概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案

1、湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,1,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題,湘潭大學(xué)編教材,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,2,第一章 隨機(jī)事件及概率,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,3,p23習(xí)題1.7 在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地抽取兩個(gè)數(shù)，求事件“兩數(shù)之和小于6/5”的概率。,解：用x,y分別表示從(0,1)中取出的2個(gè)數(shù)，,則樣本空間為正方形：,如圖所示，k為區(qū)域：,k,所以由幾何概率得:,x+y=6/5,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,4,解：設(shè)a=第一次取得紅球，b=第二次取得紅球,p23習(xí)題1.9 袋中有10個(gè)球，其中8個(gè)紅球，2個(gè)白球，現(xiàn)從中任取兩次，每次一球，作不放回抽樣，求下列事件的概率： (1) 兩次都取紅球

2、； (2) 兩次中一次取得紅球，另一次取得白球； (3) 至少一次取得白球； (4) 第二次取得白球。,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,5,解 (1) p(ab)=p(a)p(b|a),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,6,解 (1)設(shè)ai一箱玻璃杯中含有i個(gè)殘次品,i=0,1,2;,b=從一箱玻璃杯中任取4只無殘次品,由題設(shè)可知,p(a0)=0.8, p(a1)=0.1, p(a2)=0.1.,根據(jù)全概率公式得,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,7,p23習(xí)題1.12 設(shè)8支槍中有3支未經(jīng)試射校正， 5支已經(jīng)試射校正，一射手用校正的槍射擊時(shí)，中靶概率為0.8，而用未校正過的槍射擊時(shí)，中靶概率為0.3，現(xiàn)假定

3、從8支槍中任取一支進(jìn)行射擊，結(jié)果中靶，求所用的槍是已校正過的概率。,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,8,解 設(shè)a經(jīng)過校正的槍,c=射擊中靶,由題設(shè)可知,p(a)=5/8, p(b)=3/8, p(c|a)=0.8, p(c|b)=0.3.,根據(jù)全概率公式得,b未經(jīng)校正的槍,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,9,p23習(xí)題1.13 對飛機(jī)進(jìn)行3次獨(dú)立射擊, 第1次射擊的命中率為0.4、第2次為0.5、第3次為0.7. 飛機(jī)被擊中1次而墜落的概率為0.2,被擊中2次而墜落的概率為0.6, 若被擊中3次飛機(jī)必墜落,求射擊3次使飛機(jī)墜落的概率.,設(shè)b=飛機(jī)墜落，ai=飛機(jī)被擊中i次, i=1,2,3,由全概率公

4、式,則 b=a1b+a2b+a3b,解:,依題意，,p(b|a1)=0.2, p(b|a2)=0.6, p(b|a3)=1,p(b)=p(a1)p(b |a1)+ p(a2)p(b|a2) + p(a3)p(b |a3),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,10,可求得:,為求p(ai ) ,將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得:,設(shè) hi=飛機(jī)被第i次射擊擊中, i=1,2,3,p(a1)=0.36;p(a2)=0.41;p(a3)=0.14.,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,11,于是,=0.458,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飛機(jī)墜落的概率為0.458.,p(b)=p(a1)p(b |a1)+

5、p(a2)p(b|a2)+p(a3)p(b |a3),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,12,p24習(xí)題1.14 某人每次射擊的命中率為0.6，獨(dú)立射擊5次，求： （1）擊中3次的概率； （2）至少有1次未擊中的概率.,解:（1),(2) 考慮至少有1次未擊中的對立事件，,即每次都擊中，其概率為：,故至少有1次未擊中的概率為,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,13,p24習(xí)題1.15 某車間有12臺車床，由于工藝上的原因，時(shí)常發(fā)生故障，設(shè)每臺車床在任一時(shí)刻出故障的概率為0.3，且各臺車床的工作是相互獨(dú)立的，計(jì)算在任一指定時(shí)刻有3臺以上車床發(fā)生故障的概率.,解：設(shè)a=任一指定時(shí)刻有3臺以上車床發(fā)生故障,又因

6、為,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,14,有0臺車床發(fā)生故障的概率為,有1臺車床發(fā)生故障的概率為,有2臺車床發(fā)生故障的概率為,故,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,15,p24習(xí)題1.16 若1人負(fù)責(zé)維修同類型的設(shè)備20臺，設(shè)各臺設(shè)備的工作是相互獨(dú)立的，在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率都是0.01，維修用不了多長時(shí)間，求設(shè)備發(fā)生故障而不能得到及時(shí)處理的概率，若3人共同負(fù)責(zé)維修80臺呢？,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,16,解: (1) 設(shè)a=設(shè)備發(fā)生故障而不能得到及時(shí)處理,故,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,17,解: (2) 設(shè)a=設(shè)備發(fā)生故障而不能得到及時(shí)處理,故,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,18,第二章 隨機(jī)變量

7、及其分布,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,19,p43習(xí)題2.3 一汽車沿一街道行駛，需要通過三個(gè)均設(shè)有紅綠燈的路口，每個(gè)信號燈為紅或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號顯示的概率為1/2。以x表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口數(shù)，求x的概率分布與e1/(1+x)。,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,20,解: x的取值為0,1, 2, 3,px=0=1/2,x的概率分布為,(2) e1/(x+1)=11/2+1/21/4+1/31/8+1/41/8,=67/96,px=1=1/21/2=1/4,px=2=1/21/21/2=1/8,px=3=1/21/21/2=1/8,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科

8、學(xué)學(xué)院,21,p44習(xí)題2.8 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量x的分布函數(shù)為,求:(1)a; (2)p0.3x0.7; (3)x的概率密度f(x),解:(1)f(x)在x=1點(diǎn)連續(xù),由右連續(xù)性得:,即:,所以,a=1,(2)p(0.3x0.7)=f(0.7)-f(0.3)=,0.72-0.32=0.4,px=1=f(1)f(10)= 1a =0,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,22,0， x0 2x， 0 x1 0， 1x,即:,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,23,p44習(xí)題2.12 設(shè) r.v xu(2 ,5).現(xiàn)對 x進(jìn)行三次獨(dú)立觀測，試求至少有兩次觀測值大于3的概率。,解:由題意得:,記a=x3,則p(a)

9、=px3=,2/3,設(shè)y表示三次獨(dú)立觀測中a出現(xiàn)的次數(shù),則yb(3,2/3),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,24,所求為,py=2+py=3,=20/27,設(shè)y表示三次獨(dú)立觀測中a出現(xiàn)的次數(shù),則yb(3,2/3),py2=,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,25,內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間的長度成正比.,p44習(xí)題2.17 設(shè)隨機(jī)變量x的絕對值不大于1 ；,在事件-1x1出現(xiàn)的條件下， x在(-1,1),試求:,(2) x取負(fù)值的概率p,(1)x的分布函數(shù)f(x),解 (1),(2),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,26,f(x)的三性質(zhì)都不滿足,單調(diào)減,右不連續(xù),未定義,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科

10、學(xué)學(xué)院,27,分布函數(shù)f(x)三性質(zhì),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,28,解,由題設(shè)知,設(shè),于是,(1) 當(dāng),當(dāng),當(dāng),上式中令 得,推導(dǎo)較復(fù)雜先做準(zhǔn)備工作.,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,29,又,于是當(dāng) 時(shí)，,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,30,(2),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,31,由題設(shè) 得,附 k 的另一求法,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,32,p45習(xí)題2.18 設(shè)xb(2,0.3),求下列隨機(jī)變量的分布律 1、y1=x2 2、y2= x2-2x 3、y3=3x-x2,解：x的概率分布為px=k= 0.3k0.72-k k=0,1,2 列表如下：,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,33,則有y1

11、 ，y2 ，y3的分布律分別為,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,34,p45習(xí)題2.19 設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)為,求隨機(jī)變量y=x2的概率密度函數(shù)。,解：先求y的分布函數(shù)fy(y)=py y=px2 y,當(dāng)y0時(shí)， y y為不可能事件，,此時(shí)fy(y)=0.,當(dāng)y0時(shí)，,fy(y)= px2 y=,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,35,所以y的概率密度函數(shù)為,當(dāng)y0時(shí)，,fy(y)= px2 y=,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,36,第三章 多維隨機(jī)變量及其分布,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,37,p72習(xí)題3.2 將一枚均勻的硬幣拋擲4次, x表示正面向上的次數(shù), y表示反面朝上次數(shù), 求(x,y

12、)的概率分布.,解:x的所有可能取值為0,1,2,3,4, y的所有可能取值為0,1,2,3,4, 因?yàn)閤+y=4,所以(x,y)概率非零的數(shù)值對為:,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,38,x y 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0,px=0,y=4=,px=2,y=2=,=1/4,=6/16,px=3,y=1=,=1/4,px=4,y=0= 0.54=1/16,px=1,y=3=,0.54=1/16,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,39,x 0 1 2 3 4,y 0 1 2 3 4,聯(lián)合概率分布表為:,0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0

13、0 0 1/16 0 0 0 0,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,40,p73習(xí)題3.8 已知隨機(jī)變量x1和x2的概率分布,x1 -1 0 1,p 1/4 1/2 1/4,x2 0 1,p 1/2 1/2,而且px1x2=0=1.,(1) 求x1和x2的聯(lián)合分布；,(2) 問x1和x2是否獨(dú)立？為什么？,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,41,pi. 1/4 1/2 1/4,p.j 1/2 1/2,解 (1) 因?yàn)閜x1x2=0=1，,所以px1x20=0，,即px1=-1，x2=1=0，,px1=1，x2=1=0，,0,0,聯(lián)合概率分布表如右圖,px1=0，x2=1=1/2，,px1=0，x2=0=0

14、，,1/2,px1=-1，x2=0=1/4，,0,px1=1，x2=0=1/4，,1/4,1/4,1,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,42,(2) x1和x2不獨(dú)立。,因?yàn)?所以,px1=0=1/2，,px1=0，x2=1=1/2,px2=1=1/2，,px1=0，x2=1 ,px1=0px2=1=1/4,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,43,p73習(xí)題3.10 設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)的概率密度為, 求隨機(jī)變量x的密度函數(shù)； 求概率px+y1.,解:(1) 當(dāng)x0時(shí), fx(x)=0;,所以,y=x,當(dāng)x0時(shí),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,44,p73習(xí)題3.10 設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)的概率密度為

15、, 求隨機(jī)變量x的密度函數(shù)； 求概率px+y1.,解:(2),y=x,x+y=1,1/2,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,45,p73習(xí)題3.13 設(shè)(x,y)的聯(lián)合概率密度為,求z=x2+y2的概率密度。,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,46,解,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,47,p73習(xí)題3.16 設(shè)(x,y)的聯(lián)合概率密度為,求： (1) p(xy); (2) 邊緣概率密度；,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,48,解(1),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,49,解(2),同理可得,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,50,解(3),因?yàn)?所以,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,51,注：習(xí)題3.16可以推廣到如下一般

16、形式,設(shè)x、y為相互獨(dú)立同分布的連續(xù)型隨機(jī)變量,證明:,證:,設(shè)x的分布函數(shù)為f(x), 概率密度為f(x).,由題設(shè),可設(shè)y的分布函數(shù)為f(y),概率密度為f(y),則,則(x,y)的聯(lián)合概率密度為:,f(x,y)=f(x)f(y).,故,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,52,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,53,p74習(xí)題3.17 設(shè)x和y是相互獨(dú)立且服從同一分布的兩個(gè)隨機(jī)變量，已知x的分布律為,px=i=1/3, i=1,2,3.,又設(shè),試寫出變量,的分布律及邊緣分布并求,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,54,pi. 1/9 1/3 5/9,p.j 5/9 1/3 1/9,解 因?yàn)?0,聯(lián)合概率分布

17、表如下圖,1/9,2/9,1/9,1,0,0,1/9,2/9,2/9,所以,i=1,2,3.,其他同理可得，具體略,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,55,p74習(xí)題3.18 設(shè)x關(guān)于y的條件概率密度為,求,而y的概率密度為,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,56,解 因?yàn)?所以,所以x的概率密度為,則,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,57,p73習(xí)題3.20 假設(shè)一電路裝有三個(gè)同種電器元件，其工作狀態(tài)相互獨(dú)立，且無故障工作時(shí)間都服從參數(shù)為0的指數(shù)分布，當(dāng)三個(gè)元件都無故障時(shí)，電路正常工作，否則整個(gè)電路不能正常工作。試求電路正常工作的時(shí)間t的概率分布。,解：三個(gè)元件都無故障工作時(shí)間分別為x,y,z,則,t=mi

18、n(x,y,z),且x,y,z的概率密度都為,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,58,則,故t服從參數(shù)為30的指數(shù)分布,即概率密度為,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,59,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,60,解：,p89習(xí)題4.1 甲乙兩隊(duì)比賽，若有一隊(duì)先勝四場，則比賽結(jié)束。假定甲隊(duì)在每場比賽中獲勝的概率為0.6，乙隊(duì)為0.4，求比賽場數(shù)的數(shù)學(xué)期望。,(場),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,61,求,解,p90習(xí)題4.6 已知,x的密度函數(shù)為,則,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,62,p91習(xí)題4.12 設(shè)x與y相互獨(dú)立，且,解：,求,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,63,p91習(xí)題4.14 設(shè)在國際市場上每年對我國某種出口商品的需求量是隨機(jī)變量x(噸)，它在2000,4000上服從均勻分布，又設(shè)每售出這種商品一噸，可為國家掙得外匯3萬元，但假如銷售不出而囤積在倉庫，則每噸需浪費(fèi)保養(yǎng)費(fèi)1萬元。問需要組織多少貨源，才能使國家收益最