系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)中的數(shù)學(xué)方法ppt課件

1、系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)中的數(shù)學(xué)方法,主要內(nèi)容 頻譜分析法 付氏級(jí)數(shù)、付氏積分、 典型信號(hào)頻譜特性、離散付氏變換 統(tǒng)計(jì)分析法 隨機(jī)變量及其概率分布、典型概率分布； 隨機(jī)過程定義、相關(guān)函數(shù) 、譜密度； 線性系統(tǒng)對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過程的響應(yīng),頻 譜 分 析 法,分析信號(hào)幅值與頻率的關(guān)系，如何選取輸入信號(hào)？ 一、付氏級(jí)數(shù) 付氏級(jí)數(shù)的定義：設(shè)有一周期函數(shù)f(t)，其周期為T，有 f(t)=f(t+T),若f(t)滿足狄里赫利條件，即在區(qū)間T上有界，且 僅有有限個(gè)極大值和極小值，則f(t)可用收斂的付氏級(jí)數(shù)表示,從復(fù)數(shù)角度 給出歐拉公式 其復(fù)數(shù)形式,付氏級(jí)數(shù)所表示的f(t)無論是實(shí)數(shù)形式還是復(fù)數(shù)形式，都是無數(shù)個(gè)諧波函數(shù)的

2、疊加。其復(fù)數(shù)形式的系數(shù)表示諧波的幅值與相位。 其系數(shù)的集合稱為頻譜。用或f作橫坐標(biāo)，平行縱坐標(biāo)的線段ck表示相應(yīng)的系數(shù)的模(線譜)。它具有離散性，相鄰兩線譜之間的距離=2/T。,例：設(shè)函數(shù)f(t)為一方波序列，周期為T=20 f(t)=A0 , -0/2t 0/2 f(t)=0 , 0/2t T-0/2 將f(t)代入 得 其基波分量的頻率為 =2/T=/ 0 得到各次諧波ck值(T=20),幾點(diǎn)說明 因?yàn)?所以當(dāng)K=1時(shí)，為基波頻率項(xiàng)； 若T=40,基波頻率=2/T下降1/2，各線譜間距離縮短一半，其包絡(luò)線形狀一樣，只是其高度與T成反比，幅值由A0/2A0/4； 可以看出: f(t)的各次諧

3、波隨頻率的變化情況； 因?yàn)榛l率=2/T，當(dāng)T增大，線譜將互相靠近； 當(dāng)T 時(shí)，則成為連續(xù)譜，付氏級(jí)數(shù)付氏積分。 f(t)通過線性環(huán)節(jié)后的描述 令r(t)=f(t),為以上方波序列，則 可用下式來描述,二、付氏積分與變換 付氏級(jí)數(shù)周期函數(shù)，不適用于非周期函數(shù)； 對(duì)于非周期函數(shù)，認(rèn)為T ，由付氏級(jí)數(shù)引申到付氏積分。 已知周期函數(shù)f(t)的付氏級(jí)數(shù) 將系數(shù)代入，即 有,若 有界，當(dāng)T 時(shí)，有 當(dāng)T 時(shí)， 0，可看成 d， k ，,稱,其物理意義，對(duì)式 取f=/2=1/T作為頻率坐標(biāo) 設(shè)F(j2f)在fk處為單位面積窄脈沖 即F(j2f)在fk處為單位面積窄脈沖，對(duì)應(yīng)幅值為1的復(fù)數(shù)正弦,因此，若將

4、付氏變換 分解為一系列窄脈沖，面積分別 是 ，那么，合成的時(shí)間函數(shù)就是這些復(fù)數(shù)正弦之和。 由此可見：付氏積分就是在頻域上將信號(hào)進(jìn)行分解，其實(shí)質(zhì) 就是將函數(shù)f(t)看作由無窮多個(gè)諧波疊加而成的。 與付氏級(jí)數(shù)的比較：連續(xù)與離散、非周期與周期 注意：在某個(gè)頻率點(diǎn)上，諧波的幅值為 ，是無 窮小量，所以一般用相對(duì)幅值 表示其頻譜。,F(j)可由f(t)曲線求得 設(shè)f(t)在T/2以外為0，則 且已知一周期函數(shù)的付氏級(jí)數(shù)系數(shù)為 可得 即:可用根據(jù)f(t)構(gòu)成一個(gè)周期函數(shù)，并對(duì)此進(jìn)行頻譜分析，求得各次諧波的 值，然后計(jì)算 ，再將其用光滑曲線連接。,三、典型信號(hào)的頻譜分析 理想脈沖信號(hào) 為方便求解，構(gòu)建等價(jià)函

5、數(shù) 應(yīng)滿足,以 為例，計(jì)算頻譜,利用歐拉公式 對(duì)任意，其F(j)都為1，是一種很有用的輸入 函數(shù)，可測(cè)試系統(tǒng)帶寬下的特性。,余弦函數(shù) 是周期函數(shù)，可用付氏級(jí)數(shù)展開，其線譜由ff1處的兩線段 構(gòu)成。見右下圖 余弦函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件， 借助于(t)函數(shù)，有,由于 若橫坐標(biāo)改用，則頻譜為 反推,常值函數(shù) 常值的頻譜僅在零頻率上有一函數(shù)，其面積為 也就是說，只含直流分量。,階躍函數(shù) f(t)=1(t) 借助函數(shù)，有,將=1/代入 得 如右圖可知， 隨角頻率的增加而很快衰減。,下面進(jìn)行反推 由于階躍信號(hào)的頻譜的高頻部分衰減很快，所以用該函數(shù)來測(cè) 試對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性，只能得到一個(gè)低頻的數(shù)學(xué)模型。,實(shí)際脈

6、沖信號(hào) 函數(shù)頻譜是常數(shù)，它包含了所有頻率信息，而且均勻分布 由于能量不能無窮大，實(shí)際使用的脈沖總有一定的寬度，令其脈沖面積為1，對(duì)它們進(jìn)行分析 設(shè)要分析的實(shí)際脈沖的沖量（面積）為1。討論以下兩種情況 由于 比較三角形和矩形脈沖（底部寬為T,面積都為1）的低頻段特性。,A矩形 B三角形 實(shí)際脈沖信號(hào)的頻譜在高頻段都是衰減的，只是在一定范圍內(nèi)可以近似為常值； T越小，頻譜越寬，所包含的諧波數(shù)愈豐富，用來測(cè)量對(duì)象也就愈有利； T相同時(shí)，三角波較之矩形波更接近理想脈沖； 要求精度為測(cè)定對(duì)象在06rad/s頻段上的特性時(shí)，就要選寬度低于0.5s的脈沖信號(hào)作為激勵(lì)信號(hào)。,四、離散付氏變換 作用：實(shí)際計(jì)算，

7、計(jì)算機(jī)完成 付氏變換從譜的角度來分析系統(tǒng)；采用離散付氏變換，需將 連續(xù)函數(shù)離散化，然后用有限個(gè)點(diǎn)的來計(jì)算頻譜。 給出離散后的付氏變換與反變換 給定f(t),進(jìn)行周期延拓后，得,注意點(diǎn) 1、f(n)為N個(gè)離散點(diǎn)的函數(shù)值，即f(0),f(1),f(N-1) 2、F(k)為第k點(diǎn)付氏變換值，即F(0),F(1),F(N-1) 3、F(k)和f(n)是經(jīng)過函數(shù)f(t)進(jìn)行周期延拓后得到的 函數(shù)（非周期函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷诤瘮?shù)） a、經(jīng)過周期延拓處理后，適用于非周期函數(shù) b、所得頻譜及反變換所的時(shí)間的函數(shù)是周期延拓后的函數(shù)， 但在一個(gè)特定范圍內(nèi)，它就代表原函數(shù)f(t)的特性。其區(qū)間對(duì)應(yīng) 關(guān)系如下： 0kN/2

8、時(shí)，F(xiàn)(k)對(duì)應(yīng)原函數(shù)f(t) 0nN/2時(shí)，f(n)對(duì)應(yīng)原函數(shù)f(t)離散值 N/2kN時(shí)，F(xiàn)(k)對(duì)應(yīng)原函數(shù)f(t)在負(fù)頻域上的頻譜 N/2nN時(shí)，f(n)對(duì)應(yīng)原函數(shù)f(t)在負(fù)時(shí)域上的離散值,4、F(k)并不直接等于F(j2fk) F(k)為離散值，F(xiàn)(j2fk)為面積的概念 當(dāng)-N/2kN/2時(shí)，有F(j2fk) F(k)t 通過f(0),f(1),f(N-1),可求得F(k),然后，得到F(j2fk) 其中， t=T/N (N:總離散點(diǎn)數(shù)，T：總時(shí)間) 5、F(j2fk)一般為復(fù)數(shù)，故F(k)也是復(fù)數(shù)；應(yīng)用付氏變換得到 的是頻率特性 通過輸入輸出的頻譜特性，求得傳遞函數(shù)的頻率特性。工

9、程 上常采用這種測(cè)量方法。,例：求以下函數(shù)的頻譜 解：延拓取兩種T=1和T=2,見右圖 取T=2s，N=8為例計(jì)算(見圖3) 有: t=T/N=2/8=0.25s 其序列： f(n)=f(0), f(1), f(2), , f(N-1) = f(0),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),f(6),f(7) t0 0.25 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5 1.75 f(n)= 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1 ,nN/2時(shí)，f(n)是f(t)的離散值 N/2nN時(shí)，f(n)是f(t)在負(fù)時(shí)域上的離散值 將f(n)代入式 有, t = T/N = 0.25 s

10、，且頻率間隔f = 1/T = 0.5 Hz 由于F(j2fk) F(k)t F(j20) F(0)t = 40.25=1 F(j21) F(1)t = 3.4140.25=0.854 虛線+實(shí)線部分為真實(shí)頻譜 ，實(shí)線部分為所求得的頻譜 N 增加或 t 減小，可以減小頻域上的重疊現(xiàn)象。,統(tǒng)計(jì)分析法,工程設(shè)計(jì)中，會(huì)遇到非確定性信息處理問題。 確定函數(shù)值是確定的（隨時(shí)間變化） 不確定信號(hào)值是不確定的，但有統(tǒng)計(jì)規(guī)律 例如，隨機(jī)噪聲干擾、輸入信號(hào)的不確定性、噪聲的 測(cè)量誤差、船舶在不規(guī)則海浪中受到的干擾及運(yùn)動(dòng)等。 對(duì)以上信息必須進(jìn)行定性和定量的分析，所用理論 就是統(tǒng)計(jì)分析的方法。他只能給出統(tǒng)計(jì)特性（概

11、率分 布、方差等）。 用它來解決什么問題呢？,解決以下四個(gè)方面的問題 建立系統(tǒng)隨機(jī)輸入和隨機(jī)干擾模型 對(duì)于結(jié)構(gòu)、參數(shù)確定的控制系統(tǒng)，完成隨機(jī)輸入和隨機(jī)干擾下的輸出統(tǒng)計(jì)特征計(jì)算、誤差的概率分布及最大誤差范圍分析 對(duì)于結(jié)構(gòu)確定的控制系統(tǒng)，根據(jù)隨機(jī)控制理論來確定有效抑制隨機(jī)干擾的控制系統(tǒng)的最佳控制參數(shù) 設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，有效設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)來抑制干擾并傳遞有用信息。對(duì)多回路系統(tǒng)，要確定各回路的有效帶寬,一、隨機(jī)變量及其概率分布 通過測(cè)量，可知某時(shí)刻 各 點(diǎn)波幅值 （i=1,2,k） （k各測(cè)量點(diǎn)測(cè)得的數(shù)據(jù)） 設(shè)在 時(shí)刻的 各組波幅值為：（每個(gè)時(shí)刻對(duì) 應(yīng)一個(gè)隨機(jī)變量） 對(duì)于t1時(shí)刻所測(cè)得k組數(shù)據(jù)，從中取出 n個(gè)波幅

12、值為i。當(dāng)k時(shí)，其概率,(-，)，對(duì)每一個(gè)均有一個(gè)概率與之對(duì)應(yīng)。 引入概率分布函數(shù)F()的概念 以為橫坐標(biāo)，取波幅值在(-，)的概率為F()。 對(duì)海浪而言，其波幅的平均值為0，因此 F(0)= F(-0) = 0.5(即表示一半的波幅值在 -0之間) 概率密度W()的定義,隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征值 均值 (數(shù)學(xué)期望值)：所有波幅可能取值得平均值。 其幾何意義為W()質(zhì)量中心的坐標(biāo)。 方差：隨機(jī)變量偏離均值的程度。 二階原點(diǎn)矩 階中心矩：,二、典型概率分布 正態(tài)分布（高斯分布）(波幅函數(shù)(t) 符合正態(tài)分布),均勻分布 變量在a、b之間取值具有相同的概率分布其概率密度為 瑞利分布 一個(gè)連續(xù)性隨機(jī)變量

13、滿足正態(tài)分布，而它的能量又分布在一個(gè) 很窄的頻帶上時(shí)，那么這個(gè)隨機(jī)變量滿足瑞利分布。 不規(guī)則海浪的波幅幅度m符合瑞利分布,引入多維隨機(jī)變量概念 左圖代表k個(gè)不同測(cè)試點(diǎn)所測(cè) 得的數(shù)據(jù)，不同時(shí)刻tj對(duì)應(yīng)一個(gè) 狀態(tài)變量（由k個(gè)值組成），對(duì) 應(yīng)t1,t2,tj,，就構(gòu)成了多維 隨機(jī)變量。 用向量來表示的多維隨機(jī)變 量，稱之隨機(jī)向量。 每個(gè)xj皆為一個(gè)一維隨機(jī)變量。 以二維為例：,k維隨機(jī)變量 的統(tǒng)計(jì)特征 均值(一階矩) 協(xié)方差（二階中心矩）,三、隨機(jī)過程的定義 觀察不同點(diǎn)處的波幅隨時(shí)間的 變化 ，它 們不僅是測(cè)量點(diǎn)的隨機(jī)變量，而 且還是時(shí)間的函數(shù) 稱隨時(shí)間變化而隨機(jī)取值的時(shí)間 隨機(jī)函數(shù)為隨機(jī)過程。 需

14、要采用隨機(jī)理論進(jìn)行定量定 性地分析，研究概率分布，確定 n維概率密度，進(jìn)行大量的試驗(yàn) 測(cè)試和統(tǒng)計(jì)。 工程中，需要做一些假設(shè)，突 出主要矛盾，形成滿足一定假設(shè)條 件的隨機(jī)過程。,兩種典型的隨機(jī)過程 馬爾科夫隨機(jī)過程 隨機(jī)過程未來的進(jìn)展和我們所取得的某一開始的時(shí)刻有關(guān)，而與 這時(shí)刻以前的特性無關(guān)。 過去即使知道得再多，也無助于了解未來。 比較容易進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，且結(jié)果與實(shí)際比較吻合。 平穩(wěn)隨機(jī)過程 對(duì)于前一段的統(tǒng)計(jì)，可以很有意義地用來估計(jì)其未來的發(fā)展。其 本質(zhì)特點(diǎn)是：概率密度函數(shù)的形狀不隨時(shí)間而變化。即:其形狀不隨 時(shí)間軸上的計(jì)時(shí)起點(diǎn)而變化。（許多工程實(shí)際符合該假設(shè)，海浪） 對(duì)第k個(gè)測(cè)量點(diǎn) 所決定的

15、隨機(jī)過程是平穩(wěn)隨機(jī)過程，則有兩 組值,它們的概率分布函數(shù)相同，與時(shí)刻t、測(cè)量點(diǎn)位k及組數(shù)n無關(guān)。即： 平穩(wěn)隨機(jī)過程的兩個(gè)特點(diǎn) 平穩(wěn)性 過程的統(tǒng)計(jì)特征值與 無關(guān)，可以用過去對(duì)該過程的認(rèn)識(shí)預(yù)報(bào) 未來和現(xiàn)在。 遍歷性（各態(tài)歷經(jīng)性） 過程的統(tǒng)計(jì)特征值與測(cè)點(diǎn)k無關(guān)，可以用某一點(diǎn)的測(cè)量數(shù)據(jù)來 統(tǒng)計(jì)整個(gè)過程的概率分布。 利用平穩(wěn)隨機(jī)過程的這兩個(gè)特點(diǎn)，可以使其實(shí)現(xiàn)空間（總體） 和時(shí)間的轉(zhuǎn)化。,例：考察成熟海浪這個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程 此時(shí)的海浪是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程 可以在某個(gè)測(cè)量點(diǎn)處紀(jì)錄波幅(t)的足夠長(zhǎng)(相對(duì)于海浪的 周期而言，一般測(cè)量200個(gè)波形)的變化，把紀(jì)錄分成一定長(zhǎng)度的 若干段，把其中的每一段記作 ，其中k=

16、1,2, 均值： 二階原點(diǎn)矩：,四、相關(guān)函數(shù) 零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程。以海浪為例 考察 的均值，令： 有： 稱為相關(guān)函數(shù)。表征 和 的關(guān)聯(lián)程度。 用 描述平穩(wěn)隨機(jī)過程：一個(gè)隨機(jī)過程均值為常數(shù)，而它的 相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔 有關(guān)，這樣的隨機(jī)過程為平穩(wěn)隨機(jī)過程。 判斷是否平穩(wěn)，只要看 是不是在任何t值和 值下都相同。,相關(guān)函數(shù)的特點(diǎn) 很大時(shí)，均值為零的隨機(jī)過程，有 初值 相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)。即 對(duì)于(t)與(t)之間的互相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù)，而是的共軛 函數(shù)。 自相關(guān)函數(shù) 互相關(guān)函數(shù),依據(jù)試驗(yàn)記錄曲線求取相關(guān)函數(shù) 按定義: 用數(shù)值法： 取離散值 注意： M為全部采樣點(diǎn)數(shù)，且有 ； 數(shù)據(jù)長(zhǎng)度Mt應(yīng)大于x(t

17、)中最大周期的10倍以上； 采樣間隔t要小于x(t)中最小周期的1/4。,五、譜密度 以海浪為例，一個(gè)隨機(jī)波幅函數(shù)(t)，可用無窮多個(gè)諧波之 和來表示。 對(duì)于某個(gè)諧波分量，單位面積水柱的平均波動(dòng)總能量為 則部分海浪能量（依從0開始，由小到大，求前i項(xiàng)之和）為,(t)的平均波動(dòng)總能量，以為自變量 考察 的導(dǎo)數(shù)，稱其為能量譜密度（譜密度函數(shù) ）。 表示單位上的能量大小。量綱; 在 之間能量 為 。 (t)在每一個(gè)分量i處有： 用來對(duì)已知譜密度的隨機(jī)過程進(jìn)行時(shí)域合成。,定義：設(shè)x(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，取-TT段，有 對(duì)xT進(jìn)行付氏變換 其相關(guān)函數(shù)為,考慮總體平均值與時(shí)間均值相等，且t,有 可見，S(

18、)就是R()的付氏變換。可以推出： 因此，對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程，可以用實(shí)驗(yàn)紀(jì)錄來求取其相關(guān) 函數(shù)，然后用付氏變換得到譜密度函數(shù)。 幾種典型的譜密度函數(shù) 白噪聲：一種隨機(jī)噪聲，能量均勻沿分布，其相關(guān)函數(shù)是。 特點(diǎn)：X(t)的過去與未來之間沒有任何 關(guān)系（很好的干擾信號(hào)）其相關(guān)函數(shù)除 =0，R(0) 外，其余R()=0。 白噪聲能量無窮大。工程上，白噪聲 不能實(shí)現(xiàn)。但可以取遠(yuǎn)大于系統(tǒng)帶寬的噪聲近似代替。,海浪譜 一種典型隨機(jī)過程，與風(fēng)、海域、海流密切相關(guān)，目前尚不能建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型；研究其統(tǒng)計(jì)規(guī)律對(duì)載體運(yùn)動(dòng)意義重大。介紹一個(gè)海浪譜。 P-M譜（1966年ITTC建立的單參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)譜） 三個(gè)假設(shè)： 強(qiáng)風(fēng)吹過后，海浪成熟，是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程 波幅(t)的瞬時(shí)值服從高斯分布，均值為零 波幅(t)的幅度m服從瑞利分布，即能量分布在較窄頻帶上 有 有義波高的含義：紀(jì)錄一段波幅(t)，共N個(gè)值，將它們由大到小排列。取前面 1/3的個(gè)數(shù)的幅值相加后平均是有義波幅值，計(jì)為 ，有義波高為,我 國(guó) 國(guó) 家 海 洋 局 浪 級(jí) 標(biāo) 準(zhǔn),六、線性系統(tǒng)對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過程的響應(yīng) X(t)是一個(gè)平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程，且服從高斯分布，則y(t)是 一個(gè)平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程，也服從高斯分布。其關(guān)系如下： 相 關(guān) 函