三角形與四邊形的綜合

1、11（一）1 如圖，在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求(1)ABC各角的度數(shù)(2)求證：點(diǎn)D是AC的黃金分割點(diǎn)。（先弄清黃金分割的概念再證三角形相似）2 如圖，在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，且BD=AD，CA=CD, (自己畫圖)求(1)ABC各角的度數(shù)(2)求證：點(diǎn)D是BC的黃金分割點(diǎn)。3如圖，在邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中，ADBC于點(diǎn)D，以AD為一邊向右作正三角形（1）求ABC的面積S；（2）判斷AC、DE的位置關(guān)系，并給出證明4如圖，在ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在BC上，BD=BE，BAD=BCE，AD與CE相交于點(diǎn)F，試判斷AFC的形狀，并說(shuō)明理由5

2、已知：如圖，在RtABC中，C=90，過(guò)點(diǎn)B作BDAC，且BD=2AC，連接AD試判斷ABD的形狀，并說(shuō)明理由 6如圖所示，在RtABC中，C=90，A=30（1）尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線l（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在已作的圖形中，若l分別交AB、AC及BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D、E、F，連接BE求證：EF=2DE7畫圖、證明：如圖，AOB=90，點(diǎn)C、D分別在OA、OB上（1）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：作AOB的平分線OP；作線段CD的垂直平分線EF，分別與CD、OP相交于E、F；連接OE、CF、DF（2）在所畫圖中，求線段OE與CD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 求證：CDF為等

3、腰直角三角形 8已知；如圖，在ABC中，AB=BC，ABC=90度F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，BE=BF，連接AE、EF和CF（1）判斷AE與CF的數(shù)量關(guān)系以及位置關(guān)系，說(shuō)明理由；（2）若CAE=30，求EFC的度數(shù) 9已知一個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為x、2x、5x-3，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)10如圖，已知等腰三角形一腰上的中線把三角形周長(zhǎng)分為12cm和15cm兩部分，求它的底邊BC的長(zhǎng)11下面是數(shù)學(xué)課堂的一個(gè)學(xué)習(xí)片斷閱讀后，請(qǐng)回答下面的問(wèn)題：學(xué)習(xí)等腰三角形有關(guān)內(nèi)容后，張老師請(qǐng)同學(xué)們交流討論這樣一個(gè)問(wèn)題：“已知等腰三角形ABC的角A等于30，請(qǐng)你求出其余兩角”同學(xué)們經(jīng)片刻的思考與交流后，李

4、明同學(xué)舉手講：“其余兩角是30和120”；王華同學(xué)說(shuō)：“其余兩角是75和75”還有一些同學(xué)也提出了不同的看法（1）假如你也在課堂中，你的意見如？計(jì)算說(shuō)明.（2）通過(guò)上面數(shù)學(xué)問(wèn)題的討論，你有什么感受？（用一句話表示）12王叔叔家有一塊等腰三角形的菜地，腰長(zhǎng)為40米，一條筆直的水渠從菜地穿過(guò)，這條水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿過(guò)菜地部分的長(zhǎng)為15米（水渠的寬不計(jì)），請(qǐng)你計(jì)算這塊等腰三角形菜地的面積13如圖所示，在ABC中，AB=AC，D是AB上任意一點(diǎn)，且BD=CE，連接DE交BC于F求證：FD=FE14如圖，已知ABC為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE

5、相交于點(diǎn)F（1）求證：ABECAD；（2）求BFD的度數(shù)15請(qǐng)閱讀，完成證明和填空九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)校的“數(shù)學(xué)長(zhǎng)廊”中興奮地展示了他們小組探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，內(nèi)容如下：（1）如圖1，正三角形ABC中，在AB、AC邊上分別取點(diǎn)M、N，使BM=AN，連接BN、CM，發(fā)現(xiàn)BN=CM，且NOC=60度請(qǐng)證明：NOC=60度（2）如圖2，正方形ABCD中，在AB、BC邊上分別取點(diǎn)M、N，使AM=BN，連接AN、DM，那么AN= -，且DON=-度請(qǐng)證明。（3）如圖3，正五邊形ABCDE中，在AB、BC邊上分別取點(diǎn)M、N，使AM=BN，連接AN、EM，那么AN=-，且EON=-度請(qǐng)證明。（4）在正n邊形中

6、，對(duì)相鄰的三邊實(shí)施同樣的操作過(guò)程，也會(huì)有類似的結(jié)論。請(qǐng)大膽猜測(cè)，用一句話概括你的發(fā)現(xiàn)： 16如圖，矩形紙片ABCD，AB=2，ADB=30，沿對(duì)角線BD折疊（使ABD和EBD落在同一平面內(nèi)），求A、E兩點(diǎn)間的距離。 17已知：如圖ABC是等邊三角形，過(guò)AB邊上的點(diǎn)D作DGBC，交AC于點(diǎn)G，在GD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使DE=DB，連接AE、CD（1）求證：AGEDAC；（2）過(guò)點(diǎn)E作EFDC，交BC于點(diǎn)F，請(qǐng)你連接AF，并判斷AEF是怎樣的三角形，試證明你的結(jié)論18請(qǐng)?jiān)谒o網(wǎng)格中按下列要求操作：（1）請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，使A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），B點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）；（2）在x軸上畫點(diǎn)

7、C，使ABC為等腰三角形，請(qǐng)畫出所有符合條件的點(diǎn)C，并直接寫出相應(yīng)的C點(diǎn)坐標(biāo)19含30角的直角三角板ABC（B=30）繞直角頂點(diǎn)C沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角（90），再沿A的對(duì)邊翻折得到ABC，AB與BC交于點(diǎn)M，AB與BC交于點(diǎn)N，AB與AB相交于點(diǎn)E（1）求證：ACMACN；（2）當(dāng)=30時(shí)，找出ME與MB的數(shù)量關(guān)系，并加以說(shuō)明20如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上，DEF為等腰直角三角形，DEF=90，AD+CD=10，AE=2，求AD的長(zhǎng)21已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，且EF=ED，EFED求證：AE平分BAD22如圖矩形ABCD中，DP平分AD

8、C交BC于P點(diǎn)，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)放在P點(diǎn)處，且使它的一條直角邊過(guò)A點(diǎn)，另一條直角邊交CD于E找出圖中與PA相等的線段并說(shuō)明理由。23如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AOB為等腰直角三角形，A（4，4）（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AC為直角邊作等腰直角ACD，ACD=90，連OD，求AOD的度數(shù)；（嘗試多種方法，請(qǐng)?jiān)囈辉嚕?4兩個(gè)全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E，A，C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連接ME，MC試判斷EMC的形狀，并說(shuō)明理由25已知：如圖1，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，ACM，CBN都是等邊三角形，AN交MC于

9、點(diǎn)E，BM交CN于點(diǎn)F（1）求證：AN=BM；AE=MF; （2）求證：CEF為等邊三角形；（3）將ACM繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90，其他條件不變，在圖2中補(bǔ)出符合要求的圖形，并判斷第（1）、（2）兩小題的結(jié)論是否仍然成立（不要求證明）26（1）已知ABC中，A=90，B=67.5，請(qǐng)畫一條直線，把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形（請(qǐng)你選用下面給出的備用圖，把兩種不同的分割方法都畫出來(lái)只需畫圖，不必說(shuō)明理由，但要在圖中標(biāo)出相等兩角的度數(shù)）（2）已知ABC中，C是其最小的內(nèi)角，過(guò)頂點(diǎn)B的一條直線把這個(gè)三角形分割成了兩個(gè)等腰三角形，請(qǐng)?zhí)角驛BC與C之間的關(guān)系.（共有三種情況）27數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究

10、下面命題的正確性：頂角為36的等腰三角形具有一種特性，即經(jīng)過(guò)它某一頂點(diǎn)的一條直線可把它分成兩個(gè)小等腰三角形為此，請(qǐng)你解答問(wèn)題（1）已知：如圖，在ABC中，AB=AC，A=36，直線BD平分ABC交AC于點(diǎn)D求證：ABD與DBC都是等腰三角形；（2）在證明了該命題后，小喬發(fā)現(xiàn)：下面兩個(gè)等腰三角形如圖、也具有這種特性請(qǐng)你在圖、圖中分別畫出一條直線，把它們分成兩個(gè)小等腰三角形，并在圖中標(biāo)出所有等腰三角形兩個(gè)底角的度數(shù)；（3）接著，小喬又發(fā)現(xiàn)：其它一些非等腰三角形也具有這樣的特性，即過(guò)它其中一個(gè)頂點(diǎn)畫一條直線可以將原三角形分成兩個(gè)小等腰三角形請(qǐng)你畫出兩個(gè)不同類型且具有這種特性的三角形的示意圖，并在圖中

11、標(biāo)出可能的各內(nèi)角的度數(shù)（說(shuō)明：要求畫出的兩個(gè)三角形不相似，且不是等腰三角形）（4）請(qǐng)你寫出兩個(gè)符合（3）中一般規(guī)律的非等腰三角形的特征（二）28（1）如圖，在ABC中，BAC=90，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，且BD=BA，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上且CE=CA，試求DAE的度數(shù)；（2）如果把第（1）題中“AB=AC”的條件去掉，其余條件不變，那么DAE的度數(shù)會(huì)改變嗎？說(shuō)明理由；（3）如果把第（1）題中“BAC=90”的條件改為“BAC90”，其余條件不變，那么DAE與BAC有怎樣的大小關(guān)系？29如圖，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點(diǎn)，過(guò)D分別向AB，AC引垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，CG是AB

12、邊上的高（1）DE，DF，CG的長(zhǎng)之間存在著怎樣的等量關(guān)系？并加以證明；（2）若D在底邊的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由 30如圖，已知等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，DMN為等邊三角形（點(diǎn)M的位置改變時(shí)，DMN也隨之整體移動(dòng)）（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)F是否在直線NE上？都請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明或說(shuō)明理由；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，其它條件不變，（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)利用圖2證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）

13、若點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明或說(shuō)明理由（勾股定理）31如圖是用硬紙板做成的四個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c和一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形（1）畫出拼成的這個(gè)圖形的示意圖（2）證明勾股定理32（1）如圖1是一個(gè)重要公式的幾何解釋請(qǐng)你寫出這個(gè)公式；（2）如圖2，RtABCRtCDE，B=D=90，且B，C，D三點(diǎn)共線試證明ACE=90；（3）伽菲爾德（Garfield，1881年任美國(guó)第20屆總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（

14、1876年4月1日，發(fā)表在新英格蘭教育日志上），現(xiàn)請(qǐng)你嘗試該證明過(guò)程 33在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，我們學(xué)會(huì)運(yùn)用圖（I）驗(yàn)證它；請(qǐng)同學(xué)們寫出證明過(guò)程。這種根據(jù)圖形可以極簡(jiǎn)單地直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱“無(wú)字證明”（1）請(qǐng)你用圖（II）（2002年國(guó)際數(shù)字家大會(huì)會(huì)標(biāo)）的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理（其中四個(gè)直角三角形全等）；（2）請(qǐng)你用（III）提供的圖形進(jìn)行組合，用組合圖形的面積表達(dá)式驗(yàn)證完全平方公式；34如圖所示，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACB=ECD=90，D為AB邊上一點(diǎn)（1）求證：ACEBCD；（2）若AD=5，BD=12，求DE的長(zhǎng) 35小明將一幅三角板如圖所示擺放在一起，

15、發(fā)現(xiàn)只要知道其中一邊的長(zhǎng)就可以求出其它各邊的長(zhǎng)，若已知CD=2，求AC的長(zhǎng)36如圖，直角三角形紙片ABC，C=90，AC=6，BC=8，折疊ABC的一角，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，展開得折痕DE，求BD的長(zhǎng) 37公園里有一塊形如四邊形ABCD的草地，測(cè)得BC=CD=10米，B=C=120，A=45度請(qǐng)你求出這塊草地的面積 38一只螞蟻從長(zhǎng)為4cm、寬為3cm，高是5cm的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是多少？39如圖，在ABC中，AB=2，AC=BC，CDAB，垂足是D，BCE與BCD是關(guān)于BC成軸對(duì)稱的，且恰好使A、C、E在一條直線上求四邊形BDCE的面積40如圖，在四邊形

16、ABCD中，AC平分BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9求AC的長(zhǎng)41已知，如圖，在RtABC中，ACB=90，A=30，CDAB交AB于點(diǎn)E，且CD=AC，DFBC，分別與AB、AC交于點(diǎn)G、F（1）求證：GE=GF；（2）若BD=1，求DF的長(zhǎng) 42如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)B處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A處；（1）求證：BE=BF；（2）求證：四邊形BEBF是菱形。（3）設(shè)AE=a，AB=b，BF=c，試猜想a，b，c之間的一種關(guān)系，并給予證明43在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖所示）已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個(gè)正方形的面積依

17、次是S1，S2，S3，S4，求S1+S2+S3+S4的值。44如圖，D,E分別是ABC的邊BC和AB上的點(diǎn)，ABD與ACD的周長(zhǎng)相等，CAE與CBE的周長(zhǎng)相等設(shè)BC=a，AC=b，AB=c（1）求AE和BD的長(zhǎng)；（2）若BAC=90，ABC的面積為S，求證：S=AEBD45、如圖，已知矩形ABCD，AD4，CD10，P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)（1）求證：四邊形PMEN是平行四邊形；（2）請(qǐng)說(shuō)明當(dāng)AP為何值時(shí)，四邊形PMEN是菱形；ABCDPMNE（3）四邊形PMEN有可能是矩形嗎？若有可能，求出AP的長(zhǎng)；若不可能，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由46如圖，ACD和BCE都是等腰直角

18、三角形，ACD=BCE=90，AE交CD于點(diǎn)F，BD分別交CE、AE于點(diǎn)G、H試猜測(cè)線段AE和BD的數(shù)量和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由47已知：三角形ABC中，A=90，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，（1）如圖，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且BE=AF，求證：DEF為等腰直角三角形；（2）若E，F(xiàn)分別為AB，CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，仍有BE=AF，其他條件不變，那么，DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論48如圖，OP是AOB的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分別是BAC

19、、BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由49在ABC中，ACB=90，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且ADMN于D，BEMN于E（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：ADCCEB；DE=AD+BE；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE；（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明ABCDE圖1MNABCDE圖

20、2ABCDEMN圖350兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，AB=AC，AE=AD，BAC=EAD=90，B，C，E在同一條直線上，連接DC（1）請(qǐng)找出圖2中與ABE全等的三角形，并給予證明（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；（2）證明：DCBE（三）51已知：如圖，RtABCRtADE，ABC=ADE=90，試以圖中標(biāo)有字母的點(diǎn)為端點(diǎn)，連接兩條線段，如果你所連接的兩條線段滿足相等，垂直或平行關(guān)系中的一種，那么請(qǐng)你把它寫出來(lái)并證明52（1）如圖1，以ABC的邊AB、AC為邊分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，試判斷ABC與AEG面積之

21、間的關(guān)系，并說(shuō)明理由（2）園林小路，曲徑通幽，如圖2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石鋪成已知中間的所有正方形的面積之和是a平方米，內(nèi)圈的所有三角形的面積之和是b平方米，這條小路一共占地多少平方米53. 如圖1，已知矩形ABED，點(diǎn)C是邊DE的中點(diǎn)，且AB=2AD。 (1) 判斷ABC的形狀，并說(shuō)明理由； (2) 保持圖1中ABC固定不變，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖2中的位置(當(dāng)垂線段AD、BE在直線MN的同側(cè))。試探究線段AD、BE、DE長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系？并給予證明； (3) 保持圖2中ABC固定不變，繼續(xù)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖3中的位置(當(dāng)垂線段AD、BE在直

22、線MN的異側(cè))。試探究線段AD、BE、DE長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系？并給予證明。54如圖，ABC是等腰直角三角形，A=90，點(diǎn)P、Q分別是AB、AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足BP=AQ，D是BC的中點(diǎn)。（1）求證：PDQ是等腰直角三角形；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形APDQ是正方形，并說(shuō)明理由。55如圖示，ABCD內(nèi)一點(diǎn)E滿足EDAD于D，且EBC=EDC，ECB=45找出圖中一條與EB相等的線段，并加以證明56、已知：如圖，在等邊三角形ABC中，D、E分別為BC、AC上的點(diǎn)，且CEBD，連結(jié)AD、BE交于點(diǎn)P，作BQAD，垂足為Q求證：BP2PQ.57如圖，已知平行四邊形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)

23、，CE的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F（1）求證：CD=FA；（2）若使F=BCF，平行四邊形ABCD的邊長(zhǎng)之間還需再添加一個(gè)什么條件？請(qǐng)你補(bǔ)上這個(gè)條件，并進(jìn)行證明（不要再增添輔助線）58如圖，四邊形ABCD是菱形，BEAD、BFCD，垂足分別為E、F（1）求證：BE=BF；（2）當(dāng)菱形ABCD的對(duì)角線AC=8，BD=6時(shí)，求BE的長(zhǎng) 59如圖，在菱形ABCD中，P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），連接DP交對(duì)角線AC于E連接BE（1）證明：APD=CBE；（2）若DAB=60，試問(wèn)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，ADP的面積等于菱形ABCD面積的四分之一，為什么？60已知：如圖，菱形ABCD中，E，F(xiàn)

24、分別是CB，CD上的點(diǎn)，且BE=DF（1）求證：AE=AF；（2）若B=60，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC和CD的中點(diǎn)，求證：AEF為等邊三角形61如圖，在ABCD中，BC=2AB=4，點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)（1）求證：ABECDF；（2）當(dāng)四邊形AECF為菱形時(shí)，求出該菱形的面積62如圖，四邊形ABCD是矩形，PBC和QCD都是等邊三角形，且點(diǎn)P在矩形上方，點(diǎn)Q在矩形內(nèi)求證：（1）PBA=PCQ=30；（2）PA=PQ63如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上，DEF為等腰直角三角形，DEF=90，AD+CD=10，AE=2，求AD的長(zhǎng)64如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上的一點(diǎn)，

25、F是AB上的一點(diǎn)，EFEC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周長(zhǎng)為32cm，求AE的長(zhǎng)65已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，且EF=ED，EFED求證：AE平分BAD66如圖矩形ABCD中，DP平分ADC交BC于P點(diǎn)，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)放在P點(diǎn)處，且使它的一條直角邊過(guò)A點(diǎn)，另一條直角邊交CD于E找出圖中與PA相等的線段并說(shuō)明理由。67若從矩形一邊上的點(diǎn)到對(duì)邊的視角是直角，則稱該點(diǎn)為直角點(diǎn)例如，如圖的矩形ABCD中，點(diǎn)M在CD邊上，連AM，BM，AMB=90，則點(diǎn)M為直角點(diǎn)（1）若矩形ABCD一邊CD上的直角點(diǎn)M為中點(diǎn)，問(wèn)該矩形的鄰邊具有何種數(shù)量關(guān)系

26、？并說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)M是矩形ABCD邊CD上的直角點(diǎn)，且AB=5，BC= 2, 求MD和CM的長(zhǎng)(3) 若點(diǎn)N為矩形ABCD邊AB上的直角點(diǎn)，且AB=5，BC= 2，求MN的長(zhǎng)68如圖1，ABC的邊BC在直線l上，ACBC，且AC=BC；EFP的邊FP也在直線l，邊EF與邊AC重合，且EF=FP（1）在圖1中，請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP，BQ猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想；（3）將EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于

27、點(diǎn)Q，連接AP，BQ你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由69已知四邊形ABCD中，AB=BC，ABC=120，MBN=60，MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于E，F(xiàn)(1)當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)（如圖1），求證AE+CF=EF；(2)當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)，在圖2這種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；（提示：把ABE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)90度即可證明）（3）當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3這種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出

28、你的猜想，請(qǐng)給予證明70如圖，在ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，且滿足AD=AB，ADE=C（1）求證：AED=ADC，DEC=B；（2）求證：AB2=AEACABCD71. 已知：如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC=AD=2，BC=4。求B的度數(shù)及AC的長(zhǎng)。72如圖，在梯形中，為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)（1）求證：；（2）當(dāng)，且平分時(shí)，求的長(zhǎng)73. 在直角梯形ABCD中，ABDC，ABBC，A60，AB2CD，E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF、EC、BF、CF。判斷四邊形AECD的形狀（不證明）；在不添加其它條件下，寫出圖中一對(duì)全等的三角形，用符號(hào)“”表示，并證明。若C

29、D2，求四邊形BCFE的面積。74如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、DB相交于點(diǎn)O，現(xiàn)給出如下三個(gè)條件：.（1）請(qǐng)你再增加一個(gè)條件：_，使得四邊形ABCD為矩形（不添加其它字母和輔助線，只填一個(gè)即可，不必證明）；ABCDE（2）請(qǐng)你從中選擇兩個(gè)條件_（用序號(hào)表示，只填一種情況），使得，并加以證明.75.如圖所示，在直角梯形ABCD中，ABC=90，ADBC，AB=BC，E是AB的中點(diǎn)，CEBD。求證：BE=AD；（2）求證：AC是線段ED的垂直平分線；（3）DBC是等腰三角形嗎？并說(shuō)明理由（四）76如圖，一個(gè)含45的三角板HBE的兩條直角邊與正方形ABCD的兩鄰邊重合，過(guò)E點(diǎn)作EFAE交DCE

30、的角平分線于F點(diǎn)，試探究線段AE與EF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。EDCBGAF77. 已知：如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，DEAC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且（1）求證：；（2）若，求AB的長(zhǎng)78如圖，在梯形中，點(diǎn)在上，,.求：的長(zhǎng)及BC與BE的比值A(chǔ)GEBCFD79如圖，在ABCD中，E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，AGBD交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G(1)求證：ADECBF；(2)若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由ADBCE80在ABCD中，AC是一條對(duì)角線，BCAD，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CEBC，連接DE(1)求證：四邊形

31、ABED是等腰梯形(2)若ABAD4，求梯形ABED的面積ABCDEFGHO81如圖，O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD上的點(diǎn)，且AEBFCGDH(1)求證：四邊形EFGH是矩形；ABCDC1(2)若E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)，且DGAC，OF2cm，求矩形ABCD的面積82如圖，在RtABC中，ABC90，BAC60，D為AC的中點(diǎn)，以BD為折痕，將BCD折疊，使得C點(diǎn)到達(dá)C1點(diǎn)的位置，連接AC1求證：四邊形ABDC1是菱形AEB CFDG83如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使A點(diǎn)與C點(diǎn)重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，EF為折痕(1)求

32、證：FGCEBC；(2)求證：AECF是菱形；（3）若AB8，AD4，求四邊形ECGF(陰影部分)的面積ABCDEF84如圖，四邊形ABCD是菱形，BEAD、BFCD，垂足分別為E、F(1)求證：BEBF；(2)當(dāng)菱形ABCD的對(duì)角線AC8，BD6時(shí)，求BE的長(zhǎng)AEBCDFGH85如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG均為正方形，連接BG與DE相交于點(diǎn)H(1)證明：ABGADE；(2)試猜想BHD的度數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)將圖中正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0BAE180)，設(shè)ABE的面積為S1，ADG的面積為S2，判斷S1與S2的大小關(guān)系，并給予證明86已知，如圖，在RtABC中，ACB90

33、，A30，CDAB交AB于點(diǎn)E，且CDAC，DFBC分別與AB、AC交于點(diǎn)G、F（1）求證：GEGF；（2）若BD1，求DF的長(zhǎng)A1O1A2B2B1C1BC2AOD87. 如圖所示，在矩形中，兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)以、為鄰邊作第1個(gè)平行四邊形，對(duì)角線相交于點(diǎn)，再以、為鄰邊作第2個(gè)平行四邊形，對(duì)角線相交于點(diǎn)；再以、為鄰邊作第3個(gè)平行四邊形依次類推（1）求矩形的面積；（2）求第1個(gè)平行四邊形、第2個(gè)平行四邊形和第6個(gè)平行四邊形的面積88. 問(wèn)題：已知ABC中，BAC=2ACB，點(diǎn)D是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AD=CD，BD=BA。探究DBC與ABC度數(shù)的比值。 請(qǐng)你完成下列探究過(guò)程：ACB 先將圖形特殊化，

34、得出猜想，再對(duì)一般情況進(jìn)行分析并加以證明。(1) 當(dāng)BAC=90時(shí)，依問(wèn)題中的條件補(bǔ)全右圖。觀察圖形，AB與AC的數(shù)量關(guān)系為 ；當(dāng)推出DAC=15時(shí)，可進(jìn)一步推出DBC的度數(shù)為 ；可得到DBC與ABC度數(shù)的比值為 ； (2) 當(dāng)BAC90時(shí)，請(qǐng)你畫出圖形，研究DBC與ABC度數(shù)的比值是否與(1)中的結(jié)論相同，寫出你的猜想并加以證明。圖ADBCGEFl圖ADBCHGEFl圖ADMCHGEFlCN（H）89.兩個(gè)長(zhǎng)為2cm，寬為1cm的長(zhǎng)方形，擺放在直線上（如圖），=2cm，將長(zhǎng)方形繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，將長(zhǎng)方形繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)相同的角度（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到頂點(diǎn)、重合時(shí)，連接（如圖），求點(diǎn)到的距離；（2）

35、當(dāng)時(shí)（如圖），求證：四邊形為正方形90如圖，在ABC中，點(diǎn)P是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線MNBC，設(shè)MN交BCA的平分線于點(diǎn)E，交BCA的外角平分線于點(diǎn)FABCDMNEFP(1)求證：PEPF；(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形BCFE可能是菱形嗎？說(shuō)明理由；(3)若在AC邊上存在點(diǎn)P，使四邊形AECF是正方形，且求此時(shí)A的大小91. 如圖1，在ABC中，點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若B、P在直線a的異側(cè)，BM直線a于點(diǎn)M，CN直線a于點(diǎn)N，連接PM、PN； (1) 延長(zhǎng)MP交CN于點(diǎn)E(如圖2)。j 求證：BPMCPE；k 求證：PM = PN； (2) 若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)

36、到圖3的位置時(shí)，點(diǎn)B、P在直線a的同側(cè)，其它條件不變。此時(shí)PM=PN還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由； (3) 若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時(shí)，其它條件不變。請(qǐng)直接判斷四邊形MBCN 的形狀及此時(shí)PM=PN還成立嗎？不必說(shuō)明理由。aABCPMNABCMNaPABCPNMa圖1圖2圖3OBCAEDOBCDAE圖1圖292如圖，已知OAOB，OA4，OB3，以AB為邊作矩形ABCD，使ADa，過(guò)點(diǎn)D作DE垂直O(jiān)A的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E(1)證明：OABEDA；(2)當(dāng)a為何值時(shí)，OABEDA？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求此時(shí)點(diǎn)C到OE的距離93.如圖，在Rt中，點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng)，DE平

37、分交邊BC于點(diǎn)E，垂足為，垂足為N.（1）當(dāng)AD=CD時(shí)，求證：；（2）探究：AD為何值時(shí)，與相似？（3）探究：AD為何值時(shí)，四邊形MEND與的面積相等？94如圖，一個(gè)直角三角形紙片的頂點(diǎn)A在MON的邊OM上移動(dòng)，移動(dòng)過(guò)程中始終保持ABON于點(diǎn)B,ACOM于點(diǎn)A.MON的角平分線OP分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn).（1）點(diǎn)A在移動(dòng)的過(guò)程中，線段AD和AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.（2）點(diǎn)A在移動(dòng)的過(guò)程中,若射線ON上始終存在一點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于OP所在的直線對(duì)稱，判斷并說(shuō)明以A、D、F、E為頂點(diǎn)的四邊形是怎樣特殊的四邊形？ （3）若MON=45，猜想線段AC、AD、OC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證

38、明你的猜想. 95兩塊完全相同的三角板(ABC)和(A1B1C1)如圖放置在同一平面上(CC190，ABCA1B1C160)，斜邊重合若三角板不動(dòng)，三角板在三角板所在的平面上向右滑動(dòng)，圖是滑動(dòng)過(guò)程中的一個(gè)位置(1)在圖中，連接BC1、B1C，求證：A1BC1AB1C(2)三角板滑到什么位置(點(diǎn)B1落在AB邊的什么位置)時(shí)，四邊形BCB1C1是菱形？說(shuō)明理由A(B1)B(A1)C1CA1BCC1B1A圖圖96.如圖，四邊形ABCD是正方形, 點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn)，DEAG于點(diǎn)E，BFAG于點(diǎn)F. (1) 求證：DEBF = EF(2) 當(dāng)點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)時(shí), 試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系，

39、 并說(shuō)明理由 ABCDG(3) 若點(diǎn)G為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其余條件不變請(qǐng)你在圖中畫出圖形，寫出此時(shí)DE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）ABCGDEF97將一副三角尺如圖拼接：含30角的三角尺（ABC）的長(zhǎng)直角邊與含45角的三角尺（ACD）的斜邊恰好重合已知AB2，P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)DACB（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到ABC的平分線上時(shí)，連接DP，求DP的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中出現(xiàn)PDBC時(shí)，求此時(shí)PDA的度數(shù)；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以D、P、B、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的頂點(diǎn)Q恰好在邊BC上？求出此時(shí)DPBQ的面積（五）98在平面內(nèi)有一等腰直角三角板(ACB90)和直線l過(guò)點(diǎn)C作CE

40、l于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BFl于點(diǎn)F當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)(圖)，易證：AFBF2CE當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖、圖的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)直接寫出線段AF、BF、CE之間的數(shù)量關(guān)系的猜想(不AAA(E)lllCBFCBEFCBEF圖1圖2圖399.如圖所示，（1）正方形ABCD及等腰RtAEF有公共頂點(diǎn)A,EAF=90, 連接BE、DF.將RtAEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BE、DF具有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？結(jié)合圖(1)給予證明；(2)將（1）中的正方形ABCD變?yōu)榫匦蜛BCD，等腰RtAEF變?yōu)镽tAEF，且AD=kAB,AF=kAE,其他條件不變.(

41、1)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？結(jié)合圖(2)說(shuō)明理由；(3)將（2）中的矩形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅蜛BCD，將RtAEF變?yōu)锳EF，且BAD=EAF=，其他條件不變.(2)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？結(jié)合圖(3)，如果不變，直接寫出結(jié)論；如果變化，直接用k表示出線段BE、DF的數(shù)量關(guān)系，用表示出直線BE、DF形成的銳角 100.閱讀材料：ACBPr1r2hDCBAENFMCABPr1r3r2h如圖，中，P為底邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到兩腰的距離分別為，腰上的高為，連接AP，則即：（定值）（1）理解與應(yīng)用如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，于M，于N，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)

42、論求出的長(zhǎng)（2）類比與推理如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那么P的位置可以由“在底邊上任一點(diǎn)”放寬為“在三角形內(nèi)任一點(diǎn)”，即：已知等邊內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊的距離分別為，等邊的高為，試證明（定值）（3）拓展與延伸若正邊形內(nèi)部任意一點(diǎn)P到各邊的距離為，請(qǐng)問(wèn)是是否為定值，如果是，請(qǐng)合理猜測(cè)出這個(gè)定值101、是等邊三角形，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），是以為邊的等邊三角形，過(guò)點(diǎn)作的平行線，分別交射線于點(diǎn)，連接（1）如圖（a）所示，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí) 求證：；探究四邊形是怎樣特殊的四邊形？并說(shuō)明理由；（2）如圖（b）所示，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫出（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？（3）在（2）的

43、情況下，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形是菱形？并說(shuō)明理由AGCDBFE圖（a）ADCBFEG圖（b）OECBDAlOCBA（備用圖）102.如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線從與重合的位置開始，繞點(diǎn)作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交邊于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，設(shè)直線的旋轉(zhuǎn)角為（1）畫圖求當(dāng)多少度時(shí)，四邊形是等腰梯形，此時(shí)的長(zhǎng)為多少；（2）求當(dāng)多少度時(shí)，四邊形是直角梯形，此時(shí)的長(zhǎng)為多少；（3）當(dāng)時(shí)，判斷四邊形是否為菱形，并說(shuō)明理由103如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，并且OA、OC的長(zhǎng)滿足：|OA2|(OC2)20OABCB1Dyx(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)(2)把ABC沿AC對(duì)折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B1處，線段AB1與x

44、軸交于點(diǎn)D，求直線BB1的解析式(3)在直線BB1上是否存在點(diǎn)P使ADP為直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖-1AHC(M)DEBFG(N)G圖-2AHCDEBFNMAHCDE圖-3BFGMN104. 在圖-1至圖-3中，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段CE的中點(diǎn)四邊形BCGF和CDHN都是正方形AE的中點(diǎn)是M（1）如圖-1，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，求證：FM = MH，F(xiàn)MMH；（2）將圖14-1中的CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖-2，求證：FMH是等腰直角三角形；（3）將圖14-2中的CE縮短到圖14-3的情況，F(xiàn)MH還是

45、等腰直角三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。105如圖，已知正方形在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)分別在軸、軸的正半軸上，點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn).等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，分別在上，且將三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，連結(jié)（1）求證：（2）若三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，是否存在某一位置，使得若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.106已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EFBD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG（1）求證：EG=CG；（2）將圖中BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，如圖所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 （3）將圖中BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明）FBACE圖FBADCEG圖FBADCEG圖 107如圖，（1）直角三角形