MATLAB中FFT結(jié)果的物理意義

1、FFT結(jié)果的物理意義最近正在做一個(gè)音頻處理方面的項(xiàng)目，以前沒有學(xué)過fft，只是知道有這么個(gè)東西，最近這一用才發(fā)現(xiàn)原來(lái)欠缺這么多，最基本的，連fft的輸入和輸出各自代表什么都不知道了，終于在網(wǎng)上查到這樣的一點(diǎn)資料，得好好保存了，也歡迎大家分享。FFT是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個(gè)信號(hào)變換到頻域。有些信號(hào)在時(shí)域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。這就是很多信號(hào)分析采用FFT變換的原因。另外，F(xiàn)FT可以將一個(gè)信號(hào)的頻譜提取出來(lái)，這在頻譜分析方面也是經(jīng)常用的。雖然很多人都知道FFT是什么，可以用來(lái)做什么，怎么去做，但是卻不知道FFT之后的結(jié)果是什意思、如何決定要

2、使用多少點(diǎn)來(lái)做FFT?，F(xiàn)在圈圈就根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來(lái)說(shuō)說(shuō)FFT結(jié)果的具體物理意義。一個(gè)模擬信號(hào)，經(jīng)過ADC采樣之后，就變成了數(shù)字信號(hào)。采樣定理告訴我們，采樣頻率要大于信號(hào)頻率的兩倍，這些我就不在此羅嗦了。采樣得到的數(shù)字信號(hào)，就可以做FFT變換了。N個(gè)采樣點(diǎn)，經(jīng)過FFT之后，就可以得到N個(gè)點(diǎn)的FFT結(jié)果。為了方便進(jìn)行FFT運(yùn)算，通常N取2的整數(shù)次方。 假設(shè)采樣頻率為Fs，信號(hào)頻率F，采樣點(diǎn)數(shù)為N。那么FFT之后結(jié)果就是一個(gè)為N點(diǎn)的復(fù)數(shù)。每一個(gè)點(diǎn)就對(duì)應(yīng)著一個(gè)頻率點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號(hào)的幅度有什么關(guān)系呢？假設(shè)原始信號(hào)的峰值為A，那么FFT的結(jié)果的每個(gè)點(diǎn)（除了第一個(gè)點(diǎn)直流

3、分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一個(gè)點(diǎn)就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個(gè)點(diǎn)的相位呢，就是在該頻率下的信號(hào)的相位。第一個(gè)點(diǎn)表示直流分量（即0Hz），而最后一個(gè)點(diǎn)N的再下一個(gè)點(diǎn)（實(shí)際上這個(gè)點(diǎn)是不存在的，這里是假設(shè)的第N+1個(gè)點(diǎn)，也可以看做是將第一個(gè)點(diǎn)分做兩半分，另一半移到最后）則表示采樣頻率Fs，這中間被N-1個(gè)點(diǎn)平均分成N等份，每個(gè)點(diǎn)的頻率依次增加。例如某點(diǎn)n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N（ps：橫坐標(biāo)第n個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率值Fn的計(jì)算公式。整個(gè)橫坐標(biāo)代表了采樣頻率Fs，被分為N點(diǎn)。故其頻率分辨率為Fs/N）。由上面的公式可以看出，F(xiàn)n所能分辨到頻率為為Fs/N，如果

4、采樣頻率Fs為1024Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為1024點(diǎn)，則可以分辨到1Hz。1024Hz的采樣率采樣1024點(diǎn)，剛好是1秒，也就是說(shuō)，采樣1秒時(shí)間的信號(hào)并做FFT，則結(jié)果可以分析到1Hz，如果采樣2秒時(shí)間的信號(hào)并做FFT，則結(jié)果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力，則必須增加采樣點(diǎn)數(shù)，也即采樣時(shí)間。頻率分辨率和采樣時(shí)間是倒數(shù)關(guān)系。 假設(shè)FFT之后某點(diǎn)n用復(fù)數(shù)a+bi表示，那么這個(gè)復(fù)數(shù)的模就是An=根號(hào)a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根據(jù)以上的結(jié)果，就可以計(jì)算出n點(diǎn)（n1，且n=N/2）對(duì)應(yīng)的信號(hào)的表達(dá)式為：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N

5、*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對(duì)于n=1點(diǎn)的信號(hào)，是直流分量，幅度即為A1/N。由于FFT結(jié)果的對(duì)稱性，通常我們只使用前半部分的結(jié)果，即小于采樣頻率一半的結(jié)果。 好了，說(shuō)了半天，看著公式也暈，下面圈圈以一個(gè)實(shí)際的信號(hào)來(lái)做說(shuō)明。假設(shè)我們有一個(gè)信號(hào)，它含有2V的直流分量，頻率為50Hz、相位為-30度、幅度為3V的交流信號(hào)，以及一個(gè)頻率為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流信號(hào)。用數(shù)學(xué)表達(dá)式就是如下：S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)式中cos參數(shù)為弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。我們以

6、256Hz的采樣率對(duì)這個(gè)信號(hào)進(jìn)行采樣，總共采樣256點(diǎn)。按照我們上面的分析，F(xiàn)n=(n-1)*Fs/N，我們可以知道，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的間距就是1Hz，第n個(gè)點(diǎn)的頻率就是n-1。我們的信號(hào)有3個(gè)頻率：0Hz、50Hz、75Hz，應(yīng)該分別在第1個(gè)點(diǎn)、第51個(gè)點(diǎn)、第76個(gè)點(diǎn)上出現(xiàn)峰值，其它各點(diǎn)應(yīng)該接近0。實(shí)際情況如何呢？我們來(lái)看看FFT的結(jié)果的模值如圖所示。 圖1 FFT結(jié)果 從圖中我們可以看到，在第1點(diǎn)、第51點(diǎn)、和第76點(diǎn)附近有比較大的值。我們分別將這三個(gè)點(diǎn)附近的數(shù)據(jù)拿上來(lái)細(xì)看：（ps：fft(y)后workspace中存儲(chǔ)的數(shù)值即為復(fù)數(shù)，不要認(rèn)錯(cuò)哦?。?點(diǎn)： 512+0i2點(diǎn)： -2.6195E

7、-14 - 1.4162E-13i3點(diǎn)： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i50點(diǎn)：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i51點(diǎn)：332.55 - 192i52點(diǎn)：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i75點(diǎn)：-2.2199E-13 -1.0076E-12i76點(diǎn)：3.4315E-12 + 192i77點(diǎn)：-3.0263E-14 +7.5609E-13i很明顯，1點(diǎn)、51點(diǎn)、76點(diǎn)的值都比較大，它附近的點(diǎn)值都很小，可以認(rèn)為是0，即在那些頻率點(diǎn)上的信號(hào)幅度為0。接著，我們來(lái)計(jì)算各點(diǎn)的幅度值。分別計(jì)算這三個(gè)點(diǎn)的模值，結(jié)果如下：1點(diǎn)： 51251點(diǎn)：38476

8、點(diǎn)：192182點(diǎn):192207點(diǎn)：384（ps：對(duì)fft取模后“abs（fft（y）”plot，fft縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的數(shù)值即各頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的模值）按照公式，可以計(jì)算出直流分量為：512/N=512/256=2；50Hz信號(hào)的幅度為：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信號(hào)的幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5?？梢?，從頻譜分析出來(lái)的幅度是正確的。(ps:對(duì)fft取模后“abs（fft（y）”，workspace中存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)為各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的信號(hào)幅度)然后再來(lái)計(jì)算相位信息。直流信號(hào)沒有相位可言，不用管它。先計(jì)算50Hz信號(hào)的相位，atan2(-192, 332.55

9、)=-0.5236,結(jié)果是弧度，換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計(jì)算75Hz信號(hào)的相位，atan2(192,3.4315E-12)=1.5708弧度，換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可見，相位也是對(duì)的。根據(jù)FFT結(jié)果以及上面的分析計(jì)算，我們就可以寫出信號(hào)的表達(dá)式了，它就是我們開始提供的信號(hào)?？偨Y(jié)：假設(shè)采樣頻率為Fs，采樣點(diǎn)數(shù)為N，做FFT之后，某一點(diǎn)n（n從1開始）表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N；該點(diǎn)的模值除以N/2就是對(duì)應(yīng)該頻率下的信號(hào)的幅度（對(duì)于直流信號(hào)是除以N）；該點(diǎn)的相位即是對(duì)應(yīng)該頻率下的信號(hào)的相位。相位的計(jì)算可用

10、函數(shù)atan2(b,a)計(jì)算。atan2(b,a)是求坐標(biāo)為(a,b)點(diǎn)的角度值，范圍從-pi到pi。要精確到xHz，則需要采樣長(zhǎng)度為1/x秒的信號(hào)，并做FFT。（即采樣頻率Fs表示1秒鐘采樣次數(shù)，這樣采樣周期為Tm=1/Fs即采樣一次的時(shí)間長(zhǎng)度。而采樣點(diǎn)數(shù)N表示將Fs分割為N段，得頻率分辨率為Fs/N。）要提高頻率分辨率，就需要增加采樣點(diǎn)數(shù)，這在一些實(shí)際的應(yīng)用中是不現(xiàn)實(shí)的，需要在較短的時(shí)間內(nèi)完成分析。解決這個(gè)問題的方法有頻率細(xì)分法，比較簡(jiǎn)單的方法是采樣比較短時(shí)間的信號(hào)，然后在后面補(bǔ)充一定數(shù)量的0，使其長(zhǎng)度達(dá)到需要的點(diǎn)數(shù)，再做FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。具體的頻率細(xì)分法可參考相關(guān)

11、文獻(xiàn)。(ps:圖像中的小圈圈是用plot（x，y，o-）畫出的)附錄：本測(cè)試數(shù)據(jù)使用的matlab程序close all; %先關(guān)閉所有圖片Adc=2; %直流分量幅度A1=3; %頻率F1信號(hào)的幅度A2=1.5; %頻率F2信號(hào)的幅度F1=50; %信號(hào)1頻率(Hz)F2=75; %信號(hào)2頻率(Hz)Fs=256; %采樣頻率(Hz)P1=-30; %信號(hào)1相位(度)P2=90; %信號(hào)相位(度)N=256; %采樣點(diǎn)數(shù)t=0:1/Fs:N/Fs; %采樣時(shí)刻%信號(hào)S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);%顯

12、示原始信號(hào)plot(S);title(原始信號(hào));figure;Y = fft(S,N); %做FFT變換Ayy = (abs(Y); %取模plot(Ayy(1:N); %顯示原始的FFT模值結(jié)果title(FFT 模值);figure;Ayy=Ayy/(N/2); %換算成實(shí)際的幅度Ayy(1)=Ayy(1)/2;F=(1:N-1)*Fs/N; %換算成實(shí)際的頻率值plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2); %顯示換算后的FFT模值結(jié)果title(幅度-頻率曲線圖);figure;Pyy=1:N/2;for i=1:N/2Pyy(i)=phase(Y(i); %計(jì)算相位Pyy(i)

13、=Pyy(i)*180/pi; %換算為角度end;plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2); %顯示相位圖title(相位-頻率曲線圖);傅立葉變換的物理意義（轉(zhuǎn)）1、為什么要進(jìn)行傅里葉變換，其物理意義是什么？傅立葉變換是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào)，都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無(wú)限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測(cè)量到的原始信號(hào)，以累加方式來(lái)計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻率、振幅和相位。和傅立葉變換算法對(duì)應(yīng)的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說(shuō)也是一種累加處理

14、，這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號(hào)轉(zhuǎn)換成一個(gè)信號(hào)。因此，可以說(shuō)，傅立葉變換將原來(lái)難以處理的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號(hào)（信號(hào)的頻譜），可以利用一些工具對(duì)這些頻域信號(hào)進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號(hào)。從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。任意的函數(shù)通過一定的分解，都能夠表示為正弦

15、函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)類：1. 傅立葉變換是線性算子,若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù),它還是酉算子;2. 傅立葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;3. 正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算,從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段;5. 離散形式的傅立葉的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個(gè)不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲取;. 著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以化復(fù)變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出(其算法稱為快速傅立葉變換算法(

16、FFT)。正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。2、圖像傅立葉變換的物理意義圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值很低；而對(duì)于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值較高。傅立葉變換在實(shí)際中有非常明顯的物理意義，設(shè)f是一個(gè)能量有限的模擬信號(hào)，則其傅立葉變換就表示f的譜。從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅立葉變換是將一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來(lái)處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)

17、換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。換句話說(shuō)，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù)傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對(duì)在連續(xù)空間（現(xiàn)實(shí)空間）上的采樣得到一系列點(diǎn)的集合，我們習(xí)慣用一個(gè)二維矩陣表示空間上各點(diǎn)，則圖像可由z=f(x,y)來(lái)表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個(gè)維度上的關(guān)系就由梯度來(lái)表示，這樣我們可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。為什么要提梯度？因?yàn)閷?shí)際上對(duì)圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當(dāng)然頻譜圖上的各點(diǎn)與圖像上各點(diǎn)并不

18、存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點(diǎn)，實(shí)際上圖像上某一點(diǎn)與鄰域點(diǎn)差異的強(qiáng)弱，即梯度的大小，也即該點(diǎn)的頻率的大?。梢赃@么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點(diǎn)，高頻部分相反）。一般來(lái)講，梯度大則該點(diǎn)的亮度強(qiáng)，否則該點(diǎn)亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗的點(diǎn)數(shù)更多，那么實(shí)際圖像是比較柔和的（因?yàn)楦鼽c(diǎn)與鄰域差異都不大，梯度相對(duì)較?。?，反之，如果頻譜圖中亮的點(diǎn)數(shù)多，那么實(shí)際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。對(duì)頻譜移頻到原點(diǎn)以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點(diǎn)為圓心，對(duì)

19、稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個(gè)好處，它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號(hào)，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到原點(diǎn)的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點(diǎn)為中心，對(duì)稱分布的亮點(diǎn)集合，這個(gè)集合就是干擾噪音產(chǎn)生的，這時(shí)可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾另外我還想說(shuō)明以下幾點(diǎn)：1、圖像經(jīng)過二維傅立葉變換后，其變換系數(shù)矩陣表明：若變換矩陣Fn原點(diǎn)設(shè)在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣的中心附近(圖中陰影區(qū))。若所用的二維傅立葉變換矩陣Fn的原點(diǎn)設(shè)在左上角，那么圖像信號(hào)能量將集中在系數(shù)矩陣的四個(gè)角上。這是由二維傅立葉變換本身性質(zhì)決定的。同時(shí)也表

20、明一股圖像能量集中低頻區(qū)域。2 、變換之后的圖像在原點(diǎn)平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中間部分是低頻，最亮，亮度大說(shuō)明低頻的能量大（幅角比較大） MATLAB中FFT的使用方法說(shuō)明：以下資源來(lái)源于數(shù)字信號(hào)處理的MATLAB實(shí)現(xiàn)萬(wàn)永革主編一.調(diào)用方法X=FFT(x)；X=FFT(x，N)；x=IFFT(X);x=IFFT(X,N)用MATLAB進(jìn)行譜分析時(shí)注意：（1）函數(shù)FFT返回值的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性。例：N=8;n=0:N-1;xn=4 3 2 6 7 8 9 0;Xk=fft(xn)Xk =39.0000 -10.7782 + 6.2929i 0 - 5.0000i 4.7782 - 7

21、.7071i 5.0000 4.7782 + 7.7071i 0 + 5.0000i -10.7782 - 6.2929iXk與xn的維數(shù)相同，共有8個(gè)元素。Xk的第一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)于直流分量，即頻率值為0。（2）做FFT分析時(shí)，幅值大小與FFT選擇的點(diǎn)數(shù)有關(guān)，但不影響分析結(jié)果。在IFFT時(shí)已經(jīng)做了處理。要得到真實(shí)的振幅值的大小，只要將得到的變換后結(jié)果乘以2除以N即可。二.FFT應(yīng)用舉例例1：x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t)。采樣頻率fs=100Hz，分別繪制N=128、1024點(diǎn)幅頻圖。clf;fs=100;N=128; %采樣頻率和數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)n=0:N-1

22、;t=n/fs; %時(shí)間序列x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信號(hào)y=fft(x,N); %對(duì)信號(hào)進(jìn)行快速Fourier變換mag=abs(y); %求得Fourier變換后的振幅f=n*fs/N; %頻率序列subplot(2,2,1),plot(f,mag); %繪出隨頻率變化的振幅xlabel(頻率/Hz);ylabel(振幅);title(N=128);grid on;subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2); %繪出Nyquist頻率之前隨頻率變化的振幅xlabel(頻率/Hz);ylabel(振幅)

23、;title(N=128);grid on;%對(duì)信號(hào)采樣數(shù)據(jù)為1024點(diǎn)的處理fs=100;N=1024;n=0:N-1;t=n/fs;x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信號(hào)y=fft(x,N); %對(duì)信號(hào)進(jìn)行快速Fourier變換mag=abs(y); %求取Fourier變換的振幅f=n*fs/N;subplot(2,2,3),plot(f,mag); %繪出隨頻率變化的振幅xlabel(頻率/Hz);ylabel(振幅);title(N=1024);grid on;subplot(2,2,4)plot(f(1:N/2),mag(1:N/2);

24、 %繪出Nyquist頻率之前隨頻率變化的振幅xlabel(頻率/Hz);ylabel(振幅);title(N=1024);grid on;運(yùn)行結(jié)果：fs=100Hz，Nyquist頻率為fs/2=50Hz。整個(gè)頻譜圖是以Nyquist頻率為對(duì)稱軸的。并且可以明顯識(shí)別出信號(hào)中含有兩種頻率成分：15Hz和40Hz。由此可以知道FFT變換數(shù)據(jù)的對(duì)稱性。因此用FFT對(duì)信號(hào)做譜分析，只需考察0Nyquist頻率范圍內(nèi)的福頻特性。若沒有給出采樣頻率和采樣間隔，則分析通常對(duì)歸一化頻率01進(jìn)行。另外，振幅的大小與所用采樣點(diǎn)數(shù)有關(guān)，采用128點(diǎn)和1024點(diǎn)的相同頻率的振幅是有不同的表現(xiàn)值，但在同一幅圖中，40

25、Hz與15Hz振動(dòng)幅值之比均為4：1，與真實(shí)振幅0.5：2是一致的。為了與真實(shí)振幅對(duì)應(yīng)，需要將變換后結(jié)果乘以2除以N。例2：x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t),fs=100Hz,繪制：（1）數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)N=32，F(xiàn)FT所用的采樣點(diǎn)數(shù)NFFT=32；（2）N=32，NFFT=128；（3）N=136，NFFT=128；（4）N=136，NFFT=512。clf;fs=100; %采樣頻率Ndata=32; %數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N=32; %FFT的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度n=0:Ndata-1;t=n/fs; %數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2

26、*pi*40*t); %時(shí)間域信號(hào)y=fft(x,N); %信號(hào)的Fourier變換mag=abs(y); %求取振幅f=(0:N-1)*fs/N; %真實(shí)頻率subplot(2,2,1),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %繪出Nyquist頻率之前的振幅xlabel(頻率/Hz);ylabel(振幅);title(Ndata=32 Nfft=32);grid on;Ndata=32; %數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)N=128; %FFT采用的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度n=0:Ndata-1;t=n/fs; %時(shí)間序列x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);y=ff

27、t(x,N);mag=abs(y);f=(0:N-1)*fs/N; %真實(shí)頻率subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %繪出Nyquist頻率之前的振幅xlabel(頻率/Hz);ylabel(振幅);title(Ndata=32 Nfft=128);grid on;Ndata=136; %數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)N=128; %FFT采用的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n=0:Ndata-1;t=n/fs; %時(shí)間序列x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);y=fft(x,N);mag=abs(y);f=(0:N-1)*fs/N; %真實(shí)頻率subplot(2,2,3),pl