平方差公式教學(xué)案例分析

1、平方差公式教學(xué)案例分析一 、設(shè)計(jì)理念新課程的一個基本理念就是：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展這就需要我們在教學(xué)的過程中，利用教師的智慧，對教材和資源進(jìn)行重新整合，并根據(jù)具體的學(xué)生的環(huán)境和接受能力，對課堂教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理設(shè)計(jì)，從而提高課堂教學(xué)的效率把握知識核心是教師課堂設(shè)計(jì)的前提，只有教師本身對這節(jié)課的知識點(diǎn)吃得透，把握得準(zhǔn)，然后在圍繞著這個中心進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)才能為學(xué)生創(chuàng)設(shè)更加真實(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境，也能激發(fā)學(xué)生積極參與的欲望，從而引起學(xué)生的興趣和共鳴二 教材分析（一）教學(xué)內(nèi)容本節(jié)屬于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的內(nèi)容，是學(xué)生在已經(jīng)學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘

2、法的基礎(chǔ)上，再一次應(yīng)用乘法公式對多項(xiàng)式乘法進(jìn)行簡便運(yùn)算的知識平方差公式不僅是對乘法公式的進(jìn)一步補(bǔ)充，它還為后面因式分解學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)技能目標(biāo)：掌握平方差公式，會運(yùn)用平方差公式進(jìn)行多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算及簡便運(yùn)算（二）、 核心知識表述平方差公式：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積等于這兩數(shù)的平方差(三)、 核心解析平方差公式是基于多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則而提出的特殊情況下的簡便計(jì)算的法則，它是一種特殊的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式（四）、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) （1）重點(diǎn)：平方差公式（2）難點(diǎn)：構(gòu)造圖形來解釋平方差公式，需要較強(qiáng)的綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力（五）、 學(xué)情分析學(xué)生剛過多項(xiàng)式的乘法，學(xué)生在解題時由于思維定勢，往往還是用多項(xiàng)式乘法的方

3、法來作這節(jié)課的題目，因此在教學(xué)中要讓學(xué)生體驗(yàn)應(yīng)用平方差公式計(jì)算多項(xiàng)式乘法的簡便性三、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）、 創(chuàng)設(shè)問題情境引入新課猜一猜：（1）在紙上寫出你最喜歡的一個幸運(yùn)數(shù)字（10以內(nèi)）；（2）計(jì)算100與這個數(shù)的和，乘以100與這個數(shù)的差的積（屏幕打出，給學(xué)生半分鐘思考、計(jì)算的時間）師：同學(xué)們算得很投入，只要告訴我，你運(yùn)算的結(jié)果，我就能馬上說出你的幸運(yùn)數(shù)字是幾，信嗎？并請兩位學(xué)生來試驗(yàn)師：等我們學(xué)了今天的知識以后，大家也 能像老師一樣，馬上猜出其他同學(xué)的幸運(yùn)數(shù)字了設(shè)計(jì)意圖通過游戲使學(xué)生產(chǎn)生對新知識的強(qiáng)烈求知欲在游戲的過程中，學(xué)生的思維是活躍的，注意力是高度集中狀態(tài)，在游戲中能讓學(xué)生獲得知識，發(fā)展能

4、力，提高學(xué)習(xí)興趣學(xué)生的興趣和情境一下子被調(diào)動起來了，有45名已經(jīng)預(yù)習(xí)過新課的學(xué)生，馬上能夠摸到題目中的門道，迅速的報(bào)出答案新課講解（二）、新課講解 引出并推導(dǎo)公式還記得多項(xiàng)式乘法嗎？下面讓我們運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法來進(jìn)行計(jì)算：（如果有同類項(xiàng)進(jìn)行合并） 通過觀察思考相乘的兩個多項(xiàng)式之間有什么特點(diǎn)？它們相乘的結(jié)果有什么規(guī)律？（學(xué)生歸納，老師補(bǔ)充）期望得到結(jié)論：1）多項(xiàng)式均為兩項(xiàng)；2）這兩項(xiàng)有一項(xiàng)相同，有一項(xiàng)互為相反數(shù)；3）它們乘積的結(jié)果都是這兩個數(shù)的平方差歸納平方差公式： （板書課題：5.4乘法公式平方差公式）師：請大家在自己的紙上利用多項(xiàng)式乘法的法則，推導(dǎo)一下這個公式（學(xué)生到黑板上板演推導(dǎo)過程）下面老

5、師這里有4塊紙片，下面按圖拼成兩個不同的圖形，我們分別計(jì)算出它們的面積：（指導(dǎo)學(xué)生通過拼圖的方法推導(dǎo)平方差公式）由左右兩個圖形面積相等，得 通過具體的圖形驗(yàn)證，讓學(xué)生了解和體驗(yàn)公式的幾何意義設(shè)計(jì)意圖通過具體問題，歸納總結(jié)出平方差公式平方差公式是一種特殊的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，它可以用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的方法來證明讓學(xué)生通過推導(dǎo)公式來體驗(yàn)：原來兩個二項(xiàng)式相乘他們的積有四項(xiàng)，而現(xiàn)在這兩個特殊的二項(xiàng)式相乘，他們的積經(jīng)過整理以后只有兩項(xiàng)，這樣大大降低了計(jì)算的量通過拼圖的方式和學(xué)生一起探索平方差公式的由來，讓學(xué)生對公式進(jìn)行了解同時給學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合的思想1平方差公式是由多項(xiàng)式乘法直接計(jì)算得出的： 與一般式多項(xiàng)

6、式的乘法一樣，積的項(xiàng)數(shù)是多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積，即四項(xiàng)合并同類項(xiàng)后僅得兩項(xiàng)2這一公式的結(jié)構(gòu)特征：左邊是兩個二項(xiàng)式相乘，這兩個二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，即相同項(xiàng)的平方與相反項(xiàng)的平方差公式中的字母可以表示具體的數(shù)（正數(shù)和負(fù)數(shù)），也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式等代數(shù)式只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可運(yùn)用這一公式例如在運(yùn)用公式的過程中，有時需要變形，例如，變形為，兩個數(shù)就可以看清楚了3關(guān)于平方差公式的特征，在學(xué)習(xí)時應(yīng)注意：（1）左邊是兩個二項(xiàng)式相乘，并且這兩上二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)（2）右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差（相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方）（3）公式中的和可

7、以是具體數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式（4）對于形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘，就可以運(yùn)用上述公式來計(jì)算（三）、教法建議1可以將“兩個二項(xiàng)式相乘，積可能有幾項(xiàng)”的問題作為課題引入，目的是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生能在兩個二項(xiàng)式相乘其積可能為四項(xiàng)、三項(xiàng)、兩項(xiàng)中找出積為兩項(xiàng)的特征，上升到一定的理論認(rèn)識，加以實(shí)踐檢驗(yàn)，從而培養(yǎng)學(xué)生觀察、概括的能力2通過學(xué)生自己的試算、觀察、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納，得出為什么有的兩個二項(xiàng)式相乘，其積為兩項(xiàng)，因?yàn)槠渲袃身?xiàng)是兩個數(shù)的平方差，而另兩項(xiàng)恰是互為相反數(shù)，合并同類項(xiàng)時為零，即(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2這樣得出平方差公式，并且把這類乘法的實(shí)質(zhì)講清楚了3

8、通過例題、練習(xí)與小結(jié)，教會學(xué)生如何正確應(yīng)用平方差公式這里特別要求學(xué)生注意公式的結(jié)構(gòu)，教師可以用對應(yīng)思想來加強(qiáng)對公式結(jié)構(gòu)的理解和訓(xùn)練，如計(jì)算(1+2x)(1-2x)，(1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2 (a + b)(a - b)=a2- b2這樣，學(xué)生就能正確應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算，不容易出差錯另外，在計(jì)算中不一定用一種模式刻板地應(yīng)用公式，可以結(jié)合以前學(xué)過的運(yùn)算法則，經(jīng)過變形后靈活應(yīng)用公式，培養(yǎng)學(xué)生解題的靈活性=1-4x2教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目條件是否符合平方差公式特征，并讓學(xué)生說出本題中a，b分別表示什么例2 計(jì)算(b2+2a3)(2a3-b2)解：(b2+2a3)(2a3-b2

9、)(2a3+b2)(2a3-b2)(2a3)2-(b2)24a6-b4教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只需將(b2+2a3)中的兩項(xiàng)交換位置，就可用平方差公式進(jìn)行計(jì)算課堂練習(xí)運(yùn)用平方差公式計(jì)算：(l)(x+a)(x-a)；(2)(m+n)(m-n)；(3)(a+3b)(a-3b)；(4)(1-5y)(l+5y)例3 計(jì)算(-4a-1)(-4a+1)讓學(xué)生在練習(xí)本上計(jì)算，教師巡視學(xué)生解題情況，讓采用不同解法的兩個學(xué)生進(jìn)行板演解法1：(-4a-1)(-4a+1)=-(4a+l)-(4a-l)=(4a+1)(4a-l)=(4a)2-l2=16a2-1解法2：(-4a-l)(-4a+l)=(-4a)2-l=16a2

10、-1根據(jù)學(xué)生板演，教師指出兩種解法都很正確，解法1先用了提出負(fù)號的辦法，使兩乘式首項(xiàng)都變成正的，而后看出兩數(shù)的和與這兩數(shù)的差相乘的形式，應(yīng)用平方差公式，寫出結(jié)果解法2把-4a看成一個數(shù)，把1看成另一個數(shù)，直接寫出(-4a)2-l2后得出結(jié)果采用解法2的同學(xué)比較注意平方差公式的特征，能看到問題的本質(zhì)，運(yùn)算簡捷因此，我們在計(jì)算中，先要分析題目的數(shù)字特征，然后正確應(yīng)用平方差公式，就能比較簡捷地得到答案課堂練習(xí)1口答下列各題：(l)(-a+b)(a+b)；(2)(a-b)(b+a)；(3)(-a-b)(-a+b)；(4)(a-b)(-a-b)2計(jì)算下列各題：(1)(4x-5y)(4x+5y)；(2)(-2x2+5)(-2x2-5)；教師巡視學(xué)生練習(xí)情況，請不同解法的學(xué)生，或發(fā)生錯誤的學(xué)生板演，教師和學(xué)生一起分析解法三、小結(jié)1什么是平方差公式？2運(yùn)用公式要注意什么？(1)要符合公式特征才能運(yùn)用平方差公式；(2)有些式子表面不能應(yīng)用公式，但實(shí)質(zhì)能應(yīng)用公式，要注意變形四、作業(yè)1運(yùn)用平方差公式計(jì)算：(l)(x+2