空間立體幾何建立直角坐標系

1、.空間立體幾何建立直角坐標系12015浙江如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影為BC的中點，D是 B1C1的中點。(1)證明：A1D平面A1BC；(2)求二面角A1BDB1的平面角的余弦值。解析：(1)證明：設E為BC的中點，連接A1E，AE，DE，由題意得A1E平面ABC，所以A1EAE。因為ABAC，所以AEBC。故AE平面A1BC。由D，E分別為B1C1，BC的中點，得DEB1B且DEB1B，從而DEA1A且DEA1A，所以A1AED為平行四邊形。故A1DAE。又因為AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC。(2)方法一：作A1FB

2、D且A1FBDF，連接B1F。由AEEB，A1EAA1EB90，得A1BA1A4。由A1DB1D，A1BB1B，得A1DB與B1DB全等。由A1FBD，得B1FBD，因此A1FB1為二面角A1BDB1的平面角。由A1D，A1B4，DA1B90，得BD3，A1FB1F，由余弦定理得cosA1FB1。方法二：以CB的中點E為原點，分別以射線EA，EB為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標系Exyz，如圖所示。由題意知各點坐標如下：A1(0,0，)，B(0，0)，D(，0，)，B1(， ，)。因此(0，)，(，)，(0，0)。設平面A1BD的法向量為m(x1，y1，z1)，平面B1BD的法向量為n(x

3、2，y2，z2)。由即可取m(0，1)。由即可取n(，0,1)。于是|cosm，n|。由題意可知，所求二面角的平面角是鈍角，故二面角A1BDB1的平面角的余弦值為。22016蘭州模擬如圖，在四棱錐PABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2，E是PB的中點。(1)求證：平面EAC平面PBC；(2)若二面角PACE的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值。解析：(1)證明：PC底面ABCD，PCAC，底面ABCD是直角梯形，且AB2AD2CD2，AC，BC。AB2AC2BC2，ACBC，PCBCC，AC平面PBC，AC平面EAC，平面EAC平面PBC。(2)建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz。設PCa，則A(0,0,0)，C(1,1,0)，E，P(1,1，a)，B(0,2,0)。(1,1,0)，(1,1，a)，(1，1,0)。設平面EAC的法向量為v(x，y，z)，則即令x1，則v，BC平面PAC，平面PAC的一個法向量為u