廣東省培正中學2014-2015學年高二下學期期末考試數(shù)學(文)試題

1、廣州市培正中學 2014-2015 學年第二學期期末考試高二數(shù)學試題(滿分： 150分；考試時間：120分鐘 )一、選擇題：本大題共 10小題，每小題 5分，滿分 50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1設集合 U1,2,3,4,5,6， M1,3,5 ， N1,2,3，則 eU MN( )A 4,6B 1,2,3,5C 2,4,6D 2,4,5,62若復數(shù) z 滿足 iz34i ，則復數(shù) z 的共軛復數(shù) z 對應的點位于 ()A 第一象限B第二象限C 第三象限D(zhuǎn) 第四象限3函數(shù)f xsin x1的定義域是 ()ln xA 0,B e,C 0,11,D 1,ee,4在 AB

2、C 中，A90 ， ABk,1， AC2,3 ，則 k 的值是 ()A 2B233C 3D 3225某幾何體的三視圖如圖1所示，則該幾何體的體積等于( )A 576B 288C 192D 1446如圖 2是某算法的程序框圖，則輸出的S()A 6B 27C 124D 6047已知異面直線 a 、 b 分別在平面、內(nèi)，且c ，則直線 c 與 a 、 b 的位置關系是 ()A c 與 a 、 b 都相交B c 至多與 a 、 b 中的一條相交C c 與 a 、 b 都不相交D c 至少與 a 、 b 中的一條相交8過點C1,1和D 1,3，圓心在x 軸上的圓的方程是 ( )A x2y 210Bx2y

3、 210C x 2y2 10D x 2y21022229小明同學每天下午 4:00 到 5:00 之 放學到家學 ，小 同學每天下午4:30 到 5:30 之 到達小明家 他 功 ， 小 到小明家 就能 到小明的概率是()A 1B 0.875C 0.65D 0.510在直角坐 系平面中，已知點P11,2，2,22，3,23，Pnn,2n，其中nP2P3是正整數(shù)， 于平面上任意一點A0， A1為 A0關于點 P1的 稱點，A2為 A1關于點 P2的 稱點，為關于點Pn的 稱點， 任意偶數(shù)n ，用n 表示向量A0 An的AnAn 1坐 ()A4 2n1B2n2n,3n,3C n2 2n1D n 2

4、n 1,3232二、填空 ：本大 共5小 ，考生作答4小 ，每小 5分， 分 20分( 一) 必做 (11 13題 )11已知等差數(shù)列an， 足 a5 a76 ， 此數(shù)列的前11 的和 S1112函數(shù) f xx3ax23x 9 ，已知 x3是函數(shù) fx的一個極 點， 數(shù) a13已知平面直角坐 系xOy 上的區(qū)域 D由不等式 xy0 定若 P x, y為 Dxy3 0x3上 點，點 A 的坐 1,3 ， zOP OA 的最大 是( 二) 做 (14 15 ，考生只能從中 做一 )14 ( 坐 系與參數(shù)方程 做 ) 在極坐 系,(0 ，) 中，曲 023sin與cos的交點的直角坐 系坐 15 (

5、 幾何 明 做 ) 如 3 ，兩 相交于A 、 B 兩點， P 兩 公共弦AB 上任一點，從 P 引兩 的切 PC 、 PD ，若 PC2 2cm ， PDcm 三、解答題：本大題共6小題，滿分 80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16 ( 本小題滿分12分 )已知函數(shù)x2 cos x， xR f12(1) 求7的值；f12(2) 若cos3 ，,0，求5f22317 ( 本小題滿分 12分 )在某中學舉行的環(huán)保知識競賽中，隨機抽取x 名參賽同學的成績 ( 得分的整數(shù) ) 進行整理后分成五組，繪制出如圖 4 所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、第三、第四、第五小組的頻率分別為

6、0.30 ， 0.15 ，0.10 ， 0.05 ，第二小組的頻數(shù)為 40 (1) 求第二小組的頻率，并補全這個頻率分布直方圖，畫出頻率分布折線圖；(2)若采用分層抽樣的方法，從樣本中隨機取20 人，則第三組和第四組各抽取多少人？(3)在 (2) 的條件下，從第三組和第四組抽取的人中任選取2 人，則她們不在同一組別的概率是多少？18 ( 本小題滿分 14分 )如圖 5 ， ABCD A1 B1C1 D1是長方體，已知AA1 AC 2 ， AB2 ， O 、 O1分別是上下底面 ABCD 和 A1 B1C1D1的對角線的交點，E 是 BC 的中點(1) 求證： C1E 平面 ABO1；(2) 求

7、證： BD 平面 ACO1 ；(3) 求點 A 到平面 BCO1 的距離19 ( 本小題滿分 14分 )設各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前 n 項和為 Sn ，且 Sn 滿足222， n N * 2Sn3n n 4 Sn 2 3n n 0(1) 求 a1 的值；(2) 求數(shù)列 an 的通項公式；(3) 令，證明：對一切正整數(shù)n ，有b1 b2b2 b3 b3 b4bnbn 1 13bn2an20 ( 本小題滿分 14分 )在平面直角坐標xOy 中，動點 P x, y到定直線 l ： x2 的距離比到定點F 1,0 的距離大 1， D a,0是 x 軸上一動點(1)求動點 P 的軌跡方程 G ；(2)

8、當 a1 時，過 D 作直線，交動點P 的軌跡于 Mx1, y1、 N x2 , y2兩點，證明： y1 y2為定值；(3)設 A 4, y1是軌跡方程 G 在 x 軸上方的點，過 A 作 AB垂直于 y 軸，垂足為 B ，C 為 OB 的中點，以 C 為圓心， CO 為半徑作圓 C1，討論直線 AD 與圓 C1的位置關系21 ( 本小題滿分 14分 )已知函數(shù)fx x22a ln x ( aR 且 a 0 ) (1) 當 a1時，求函數(shù)y f x的極值；(2) 求函數(shù) f x 在區(qū)間 1,2 上的最小值。廣州市培正中學 2014-2015 學年第二學期期末考試高二數(shù)學參考答案一、選擇題1A

9、【解析】 MN1,2,3,5， eUMN4,6 2A 【解析】由 iz34i 得3 4i4，所以 z43i 對應的點位于第一象限zi3i3C 【解析】由 x0 可得 x0 且 x1，于是 x0,11,x14D 【解析】由 AB 與 AC 垂直，可得 ABAC2k30，所以3 k25B【解析】由三視圖可知，該幾何體為一個三棱柱，體積為相對應的長方體的體積一半，所以體積為1 8V61228826C 【解析】第一次執(zhí)行循環(huán)，S1 ， n2 ；第二次執(zhí)行循環(huán)，S 6 ， n 3 ；第三次執(zhí)行循環(huán)， S27 ， n4 ；第四次執(zhí)行循環(huán)，S 124 ， n5 此時退出循環(huán)，輸出 S 124 7D 【解析】

10、不能選C，否則 c 與 a 、 b 分別平行，進而a b ，與 a 、 b 為異面直線相矛盾；若 c 與 a 、 b 中一條平行，而與另一條相交，由直觀性易知，這是可能的；同樣，c 與 a 、 b 都相交也是可能的8C【解析】 線段 CD 的垂直平分線方程為y 2x ，即為 yx 2 令 y 0 ，得 x2 ，即圓心為2,0由兩點間的距離公式，得r1 3210 所以適合題意的圓的方程為 x2y210 29B【解析】設小明x 時刻到家，則 4 x5 ，小剛 y 時刻到小明家， 4.5y5.5 ，兩人若要相會，需 yx ，即小 在小明到家之后到達如 所示，由幾何概型求得P0.875 10 A【解析

11、】 n 任意偶數(shù)， A0 AnA0 A2A2 A4An 2 An，由條件可知 A2 k 2 A2 k2P2 k 1 P2 k，所以2 PPP3 P4P PA0 An1 2n 1 nn 2 2n4 2n3n 12112 1,21,21,2,3n,32二、填空 11填 33 【解析】S11a1a1111a5a711 6113322212填 5 【解析】 fx3x22ax3 ， x3 方程 3x22ax3 0 的根，所以 a 5 13填 12 【解析】 zOP OA x3 y ，畫出不等式 所表示的平面區(qū)域，平移代表直 x3y0 ，可得直 點B 3,3 目 函數(shù)取得最大 12 14填【解析】兩式相除

12、得3，所以，3 ,3tan6443cos3 于是33 ，3sin3 ，所以xcoscos6ysin4622426交點的直角坐 系坐 3 ,34415填 2 2 【解析】 由切割 定理可得PC 2PA PB ， PD 2PA PB ，所以 PC 2PD 2 ，即 PCPD2 2cm 三、解答 16 ( 本小 分12分 )【解析】 (1) 因 ，所以f x2 cosx12f 72 cos7122 cos 22 cos32 4分121232(2) 因 3 ，所以94cos5,0sin1cos212255 6分所以4324，2cos297 sin 2 2sin cos 2cos21 215525252

13、5 8分所以f 22 cos 23122 cos2342 cos2cossin 2 sin27224231 12分2522225442517 ( 本小 分12分 )【解析】 (1)因 各小 的 率之和 1，第一、三、四、五 的 率分 是 0.30 ，0.15 ，0.10 ， 0.05 ，所以第二小 的 率 10.300.150.10 0.050.40 2分因 第二小 的 率 0.40 ，所以落在 59.5 69.5 的第二小 的小 方形的高頻率0.4，由此可 全 率分布直方 ( 陰影部分 ) 和 率分布折 如 所組距0.0410示 4分(2)因 第二小 的 數(shù) 40 ， 率 0.40 ，所以

14、40，得 x100 ( 人 ) x0.40 6分所以第三 抽取的人數(shù) 201000.153( 人 ) ，第四 抽取的人數(shù) 10020( 人 ) 8分1000.102100(3) 用 a1、 a2、 a3表示第三 抽取的三位學生，第四 抽取的二位學生用b1、 b2表示， 所有的基本事件 ：a1 , a2、 a1 ,a3， a1 ,b1、 a1 ,b2、 a2 ,a3、 a2 ,b1、 a2 ,b2、a3 ,b1、 a3 ,b2、 b1 ,b2，共 10 種 10分其中 足條件的基本事件 ：a1 ,b1、 a1 ,b2、 a2 ,b1、 a2 ,b2、 a3 ,b1、 a3 ,b2，共 6 種 1

15、1分所以所求概率 P63 12分10518 ( 本小 分14分 )【 明】 (1)如 ， AB的中點 F ， EF 、 FO1因為 O 、 O1分 是上下底面ABCD 和 A1 B1C1 D1的 角 的交點，E是 BC 的中點，所以EF AC ，且1 1分EF =AC2而1，又因 AC A1 C1，且 AC AC11，所以C1O1 =AC1 12EF C1 O1，且 EFC1O1，所以四 形 EFO1C1是平行四 形，所以C1E FO1 3分又因 FO1平面 ABO1， C1E平面 ABO1，所以 C1 E 平面 ABO1 4分(2) 因 ABCDA1B1C1D1是 方體，且 AA1AC2 ，

16、 AB2 ，所以BCAC 2AB2422 ，所以四 形ABCD 是正方形，所以 BDAC 6分連結 OO1，因 O 、O1分 是上下底面ABCD 和 A1 B1 C1 D1的 角 的交點， 所以 OO1平面 ABCD ，從而有 BDOO1 7分因 AC 、 OO1平面 ACO1，且 ACOO1O ，所以 BD平面 ACO1 8分【解析】 (3) 因 CO1CC12O1 C125， BO15 ，所以 BCO1是等腰三角形，連結EO1，EO1BC，且222 9分EOCO 2BC523 211222所以S1BC EO1323 10分BCO1221222 點 A到平面 BCO1的距離 h ， 三棱 A

17、 BCO1的體 VA BCO11S BCO1h13h 11分33h22又三棱 O1ABC 的體 VO11S ABCOO11122 22 12分ABC3323因 VA BCO1VO1ABC ，即 h2 ，所以4 ，即點 A 到平面BCO1的距離 4 23h33 14分19 ( 本小 分14分 )【解析】 (1)令 n1 ，得 S12S120 ，即 S12S1 10 1分因 S1 0 ，所以 S11，即 a11 2分(2) 由2Sn23n2n 4 Sn 2 3n2得Sn2 2Sn3n2nn 00 4分因 an 0 ， nN*，所以 Sn0 ，從而 Sn20，所以Sn13n22n 6分當 n2 ，a

18、nSn13n2n12 8分Sn 13 n 1n 13n 222當 n1 ， a11 上式也成立，所以數(shù)列an的通 公式 an3n2 9分【 明】 (3)因 bn331 ，所以bn bn 1111an 2 3n 2 2 nn n 1 n n 1 11分所以1 11 11 1b1 b2b2 b3b3 b4bn 1bnbn bn 12233411111 14分11n1 nnnn 1120 ( 本小 分14分 )【解析】 (1)依 意得， 點 Px, y 到定直 l ： x1的距離與到定點F 1,0 的距離相等，所以 點P x, y 的 跡是以直 l ： x1 準 ，定點 F1,0 焦點的拋物 2分因

19、 p，所以 2 p4 ，所以 點 P 的 跡方程 y 24x 4分12【 明】 (2)當 a1 ， Mx1, y1、 N x2 , y2的直 方程 yk x 1 5分由 yk x 1 ，可得 ky24 y 4k 0，于是4k，即 y1 y2 定 y2y1 y2k44x 8分【解析】 (3) 由(1)和條件得 y14 ，所以 A 、 B的坐 分 A 4,4、 B 0,4 ，所以圓 C1的 心是點 C 0,2，半徑 2 9分當 a4 ，直 AD 的方程 x4 ，此 直 AD 與 C1相離 10分當 a4 ，直 AD 的方程 4，即4x 4a y 4a0 ， 心 C 0,2y4 ax a到直 AD 的距離2a8令 d2 ，解得 a1；令 d2 ，解得 a 1 ；令 d 2 ，d216a4解得 a1 12分 上所述， 當 a1 ，直 AD 與 C1相離；當 a1 ，直 AD 與 C1相切；當 a1 ，直 AD 與 C1相交 14分21 ( 本小 分14分 )【解析】 (1)函數(shù) fxx22a ln x ( aR 且 a0