理函數(shù),有理整函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù)),有理分函數(shù)(分式函數(shù)),思考題,思考題解答,不能,一、填空題:,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,播放,劉徽,一、概念的引入,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,2、截丈問題：,“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”,二、數(shù)列的定義,例如,注意：,1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取,2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù),播放,三、數(shù)列的極限,問題:,當(dāng) 無限增大時(shí), 是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?,問

6、題:,“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.,通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:,如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.,注意：,幾何解釋:,其中,數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.,例1,證,所以,注意：,例2,證,所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).,小結(jié):,用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定 尋找N,但不必要求最小的N.,例3,證,例4,證,四、數(shù)列極限的性質(zhì),1.有界性,例如,有界,無界,定理1 收斂的數(shù)列必定有界.,證,由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.,推論 無界數(shù)列必定發(fā)散.,2.唯一性,定理2 每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.,證,由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.,例5,證,

7、由定義,區(qū)間長(zhǎng)度為1.,不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為1的區(qū)間內(nèi).,3.(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系) 如果數(shù)列 收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a,五.小結(jié),數(shù)列:研究其變化規(guī)律;,數(shù)列極限:極限思想,精確定義,幾何意義;,收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性唯一性.,思考題,證明,要使,只要使,從而由,得,取,當(dāng) 時(shí)，必有 成立,思考題解答,（等價(jià)）,證明中所采用的,實(shí)際上就是不等式,即證明中沒有采用“適當(dāng)放大” 的值,從而 時(shí)，,僅有 成立，,但不是 的充分條件,反而縮小為,練 習(xí) 題,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,三、

8、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,播放,一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限,通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:,問題:,如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”.,2.另兩種情形:,3.幾何解釋:,例1,證,二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限,2.幾何解釋:,注意：,例2,證,例3,證,例4,證,函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒有定義.,例5,證,3.單側(cè)極限:,例如,左極限,右極限,左右極限存在但不相等,例6,證,三、函數(shù)極限的性質(zhì),1.有界性,2.唯一性,

9、推論,3.不等式性質(zhì),定理(保序性),定理(保號(hào)性),推論,4.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系),定義,定理,證,例如,函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系,函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.,例7,證,二者不相等,四、小結(jié),函數(shù)極限的統(tǒng)一定義,(見下表),思考題,思考題解答,左極限存在,右極限存在,不存在.,一、填空題:,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限,一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限,一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限,一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限,一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限,一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限,一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的

10、極限,一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限,一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限,一、無窮小,1.定義:,極限為零的變量稱為無窮小.,例如,注意,1.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;,2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).,2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:,證,必要性,充分性,意義,1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);,3.無窮小的運(yùn)算性質(zhì):,定理2 在同一過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.,證,注意無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.,定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,證,推論1 在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.,推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,推論3 有

11、限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.,都是無窮小,二、無窮大,絕對(duì)值無限增大的變量稱為無窮大.,特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大,注意,1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;,3. 無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.,不是無窮大,無界，,證,三、無窮小與無窮大的關(guān)系,定理4 在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.,證,意義 關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.,四、小結(jié),1、主要內(nèi)容:,兩個(gè)定義;四個(gè)定理;三個(gè)推論.,2、幾點(diǎn)注意:,無窮小與無窮大是相對(duì)于過程而言的.,（1） 無窮?。?大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；

12、,（2）無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.,（3） 無界變量未必是無窮大.,思考題,思考題解答,不能保證.,例,有,一、填空題:,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,一、極限運(yùn)算法則,定理,證,由無窮小運(yùn)算法則,得,推論1,常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.,推論2,有界，,二、求極限方法舉例,例1,解,小結(jié):,解,商的法則不能用,由無窮小與無窮大的關(guān)系,得,例2,解,例3,(消去零因子法),例4,解,(無窮小因子分出法),小結(jié):,無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.,例5,解,先變形再求極限.,例6,解,例7,解,左右極限存在且相等,三、小結(jié),1.極限的

13、四則運(yùn)算法則及其推論;,2.極限求法;,a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限; b.消去零因子法求極限; c.無窮小因子分出法求極限; d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限; e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.,思考題,在某個(gè)過程中，若 有極限， 無極限，那么 是否有極限？為什么？,思考題解答,沒有極限,假設(shè) 有極限，,有極限，,由極限運(yùn)算法則可知：,必有極限，,與已知矛盾，,故假設(shè)錯(cuò)誤,一、填空題:,練 習(xí) 題,二、求下列各極限:,練習(xí)題答案,一、無窮小的比較,例如,極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,觀察各極限,定義:,例1,解,例2,解,常用等價(jià)無窮小:,用等價(jià)無窮小可給出函數(shù)的

14、近似表達(dá)式:,例如,二、等價(jià)無窮小替換,定理(等價(jià)無窮小替換定理),證,例3,解,不能濫用等價(jià)無窮小代換.,對(duì)于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.,注意,例4,解,解,錯(cuò),例5,解,三、小結(jié),1.無窮小的比較:,反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度快慢, 但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較.,2.等價(jià)無窮小的替換:,求極限的又一種方法, 注意適用條件.,高(低)階無窮小; 等價(jià)無窮小; 無窮小的階.,思考題,任何兩個(gè)無窮小量都可以比較嗎？,思考題解答,不能,例當(dāng) 時(shí),都是無窮小量,但,不存在且不為無窮大,故當(dāng) 時(shí),練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,一、函數(shù)的連續(xù)性,1.函數(shù)的增量,2.連續(xù)的定義,例1,證

15、,由定義2知,3.單側(cè)連續(xù),定理,例2,解,右連續(xù)但不左連續(xù) ,4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間,在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.,例如,例3,證,二、函數(shù)的間斷點(diǎn),1.跳躍間斷點(diǎn),例4,解,2.可去間斷點(diǎn),例5,解,注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).,如例5中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).,特點(diǎn),3.第二類間斷點(diǎn),例6,解,例7,解,注意 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).,狄利克雷函數(shù),在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn).,僅在x=0處連續(xù),

16、其余各點(diǎn)處處間斷.,在定義域 R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷, 但其絕對(duì)值處處連續(xù).,判斷下列間斷點(diǎn)類型:,例8,解,三、小結(jié),1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;,3.間斷點(diǎn)的分類與判別;,2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);,第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.,第二類間斷點(diǎn):無窮型,振蕩型.,間斷點(diǎn),(見下圖),可去型,第一類間斷點(diǎn),跳躍型,無窮型,振蕩型,第二類間斷點(diǎn),思考題,思考題解答,且,但反之不成立.,例,但,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,一、四則運(yùn)算的連續(xù)性,定理1,例如,二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,定理2 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).,例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).,定理3,證,將上兩步

17、合起來:,意義,1.極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;,例1,解,例2,解,同理可得,定理4,注意定理4是定理3的特殊情況.,例如,三、初等函數(shù)的連續(xù)性,三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.,定理5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.,(均在其定義域內(nèi)連續(xù) ),定理6 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.,定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.,1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);,例如,這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.,在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.,注意,注意2. 初等函數(shù)求極限的方法代入法.,例3,例4,解,解,四、小結(jié),連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.,復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.,初等函數(shù)的連續(xù)性.,定義區(qū)間與定義域的區(qū)別; 求極限的又一種方法.,兩個(gè)定理; 兩點(diǎn)意義.,反函數(shù)的連續(xù)性.,思考題,思考題解答,是它的可去間斷點(diǎn),練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,一、最大值和最小值定理,定義:,例如,定理1(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.,注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立; 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), 定理不一定成立.,