系統(tǒng)分析與設計中的數(shù)學方法ppt課件

1、系統(tǒng)分析與設計中的數(shù)學方法,主要內容 頻譜分析法 付氏級數(shù)、付氏積分、 典型信號頻譜特性、離散付氏變換 統(tǒng)計分析法 隨機變量及其概率分布、典型概率分布； 隨機過程定義、相關函數(shù) 、譜密度； 線性系統(tǒng)對平穩(wěn)隨機過程的響應,頻 譜 分 析 法,分析信號幅值與頻率的關系，如何選取輸入信號？ 一、付氏級數(shù) 付氏級數(shù)的定義：設有一周期函數(shù)f(t)，其周期為T，有 f(t)=f(t+T),若f(t)滿足狄里赫利條件，即在區(qū)間T上有界，且 僅有有限個極大值和極小值，則f(t)可用收斂的付氏級數(shù)表示,從復數(shù)角度 給出歐拉公式 其復數(shù)形式,付氏級數(shù)所表示的f(t)無論是實數(shù)形式還是復數(shù)形式，都是無數(shù)個諧波函數(shù)的

2、疊加。其復數(shù)形式的系數(shù)表示諧波的幅值與相位。 其系數(shù)的集合稱為頻譜。用或f作橫坐標，平行縱坐標的線段ck表示相應的系數(shù)的模(線譜)。它具有離散性，相鄰兩線譜之間的距離=2/T。,例：設函數(shù)f(t)為一方波序列，周期為T=20 f(t)=A0 , -0/2t 0/2 f(t)=0 , 0/2t T-0/2 將f(t)代入 得 其基波分量的頻率為 =2/T=/ 0 得到各次諧波ck值(T=20),幾點說明 因為 所以當K=1時，為基波頻率項； 若T=40,基波頻率=2/T下降1/2，各線譜間距離縮短一半，其包絡線形狀一樣，只是其高度與T成反比，幅值由A0/2A0/4； 可以看出: f(t)的各次諧

3、波隨頻率的變化情況； 因為基波頻率=2/T，當T增大，線譜將互相靠近； 當T 時，則成為連續(xù)譜，付氏級數(shù)付氏積分。 f(t)通過線性環(huán)節(jié)后的描述 令r(t)=f(t),為以上方波序列，則 可用下式來描述,二、付氏積分與變換 付氏級數(shù)周期函數(shù)，不適用于非周期函數(shù)； 對于非周期函數(shù)，認為T ，由付氏級數(shù)引申到付氏積分。 已知周期函數(shù)f(t)的付氏級數(shù) 將系數(shù)代入，即 有,若 有界，當T 時，有 當T 時， 0，可看成 d， k ，,稱,其物理意義，對式 取f=/2=1/T作為頻率坐標 設F(j2f)在fk處為單位面積窄脈沖 即F(j2f)在fk處為單位面積窄脈沖，對應幅值為1的復數(shù)正弦,因此，若將

4、付氏變換 分解為一系列窄脈沖，面積分別 是 ，那么，合成的時間函數(shù)就是這些復數(shù)正弦之和。 由此可見：付氏積分就是在頻域上將信號進行分解，其實質 就是將函數(shù)f(t)看作由無窮多個諧波疊加而成的。 與付氏級數(shù)的比較：連續(xù)與離散、非周期與周期 注意：在某個頻率點上，諧波的幅值為 ，是無 窮小量，所以一般用相對幅值 表示其頻譜。,F(j)可由f(t)曲線求得 設f(t)在T/2以外為0，則 且已知一周期函數(shù)的付氏級數(shù)系數(shù)為 可得 即:可用根據(jù)f(t)構成一個周期函數(shù)，并對此進行頻譜分析，求得各次諧波的 值，然后計算 ，再將其用光滑曲線連接。,三、典型信號的頻譜分析 理想脈沖信號 為方便求解，構建等價函

5、數(shù) 應滿足,以 為例，計算頻譜,利用歐拉公式 對任意，其F(j)都為1，是一種很有用的輸入 函數(shù)，可測試系統(tǒng)帶寬下的特性。,余弦函數(shù) 是周期函數(shù)，可用付氏級數(shù)展開，其線譜由ff1處的兩線段 構成。見右下圖 余弦函數(shù)不滿足絕對可積條件， 借助于(t)函數(shù)，有,由于 若橫坐標改用，則頻譜為 反推,常值函數(shù) 常值的頻譜僅在零頻率上有一函數(shù)，其面積為 也就是說，只含直流分量。,階躍函數(shù) f(t)=1(t) 借助函數(shù)，有,將=1/代入 得 如右圖可知， 隨角頻率的增加而很快衰減。,下面進行反推 由于階躍信號的頻譜的高頻部分衰減很快，所以用該函數(shù)來測 試對象的動態(tài)特性，只能得到一個低頻的數(shù)學模型。,實際脈

6、沖信號 函數(shù)頻譜是常數(shù)，它包含了所有頻率信息，而且均勻分布 由于能量不能無窮大，實際使用的脈沖總有一定的寬度，令其脈沖面積為1，對它們進行分析 設要分析的實際脈沖的沖量（面積）為1。討論以下兩種情況 由于 比較三角形和矩形脈沖（底部寬為T,面積都為1）的低頻段特性。,A矩形 B三角形 實際脈沖信號的頻譜在高頻段都是衰減的，只是在一定范圍內可以近似為常值； T越小，頻譜越寬，所包含的諧波數(shù)愈豐富，用來測量對象也就愈有利； T相同時，三角波較之矩形波更接近理想脈沖； 要求精度為測定對象在06rad/s頻段上的特性時，就要選寬度低于0.5s的脈沖信號作為激勵信號。,四、離散付氏變換 作用：實際計算，

7、計算機完成 付氏變換從譜的角度來分析系統(tǒng)；采用離散付氏變換，需將 連續(xù)函數(shù)離散化，然后用有限個點的來計算頻譜。 給出離散后的付氏變換與反變換 給定f(t),進行周期延拓后，得,注意點 1、f(n)為N個離散點的函數(shù)值，即f(0),f(1),f(N-1) 2、F(k)為第k點付氏變換值，即F(0),F(1),F(N-1) 3、F(k)和f(n)是經過函數(shù)f(t)進行周期延拓后得到的 函數(shù)（非周期函數(shù)轉變?yōu)橹芷诤瘮?shù)） a、經過周期延拓處理后，適用于非周期函數(shù) b、所得頻譜及反變換所的時間的函數(shù)是周期延拓后的函數(shù)， 但在一個特定范圍內，它就代表原函數(shù)f(t)的特性。其區(qū)間對應 關系如下： 0kN/2

8、時，F(xiàn)(k)對應原函數(shù)f(t) 0nN/2時，f(n)對應原函數(shù)f(t)離散值 N/2kN時，F(xiàn)(k)對應原函數(shù)f(t)在負頻域上的頻譜 N/2nN時，f(n)對應原函數(shù)f(t)在負時域上的離散值,4、F(k)并不直接等于F(j2fk) F(k)為離散值，F(xiàn)(j2fk)為面積的概念 當-N/2kN/2時，有F(j2fk) F(k)t 通過f(0),f(1),f(N-1),可求得F(k),然后，得到F(j2fk) 其中， t=T/N (N:總離散點數(shù)，T：總時間) 5、F(j2fk)一般為復數(shù)，故F(k)也是復數(shù)；應用付氏變換得到 的是頻率特性 通過輸入輸出的頻譜特性，求得傳遞函數(shù)的頻率特性。工

9、程 上常采用這種測量方法。,例：求以下函數(shù)的頻譜 解：延拓取兩種T=1和T=2,見右圖 取T=2s，N=8為例計算(見圖3) 有: t=T/N=2/8=0.25s 其序列： f(n)=f(0), f(1), f(2), , f(N-1) = f(0),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),f(6),f(7) t0 0.25 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5 1.75 f(n)= 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1 ,nN/2時，f(n)是f(t)的離散值 N/2nN時，f(n)是f(t)在負時域上的離散值 將f(n)代入式 有, t = T/N = 0.25 s

10、，且頻率間隔f = 1/T = 0.5 Hz 由于F(j2fk) F(k)t F(j20) F(0)t = 40.25=1 F(j21) F(1)t = 3.4140.25=0.854 虛線+實線部分為真實頻譜 ，實線部分為所求得的頻譜 N 增加或 t 減小，可以減小頻域上的重疊現(xiàn)象。,統(tǒng)計分析法,工程設計中，會遇到非確定性信息處理問題。 確定函數(shù)值是確定的（隨時間變化） 不確定信號值是不確定的，但有統(tǒng)計規(guī)律 例如，隨機噪聲干擾、輸入信號的不確定性、噪聲的 測量誤差、船舶在不規(guī)則海浪中受到的干擾及運動等。 對以上信息必須進行定性和定量的分析，所用理論 就是統(tǒng)計分析的方法。他只能給出統(tǒng)計特性（概

11、率分 布、方差等）。 用它來解決什么問題呢？,解決以下四個方面的問題 建立系統(tǒng)隨機輸入和隨機干擾模型 對于結構、參數(shù)確定的控制系統(tǒng)，完成隨機輸入和隨機干擾下的輸出統(tǒng)計特征計算、誤差的概率分布及最大誤差范圍分析 對于結構確定的控制系統(tǒng)，根據(jù)隨機控制理論來確定有效抑制隨機干擾的控制系統(tǒng)的最佳控制參數(shù) 設計系統(tǒng)時，有效設計環(huán)節(jié)來抑制干擾并傳遞有用信息。對多回路系統(tǒng)，要確定各回路的有效帶寬,一、隨機變量及其概率分布 通過測量，可知某時刻 各 點波幅值 （i=1,2,k） （k各測量點測得的數(shù)據(jù)） 設在 時刻的 各組波幅值為：（每個時刻對 應一個隨機變量） 對于t1時刻所測得k組數(shù)據(jù)，從中取出 n個波幅

12、值為i。當k時，其概率,(-，)，對每一個均有一個概率與之對應。 引入概率分布函數(shù)F()的概念 以為橫坐標，取波幅值在(-，)的概率為F()。 對海浪而言，其波幅的平均值為0，因此 F(0)= F(-0) = 0.5(即表示一半的波幅值在 -0之間) 概率密度W()的定義,隨機變量的統(tǒng)計特征值 均值 (數(shù)學期望值)：所有波幅可能取值得平均值。 其幾何意義為W()質量中心的坐標。 方差：隨機變量偏離均值的程度。 二階原點矩 階中心矩：,二、典型概率分布 正態(tài)分布（高斯分布）(波幅函數(shù)(t) 符合正態(tài)分布),均勻分布 變量在a、b之間取值具有相同的概率分布其概率密度為 瑞利分布 一個連續(xù)性隨機變量

13、滿足正態(tài)分布，而它的能量又分布在一個 很窄的頻帶上時，那么這個隨機變量滿足瑞利分布。 不規(guī)則海浪的波幅幅度m符合瑞利分布,引入多維隨機變量概念 左圖代表k個不同測試點所測 得的數(shù)據(jù)，不同時刻tj對應一個 狀態(tài)變量（由k個值組成），對 應t1,t2,tj,，就構成了多維 隨機變量。 用向量來表示的多維隨機變 量，稱之隨機向量。 每個xj皆為一個一維隨機變量。 以二維為例：,k維隨機變量 的統(tǒng)計特征 均值(一階矩) 協(xié)方差（二階中心矩）,三、隨機過程的定義 觀察不同點處的波幅隨時間的 變化 ，它 們不僅是測量點的隨機變量，而 且還是時間的函數(shù) 稱隨時間變化而隨機取值的時間 隨機函數(shù)為隨機過程。 需

14、要采用隨機理論進行定量定 性地分析，研究概率分布，確定 n維概率密度，進行大量的試驗 測試和統(tǒng)計。 工程中，需要做一些假設，突 出主要矛盾，形成滿足一定假設條 件的隨機過程。,兩種典型的隨機過程 馬爾科夫隨機過程 隨機過程未來的進展和我們所取得的某一開始的時刻有關，而與 這時刻以前的特性無關。 過去即使知道得再多，也無助于了解未來。 比較容易進行數(shù)學處理，且結果與實際比較吻合。 平穩(wěn)隨機過程 對于前一段的統(tǒng)計，可以很有意義地用來估計其未來的發(fā)展。其 本質特點是：概率密度函數(shù)的形狀不隨時間而變化。即:其形狀不隨 時間軸上的計時起點而變化。（許多工程實際符合該假設，海浪） 對第k個測量點 所決定的

15、隨機過程是平穩(wěn)隨機過程，則有兩 組值,它們的概率分布函數(shù)相同，與時刻t、測量點位k及組數(shù)n無關。即： 平穩(wěn)隨機過程的兩個特點 平穩(wěn)性 過程的統(tǒng)計特征值與 無關，可以用過去對該過程的認識預報 未來和現(xiàn)在。 遍歷性（各態(tài)歷經性） 過程的統(tǒng)計特征值與測點k無關，可以用某一點的測量數(shù)據(jù)來 統(tǒng)計整個過程的概率分布。 利用平穩(wěn)隨機過程的這兩個特點，可以使其實現(xiàn)空間（總體） 和時間的轉化。,例：考察成熟海浪這個平穩(wěn)隨機過程 此時的海浪是一個平穩(wěn)隨機過程 可以在某個測量點處紀錄波幅(t)的足夠長(相對于海浪的 周期而言，一般測量200個波形)的變化，把紀錄分成一定長度的 若干段，把其中的每一段記作 ，其中k=

16、1,2, 均值： 二階原點矩：,四、相關函數(shù) 零均值平穩(wěn)隨機過程。以海浪為例 考察 的均值，令： 有： 稱為相關函數(shù)。表征 和 的關聯(lián)程度。 用 描述平穩(wěn)隨機過程：一個隨機過程均值為常數(shù)，而它的 相關函數(shù)只與時間間隔 有關，這樣的隨機過程為平穩(wěn)隨機過程。 判斷是否平穩(wěn)，只要看 是不是在任何t值和 值下都相同。,相關函數(shù)的特點 很大時，均值為零的隨機過程，有 初值 相關函數(shù)是偶函數(shù)。即 對于(t)與(t)之間的互相關函數(shù)不是偶函數(shù)，而是的共軛 函數(shù)。 自相關函數(shù) 互相關函數(shù),依據(jù)試驗記錄曲線求取相關函數(shù) 按定義: 用數(shù)值法： 取離散值 注意： M為全部采樣點數(shù)，且有 ； 數(shù)據(jù)長度Mt應大于x(t

17、)中最大周期的10倍以上； 采樣間隔t要小于x(t)中最小周期的1/4。,五、譜密度 以海浪為例，一個隨機波幅函數(shù)(t)，可用無窮多個諧波之 和來表示。 對于某個諧波分量，單位面積水柱的平均波動總能量為 則部分海浪能量（依從0開始，由小到大，求前i項之和）為,(t)的平均波動總能量，以為自變量 考察 的導數(shù)，稱其為能量譜密度（譜密度函數(shù) ）。 表示單位上的能量大小。量綱; 在 之間能量 為 。 (t)在每一個分量i處有： 用來對已知譜密度的隨機過程進行時域合成。,定義：設x(t)為平穩(wěn)隨機過程，取-TT段，有 對xT進行付氏變換 其相關函數(shù)為,考慮總體平均值與時間均值相等，且t,有 可見，S(

18、)就是R()的付氏變換?？梢酝瞥觯?因此，對于一個平穩(wěn)隨機過程，可以用實驗紀錄來求取其相關 函數(shù)，然后用付氏變換得到譜密度函數(shù)。 幾種典型的譜密度函數(shù) 白噪聲：一種隨機噪聲，能量均勻沿分布，其相關函數(shù)是。 特點：X(t)的過去與未來之間沒有任何 關系（很好的干擾信號）其相關函數(shù)除 =0，R(0) 外，其余R()=0。 白噪聲能量無窮大。工程上，白噪聲 不能實現(xiàn)。但可以取遠大于系統(tǒng)帶寬的噪聲近似代替。,海浪譜 一種典型隨機過程，與風、海域、海流密切相關，目前尚不能建立準確的數(shù)學模型；研究其統(tǒng)計規(guī)律對載體運動意義重大。介紹一個海浪譜。 P-M譜（1966年ITTC建立的單參數(shù)標準譜） 三個假設： 強風吹過后，海浪成熟，是一個平穩(wěn)隨機過程 波幅(t)的瞬時值服從高斯分布，均值為零 波幅(t)的幅度m服從瑞利分布，即能量分布在較窄頻帶上 有 有義波高的含義：紀錄一段波幅(t)，共N個值，將它們由大到小排列。取前面 1/3的個數(shù)的幅值相加后平均是有義波幅值，計為 ，有義波高為,我 國 國 家 海 洋 局 浪 級 標 準,六、線性系統(tǒng)對平穩(wěn)隨機過程的響應 X(t)是一個平穩(wěn)各態(tài)歷經的隨機過程，且服從高斯分布，則y(t)是 一個平穩(wěn)各態(tài)歷經的隨機過程，也服從高斯分布。其關系如下： 相 關 函