2009年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(全國卷ⅰ)

1、2009年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國卷）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）設(shè)集合A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集U=AB，則集合U（AB）中的元素共有（）A3個B4個C5個D6個2（5分）已知=2+i，則復(fù)數(shù)z=（）A1+3iB13iC3+iD3i3（5分）不等式1的解集為（）Ax|0x1x|x1Bx|0x1Cx|1x0Dx|x04（5分）已知雙曲線=1（a0，b0）的漸近線與拋物線y=x2+1相切，則該雙曲線的離心率為（）AB2CD5（5分）甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中

2、恰有1名女同學(xué)的不同選法共有（）A150種B180種C300種D345種6（5分）設(shè)、是單位向量，且，則的最小值為（）A2B2C1D17（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影D為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為（）ABCD8（5分）如果函數(shù)y=3cos（2x+）的圖象關(guān)于點（，0）中心對稱，那么|的最小值為（）ABCD9（5分）已知直線y=x+1與曲線y=ln（x+a）相切，則a的值為（）A1B2C1D210（5分）已知二面角l為60，動點P、Q分別在面、內(nèi)，P到的距離為，Q到的距離為，則P、Q兩點之間距離的最小值為（）A1B2

3、CD411（5分）函數(shù)f（x）的定義域為R，若f（x+1）與f（x1）都是奇函數(shù)，則（）Af（x）是偶函數(shù)Bf（x）是奇函數(shù)Cf（x）=f（x+2）Df（x+3）是奇函數(shù)12（5分）已知橢圓C：+y2=1的右焦點為F，右準(zhǔn)線為l，點Al，線段AF交C于點B，若=3，則|=（）AB2CD3二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13（5分）（xy）10的展開式中，x7y3的系數(shù)與x3y7的系數(shù)之和等于14（5分）設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S9=81，則a2+a5+a8=15（5分）直三棱柱ABCA1B1C1的各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，BAC=120，則此球的表

4、面積等于16（5分）若，則函數(shù)y=tan2xtan3x的最大值為三、解答題（共6小題，滿分70分）17（10分）在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a2c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b18（12分）如圖，四棱錐SABCD中，底面ABCD為矩形，SD底面ABCD，AD=，DC=SD=2，點M在側(cè)棱SC上，ABM=60（I）證明：M是側(cè)棱SC的中點；（）求二面角SAMB的大小19（12分）甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束，假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨立，已知前2局中，甲

5、、乙各勝1局（I）求甲獲得這次比賽勝利的概率；（）設(shè)表示從第3局開始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望20（12分）在數(shù)列an中，a1=1，an+1=（1+）an+（1）設(shè)bn=，求數(shù)列bn的通項公式；（2）求數(shù)列an的前n項和Sn21（12分）如圖，已知拋物線E：y2=x與圓M：（x4）2+y2=r2（r0）相交于A、B、C、D四個點（）求r的取值范圍；（）當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點P的坐標(biāo)22（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=x3+3bx2+3cx在兩個極值點x1、x2，且x11，0，x21，2（1）求b、c滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫出滿足這些條

6、件的點（b，c）的區(qū)域；（2）證明：2009年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國卷）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）（2009全國卷）設(shè)集合A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集U=AB，則集合U（AB）中的元素共有（）A3個B4個C5個D6個【分析】根據(jù)交集含義取A、B的公共元素寫出AB，再根據(jù)補(bǔ)集的含義求解【解答】解：AB=3，4，5，7，8，9，AB=4，7，9U（AB）=3，5，8故選A也可用摩根律：U（AB）=（UA）（UB）故選A2（5分）（2009全國卷）已知=2+i，則復(fù)數(shù)z=（）A1+3iB13iC3+iD3i【分析】化簡

7、復(fù)數(shù)直接求解，利用共軛復(fù)數(shù)可求z【解答】解：，故選B3（5分）（2009全國卷）不等式1的解集為（）Ax|0x1x|x1Bx|0x1Cx|1x0Dx|x0【分析】本題為絕對值不等式，去絕對值是關(guān)鍵，可利用絕對值意義去絕對值，也可兩邊平方去絕對值【解答】解：1，|x+1|x1|，x2+2x+1x22x+1x0不等式的解集為x|x0故選D4（5分）（2009全國卷）已知雙曲線=1（a0，b0）的漸近線與拋物線y=x2+1相切，則該雙曲線的離心率為（）AB2CD【分析】先求出漸近線方程，代入拋物線方程，根據(jù)判別式等于0，找到a和b的關(guān)系，從而推斷出a和c的關(guān)系，答案可得【解答】解：由題雙曲線的一條漸

8、近線方程為，代入拋物線方程整理得ax2bx+a=0，因漸近線與拋物線相切，所以b24a2=0，即，故選擇C5（5分）（2009全國卷）甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有（）A150種B180種C300種D345種【分析】選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法，1名女同學(xué)來自甲組和乙組兩類型【解答】解：分兩類（1）甲組中選出一名女生有C51C31C62=225種選法；（2）乙組中選出一名女生有C52C61C21=120種選法故共有345種選法故選D6（5分）（2009全國卷）設(shè)、是單位向量，且，則的最

9、小值為（）A2B2C1D1【分析】由題意可得 =，故要求的式子即 （）+=1 cos=1cos，再由余弦函數(shù)的值域求出它的最小值【解答】解：、 是單位向量，=（）+=0（）+1=1 cos=1cos故選項為D7（5分）（2009全國卷）已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影D為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為（）ABCD【分析】首先找到異面直線AB與CC1所成的角（如A1AB）；而欲求其余弦值可考慮余弦定理，則只要表示出A1B的長度即可；不妨設(shè)三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長為1，利用勾股定理即可求之【解答】解：設(shè)BC的中點為D

10、，連接A1D、AD、A1B，易知=A1AB即為異面直線AB與CC1所成的角；并設(shè)三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長為1，則|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cos=故選D8（5分）（2009全國卷）如果函數(shù)y=3cos（2x+）的圖象關(guān)于點（，0）中心對稱，那么|的最小值為（）ABCD【分析】先根據(jù)函數(shù)y=3cos（2x+）的圖象關(guān)于點中心對稱，令x=代入函數(shù)使其等于0，求出的值，進(jìn)而可得|的最小值【解答】解：函數(shù)y=3cos（2x+）的圖象關(guān)于點中心對稱由此易得故選A9（5分）（2009全國卷）已知直線y=x+1與曲線y=ln（x+a）相切，則a的值為（）A1B2C

11、1D2【分析】切點在切線上也在曲線上得到切點坐標(biāo)滿足兩方程；又曲線切點處的導(dǎo)數(shù)值是切線斜率得第三個方程【解答】解：設(shè)切點P（x0，y0），則y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又x0+a=1y0=0，x0=1a=2故選項為B10（5分）（2009全國卷）已知二面角l為60，動點P、Q分別在面、內(nèi)，P到的距離為，Q到的距離為，則P、Q兩點之間距離的最小值為（）A1B2CD4【分析】分別作QA于A，ACl于C，PB于B，PDl于D，連CQ，BD則ACQ=PBD=60，在三角形APQ中將PQ表示出來，再研究其最值即可【解答】解：如圖分別作QA于A，ACl于C，PB于B，PDl于D，連CQ，BD則

12、ACQ=PDB=60，AC=PD=2又當(dāng)且僅當(dāng)AP=0，即點A與點P重合時取最小值故答案選C11（5分）（2009全國卷）函數(shù)f（x）的定義域為R，若f（x+1）與f（x1）都是奇函數(shù)，則（）Af（x）是偶函數(shù)Bf（x）是奇函數(shù)Cf（x）=f（x+2）Df（x+3）是奇函數(shù)【分析】首先由奇函數(shù)性質(zhì)求f（x）的周期，然后利用此周期推導(dǎo)選擇項【解答】解：f（x+1）與f（x1）都是奇函數(shù)，函數(shù)f（x）關(guān)于點（1，0）及點（1，0）對稱，f（x）+f（2x）=0，f（x）+f（2x）=0，故有f（2x）=f（2x），函數(shù)f（x）是周期T=2（2）=4的周期函數(shù)f（x1+4）=f（x1+4），f（x+

13、3）=f（x+3），f（x+3）是奇函數(shù)故選D12（5分）（2009全國卷）已知橢圓C：+y2=1的右焦點為F，右準(zhǔn)線為l，點Al，線段AF交C于點B，若=3，則|=（）AB2CD3【分析】過點B作BMx軸于M，設(shè)右準(zhǔn)線l與x軸的交點為N，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知FN=1，進(jìn)而根據(jù)，求出BM，AN，進(jìn)而可得|AF|【解答】解：過點B作BMx軸于M，并設(shè)右準(zhǔn)線l與x軸的交點為N，易知FN=1由題意，故FM=，故B點的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為即BM=，故AN=1，故選A二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13（5分）（2009全國卷）（xy）10的展開式中，x7y3的系數(shù)與x3y7的系數(shù)之和等于24

14、0【分析】首先要了解二項式定理：（a+b）n=Cn0anb0+Cn1an1b1+Cn2an2b2+Cnranrbr+Cnna0bn，各項的通項公式為：Tr+1=Cnranrbr然后根據(jù)題目已知求解即可【解答】解：因為（xy）10的展開式中含x7y3的項為C103x103y3（1）3=C103x7y3，含x3y7的項為C107x107y7（1）7=C107x3y7由C103=C107=120知，x7y3與x3y7的系數(shù)之和為240故答案為24014（5分）（2009全國卷）設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S9=81，則a2+a5+a8=27【分析】由s9解得a5即可【解答】解：a5=9a2+a

15、5+a8=3a5=27故答案是2715（5分）（2009全國卷）直三棱柱ABCA1B1C1的各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，BAC=120，則此球的表面積等于20【分析】通過正弦定理求出底面外接圓的半徑，設(shè)此圓圓心為O，球心為O，在RTOBO中，求出球的半徑，然后求出球的表面積【解答】解：在ABC中AB=AC=2，BAC=120，可得由正弦定理，可得ABC外接圓半徑r=2，設(shè)此圓圓心為O，球心為O，在RTOBO中，易得球半徑，故此球的表面積為4R2=20故答案為：2016（5分）（2009全國卷）若，則函數(shù)y=tan2xtan3x的最大值為8【分析】見到二倍角2x 就想到用二倍

16、角公式，之后轉(zhuǎn)化成關(guān)于tanx的函數(shù)，將tanx看破成整體，最后轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題解決【解答】解：令tanx=t，故填：8三、解答題（共6小題，滿分70分）17（10分）（2009全國卷）在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a2c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理將sinAcosC=3cosAsinC化成邊的關(guān)系，再根據(jù)a2c2=2b即可得到答案【解答】解：法一：在ABC中sinAcosC=3cosAsinC，則由正弦定理及余弦定理有：，化簡并整理得：2（a2c2）=b2又由已知a2c2=2b4b=b2解得b=4或b=0（

17、舍）；法二：由余弦定理得：a2c2=b22bccosA又a2c2=2b，b0所以b=2ccosA+2又sinAcosC=3cosAsinC，sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA由，解得b=418（12分）（2009全國卷）如圖，四棱錐SABCD中，底面ABCD為矩形，SD底面ABCD，AD=，DC=SD=2，點M在側(cè)棱SC上，ABM=60（I）證明：M是側(cè)棱SC的中點；（）求二面角SAMB的大小【分析】（）法一：要證明M是側(cè)棱SC的中點，作MNSD交CD于N，作NEAB交AB于

18、E，連ME、NB，則MN面ABCD，MEAB，設(shè)MN=x，則NC=EB=x，解RTMNE即可得x的值，進(jìn)而得到M為側(cè)棱SC的中點；法二：分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，并求出S點的坐標(biāo)、C點的坐標(biāo)和M點的坐標(biāo)，然后根據(jù)中點公式進(jìn)行判斷；法三：分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，構(gòu)造空間向量，然后數(shù)乘向量的方法來證明（）我們可以以D為坐標(biāo)原點，分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，我們可以利用向量法求二面角SAMB的大小【解答】證明：（）作MNSD交CD于N，作NEAB交AB于E，連ME、NB，則M

19、N面ABCD，MEAB，設(shè)MN=x，則NC=EB=x，在RTMEB中，MBE=60在RTMNE中由ME2=NE2+MN23x2=x2+2解得x=1，從而M為側(cè)棱SC的中點M（）證法二：分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則設(shè)M（0，a，b）（a0，b0），則，由題得，即解之個方程組得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是側(cè)棱SC的中點（I）證法三：設(shè)，則又故，即，解得=1，所以M是側(cè)棱SC的中點（）由（）得，又，設(shè)分別是平面SAM、MAB的法向量，則且，即且分別令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，二面角SAMB的大小19（12分）（2009全國卷）

20、甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束，假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨立，已知前2局中，甲、乙各勝1局（I）求甲獲得這次比賽勝利的概率；（）設(shè)表示從第3局開始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望【分析】（1）由題意知前2局中，甲、乙各勝1局，甲要獲得這次比賽的勝利需在后面的比賽中先勝兩局，根據(jù)各局比賽結(jié)果相互獨立，根據(jù)相互獨立事件的概率公式得到結(jié)果（2）由題意知表示從第3局開始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，由上一問可知的可能取值是2、3，由于各局相互獨立，得到變量的分布列，求出期望【解答】解：記Ai表示事件：第i局

21、甲獲勝，（i=3、4、5）Bi表示第j局乙獲勝，j=3、4（1）記B表示事件：甲獲得這次比賽的勝利，前2局中，甲、乙各勝1局，甲要獲得這次比賽的勝利需在后面的比賽中先勝兩局，B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比賽結(jié)果相互獨立，P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）=0.60.6+0.40.60.6+0.60.40.6=0.648（2）表示從第3局開始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，由上一問可知的可能取值是2、3由于各局相互獨立，得到的分布列P（=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52P（=3）=1P（=2）=10.52=0.48E=20.52+30.48=2.

22、4820（12分）（2009全國卷）在數(shù)列an中，a1=1，an+1=（1+）an+（1）設(shè)bn=，求數(shù)列bn的通項公式；（2）求數(shù)列an的前n項和Sn【分析】（1）由已知得=+，即bn+1=bn+，由此能夠推導(dǎo)出所求的通項公式（2）由題設(shè)知an=2n，故Sn=（2+4+2n）（1+），設(shè)Tn=1+，由錯位相減法能求出Tn=4從而導(dǎo)出數(shù)列an的前n項和Sn【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即bn+1=bn+，從而b2=b1+，b3=b2+，bn=bn1+（n2）于是bn=b1+=2（n2）又b1=1，故所求的通項公式為bn=2（2）由（1）知an=2n，故Sn=（2+4+2n）（1+），設(shè)Tn=1+，Tn=+，得，Tn=1+=2，Tn=4Sn=n（n+1）+421（12分）（2009全國卷）如圖，已知拋物線E：y2=x與圓M：（x4）2+y2=r2（r0）相交于A、B、C、D四個點（）求r的取值范圍；（）當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點P的坐標(biāo)【分析】（1）先聯(lián)立拋物線與圓的方程消去y，得到x的二次方程，根據(jù)拋物線E：y2=x與圓M：（x4）2+y2=r2（r0）相交于A、B、C、D四個點的充要條件是此方程有兩個不相等的正根，可求出r的范圍（2）先設(shè)出四點A，B，C，D的坐標(biāo)再由（1）中的x二次方程得到兩根之和、兩根之