函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性(5).ppt

1、1,函數(shù)單調(diào)性,單調(diào)區(qū)間,第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性 曲線的凹凸性,曲線凹凸性,曲線的拐點(diǎn),第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,2,定理1,單調(diào)增加;,單調(diào)減少.,一、單調(diào)性的判別法,3,證,拉氏定理,(1),(2),此定理不論對(duì)于開(kāi)、閉、有限或無(wú)窮區(qū)間都正確.,4,例,解,定義域?yàn)?5,方法,定義,判定區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)。,的分界點(diǎn),二、單調(diào)區(qū)間求法,單調(diào)區(qū)間?,導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn),可能是單調(diào)區(qū)間,6,例,解,定義域,單調(diào)區(qū)間為,7,例,解,定義域,8,區(qū)間內(nèi)有限或無(wú)窮多的離散點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.,單調(diào)增加.,內(nèi)可導(dǎo),等號(hào)在,內(nèi)單調(diào)增加.,9,例,證,10,?,(concave a

2、nd convex),三、曲線凹凸性的判別法,1.定義,如何研究曲線的彎曲方向,11,定義,凹,(凸),任意弧段在 所張弦的下方,任意弧段在 所張弦的上方,12,凹弧:,是單增的,凸弧:,是單減的.,利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凹凸性,幾何直觀:,13,定理2,二階導(dǎo)數(shù),凹,(凸),2. 凹凸性的判別法,14,證,這說(shuō)明切線位于曲線的下方,一階泰勒公式,即f (x)是凹的.,15,例,解,凸,變,凹,的分界點(diǎn).,16,1.定義,連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱(chēng)為曲線的,拐點(diǎn).,幾何上,四、曲線的拐點(diǎn)及其求法,(inflection point),拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過(guò)曲線.,17,拐點(diǎn)的充分條件,2. 拐點(diǎn)的求法,拐點(diǎn)也可能出現(xiàn)在二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處.,拐點(diǎn)的必要條件,具有二階導(dǎo)數(shù),則點(diǎn),(1),(2),是拐點(diǎn)的必要條件為,(或 x0 為二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)),18,例,解,拐點(diǎn),拐點(diǎn),不存在,定義域?yàn)?(1),(2),(3),列表,19,例,解,20,例,證,定不出符號(hào),21,例,證,設(shè),圖形是凹的.,利用函數(shù)圖形的凹凸性證明不等式:,22,證,法一,用單調(diào)性證.,法二,用凹凸