數(shù)列大題專題訓(xùn)練1老師版

1、數(shù)列大題專題訓(xùn)練11已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求滿足方程的值.【解析】試題分析：（1）由與關(guān)系求數(shù)列的通項公式時，注意分類討論：當(dāng)時，；當(dāng)時，得到遞推關(guān)系，再根據(jù)等比數(shù)列定義確定公比，由通項公式求通項（2）先求數(shù)列前項和，再代入求得，因為，從而根據(jù)裂項相消法求和，解得值試題解析：（1）當(dāng)時，當(dāng)時，即.（2），即，解得.考點：由與關(guān)系求數(shù)列的通項公式，裂項相消法求和【方法點睛】將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中間若干項的方法，裂項相消法適用于形如(其中an是各項均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列. 裂項相消法求和，常見的有相鄰兩項的裂項求

2、和(如本例)，還有一類隔一項的裂項求和，如(n2)或.2已知數(shù)列是等比數(shù)列，首項，公比,其前項和為,且,成等差數(shù)列（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足為數(shù)列前項和，若恒成立，求的最大值【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）由題意可知: ；（2）由，再由錯位相減法求得,為遞增數(shù)列當(dāng)時，又原命題可轉(zhuǎn)化的最大值為試題解析： （1）由題意可知:,即,于是（2）, ,- 得:,恒成立，只需,為遞增數(shù)列，當(dāng)時，的最大值為考點：1、等差數(shù)列；2、等比數(shù)列；3、數(shù)列的前項和；4、數(shù)列與不等式【方法點晴】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列的前項和、數(shù)列與不等式，涉及特殊與一般思想、方程思想思想和轉(zhuǎn)化化歸思

3、想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型第二小題首先由再由錯位相減法求得為遞增數(shù)列當(dāng)時，再利用特殊與一般思想和轉(zhuǎn)化化歸思想將原命題可轉(zhuǎn)化的最大值為3已知數(shù)列中，其前項和滿足，其中（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求其通項公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前項和求的表達(dá)式；求使的的取值范圍【答案】（1）證明見解析；（2）；，且【解析】試題分析：（1）借助題設(shè)條件運(yùn)用錯位相減法推證；（2）借助題設(shè)運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性探求試題解析：（1）由已知，即，數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列，（2），-得：，代入不等式得，即，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，當(dāng)時，所以的取值范圍為，且考點：等差數(shù)列

4、等比數(shù)列及函數(shù)的單調(diào)性等有關(guān)知識的綜合運(yùn)用4為等差數(shù)列的前項和，且，記其中表示不超過的最大整數(shù)，如，（1）求；（2）求數(shù)列的前1000項和【答案】（1）， ；（2）1893【解析】試題分析：（1）先求公差、通項，再根據(jù)已知條件求；（2）用分段函數(shù)表示，再由等差數(shù)列的前項和公式求數(shù)列的前1000項和試題解析：（1）為等差數(shù)列的前項和，且，可得，則公差， ，則，（2）由（1）可知：，數(shù)列的前1000項和為：考點：1、新定義問題；2、數(shù)列求和【技巧點睛】解答新穎的數(shù)學(xué)題時，一是通過轉(zhuǎn)化，化“新”為“舊”；二是通過深入分析，多方聯(lián)想，以“舊”攻“新”；三是創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，以“新”制“新”，應(yīng)

5、特別關(guān)注創(chuàng)新題型的切入點和生長點5已知數(shù)列的前項和為，且（），數(shù)列滿足（）. （1）求，；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1），；（2）,【解析】試題分析：（1）由可得，當(dāng)時，可求，當(dāng)時，由可求通項進(jìn)而可求；（2）由（1）知，利用乘公比錯位相減法求解數(shù)列的和.試題解析：（1）由，得當(dāng)時，；當(dāng)時，所以，.由，得，.（2）由（1）知，所以，所以.故,考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式；數(shù)列求和.6已知等比數(shù)列的公比，且成等差數(shù)列，數(shù)列滿足：（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若恒成立，求實數(shù)的最小值【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的通項公式和等

6、差數(shù)列的中項性質(zhì)，解方程可得，再將換為，兩式相減可得；（2）若恒成立，即為的最大值，由作差，判定函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最大值，進(jìn)而得到的最小值試題解析：（1）因為等比數(shù)列滿足：成等差數(shù)列，所以：，即，所以：，所以（因為）所以，因為：，所以當(dāng)時，有，-得：，所以，當(dāng)時也滿足，所以（2）若恒成立，則恒成立，令，則當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時， 所以的最大值為，所以，的最小值為考點：等比數(shù)列的通項公式；數(shù)列的求和7已知數(shù)列，其前項和滿足，其中（1）設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，為數(shù)列的前項和，求證：；（3）設(shè)（為非零整數(shù)，），試確定的值，使得對任意，都有成立【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3

7、）.【解析】試題分析：（1）借助題設(shè)條件運(yùn)用等差數(shù)列的定義推證；（2）依據(jù)題設(shè)運(yùn)用錯位相減法推證；（3）借助題設(shè)建立不等式分類探求.試題解析：（1）當(dāng)時，當(dāng)時，即，（常數(shù)），又，是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，（2），,相減得，（2）由得，當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，又為非零整數(shù)，考點：等差數(shù)列及錯位相減法等有關(guān)知識的綜合運(yùn)用【易錯點晴】本題以數(shù)列的前項和與通項之間的關(guān)系等有關(guān)知識為背景,其目的是考查等差數(shù)列等比數(shù)列等有關(guān)知識的綜合運(yùn)用,及推理論證能力、運(yùn)算求解能力、運(yùn)用所學(xué)知識去分析問題和解決問題的能力的綜合問題.求解時充分借助題設(shè)條件中的有效信息,借助數(shù)列前項和與通項之間的關(guān)系進(jìn)行推證和求解

8、.本題的第一問,利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列是等差數(shù)列；第二問中則借助錯位相減的求和方法先求出；第三問是依據(jù)不等式成立分類推得參數(shù)的取值范圍.8設(shè)數(shù)列的前項和為，已知.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，可得，利用數(shù)列為等比數(shù)列，即可求解數(shù)列的通項公式；（2）由（1）得出，利用乘公比錯位相減法，即可求解數(shù)列的前項和.試題解析：（1），當(dāng)時，即，又，即.（2），.考點：數(shù)列的求和；數(shù)列的遞推關(guān)系式.9已知數(shù)列的首項，且滿足，.（1）設(shè)，判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（2）求數(shù)列的前項和【答案】（

9、1）構(gòu)成以為首項，為公差的等差數(shù)列；（2）【解析】試題分析：（1）對左右兩邊同時除以，那么構(gòu)成了新數(shù)列即可求解；（2）結(jié)合（1）可求出數(shù)列的通項公式，進(jìn)而利用錯位相減的方法求出數(shù)列的前項和.試題解析：（1）， ，構(gòu)成以為首項，為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，所以 -得 【考點】(1)利用遞推關(guān)系求通項公式；（2）錯位相消求數(shù)列前項和10為數(shù)列的前項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)條件等式分與，利用與的關(guān)系可求得數(shù)列的通項公式；（2）首先結(jié)合（1）求得的表達(dá)式，然后利用裂項法求和即可試題解析：（1）依題意有 當(dāng)時，

10、得；當(dāng)時， 有得，因為，成等差數(shù)列，得.（2），考點：1、數(shù)列的通項公式；2、裂項法求數(shù)列的和11已知數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，數(shù)列滿足，且是等差數(shù)列.（I）求數(shù)列和的通項公式；（II）求數(shù)列的前n項和?！敬鸢浮?)；（）.【解析】試題分析：（）數(shù)列是等比數(shù)列,所以根據(jù)公式，求公比，根據(jù)首項和公比求通項公式，因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以根據(jù)數(shù)列的首項和數(shù)列的第四項，求數(shù)列的公差，即求得數(shù)列的通項公式，最后再求得數(shù)列的通項公式；（），所以根據(jù)分組轉(zhuǎn)化法：等差數(shù)列加等比數(shù)列求和.試題解析：（I）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意得，解得.所以. 設(shè)等差數(shù)列的公差為d，所以.即.解得.所以.從而（II）由（I）知

11、.數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為. 所以，數(shù)列的前n項和為.考點：1.等差，等比數(shù)列求和；2.分組轉(zhuǎn)化法求和.12設(shè)數(shù)列的前和為，.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列, 并分別寫出和關(guān)于的表達(dá)式；（2）是否存在自然數(shù),使得？若存在,求出的值; 若不存在, 請說明理由；（3）設(shè),若不等式,對恒成立, 求的最大值.【答案】（1）證明見解析，；（2）；（3）.【解析】試題分析：（1）利用，求得，這是等差數(shù)列，故；（2），這是等差數(shù)列，前向和為，故；（3），利用裂項求和法求得，解得，故.試題解析：（1）由,得,相減得.故數(shù)列是以為首項,以公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知,由,得,即存在滿足條件的自然數(shù).（

12、3）,即單調(diào)遞增, 故要使恒成立, 只需成立, 即.故符合條件的最大值為. 考點：數(shù)列的基本概念，數(shù)列求和，不等式13設(shè)數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）利用遞推關(guān)系即可得出；（2）結(jié)合（1）可得，利用裂項相消求和.試題解析：（1）因為， 所以當(dāng)時，. 當(dāng)時，-得，所以.因為，適合上式，所以. （2）由（1）得，所以 .所以.考點：（1）數(shù)列遞推式；（2）數(shù)列求和.14已知函數(shù)，數(shù)列an滿足a1=1，an+1=f（an）（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)bn=anan+1，數(shù)列bn的前n項和為Sn，若Sn對一切正整數(shù)

13、n都成立，求最小的正整數(shù)m的值【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）由已知可得到數(shù)列的遞推公式，遞推公式兩邊取倒數(shù)，可得數(shù)列是等差數(shù)列，求出的通項公式進(jìn)而可得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得數(shù)列的通項公式，將其變形后利用“裂項相消法”求前項和，可得，只需即可（考慮為正整數(shù)）.試題解析：（1）an+1=f（an）=，取倒數(shù)，可得=+，則，即有；（2）前n項和為 令，解得m2017，可得m的最小值為2018；考點：1、數(shù)列的遞推公式及通項公式；2、利用“裂項相消法”求數(shù)列前項和.15設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且首項a13，an1Sn3n（nN*）（1）求證：數(shù)列Sn3n是等比數(shù)列；（2

14、）若an為遞增數(shù)列，求a1的取值范圍【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】試題分析：（1）由，可得數(shù)列是公比為，首項為的等比數(shù)列；（2）當(dāng)時，利用為遞增數(shù)列，即可求解的取值范圍.試題解析：（1）證明：an1Sn3n（nN*），Sn12Sn3n，Sn13n12（Sn3n）又a13，數(shù)列Sn3n是公比為2，首項為a13的等比數(shù)列（2）由（1）得，Sn3n（a13）2n1，Sn（a13）2n13n.當(dāng)n2時，anSnSn1（a13）2n223n1.an為遞增數(shù)列，當(dāng)n2時，（a13）2n123n（a13）2n223n1，2n212a130，a19.a2a13a1，a1的取值范圍是a19.考點：等比數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的定義；數(shù)列的遞推式的應(yīng)用.【方法點晴】本題主要考查了利用等比數(shù)列的定義判定和證明數(shù)列為等比數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用和數(shù)列的遞推關(guān)系式的化簡與運(yùn)算，解答中得數(shù)列是公比為，首項為的等比數(shù)列和化簡出是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及學(xué)生的推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.16已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,滿足恰為等比數(shù)列的前項.（1）