怎樣推導(dǎo)壓桿的臨界力和臨界應(yīng)力公式

1、06、基本知識(shí) 怎樣推導(dǎo)壓桿的臨界力和臨界應(yīng)力公式（供參考）同學(xué)們學(xué)習(xí)下面內(nèi)容后，一定要向老師回信（），說(shuō)出你對(duì)本資料的看法（收獲、不懂的地方、資料有錯(cuò)的地方），以便考核你的平時(shí)成績(jī)和改進(jìn)我的工作。回信請(qǐng)注明班級(jí)和學(xué)號(hào)的后面三位數(shù)。1* 問(wèn)題的提出及其對(duì)策11.1 問(wèn)題的提出及其對(duì)策11.2 壓桿穩(wěn)定分析概述與強(qiáng)度、剛度分析對(duì)比22壓桿臨界壓力Fcr的計(jì)算公式32.1 壓桿穩(wěn)定的力學(xué)模型彎曲平衡32.2梁的平衡理論梁的撓曲微分方程42.3 按梁的平衡理論分析兩端鉸支的壓桿臨界壓力62.4 按梁的平衡理論分析一端固定一端自由的壓桿臨界壓力82.5 按梁的平衡理論分析一端固定一端鉸支的

2、壓桿臨界壓力102.6 按梁的平衡理論分析兩端固定的壓桿臨界壓力142.7 將四種理想壓桿模型的臨界力公式及其推導(dǎo)分析圖示的匯總181 * 問(wèn)題的提出及其對(duì)策1.1 問(wèn)題的提出及其對(duì)策試計(jì)算長(zhǎng)度為400mm，寬度為10mm，厚度為1mm的鋼鋸條，在一端固定、一端鉸支的情況下，許用的軸向壓力。材料的許用應(yīng)力為160MPa。解：1、按軸向拉壓強(qiáng)度計(jì)計(jì)算2、按壓桿穩(wěn)定臨界力公式計(jì)算分析：1、按軸向拉壓桿的強(qiáng)度條件計(jì)算結(jié)果，該鋼板尺可以安全承壓3.2kN。這是一個(gè)什么概念呢？一袋水泥重50kg，對(duì)應(yīng)重力，即該鋼板尺可以安全承壓6.4袋水泥，這顯然是不可能的。2、按壓桿穩(wěn)定臨界力計(jì)算公式的結(jié)果，該鋼板尺

3、在承壓12.28N時(shí)，就可能變彎了。這又是一個(gè)什么概念呢？一小袋食鹽重0.5kg，對(duì)應(yīng)重力，即該鋼板尺當(dāng)承壓兩袋半食鹽時(shí)，就可能由直線平衡狀態(tài)，轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鉅顟B(tài)了。這與實(shí)際情況差不多。結(jié)論：對(duì)于鋼板尺這樣的細(xì)長(zhǎng)桿件，在承受壓力時(shí)，一定不要用軸向拉壓強(qiáng)度條件來(lái)判斷它的安全承載力，這會(huì)出大問(wèn)題的。需要按彎曲平衡建立力學(xué)模型，按梁的理論來(lái)分析。1.2 壓桿穩(wěn)定分析概述與強(qiáng)度、剛度分析對(duì)比在材料力學(xué)里，分析桿件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性是十分重要的課題，它們是材料力學(xué)的核心內(nèi)容。壓桿的穩(wěn)定性分析，與強(qiáng)度和剛度的分析的側(cè)重面不同。在強(qiáng)度和剛度分析中，重點(diǎn)在推導(dǎo)工作量的計(jì)算公式，如：軸向拉壓桿的拉壓應(yīng)力計(jì)算公

4、式，連接的擠壓應(yīng)力和剪切應(yīng)力計(jì)算公式，扭轉(zhuǎn)的剪應(yīng)力計(jì)算公式，梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力計(jì)算公式；軸向拉壓桿的伸長(zhǎng)量計(jì)算公式，扭轉(zhuǎn)的扭轉(zhuǎn)角計(jì)算公式，梁的撓度和轉(zhuǎn)角計(jì)算公式等，它們都是桿件的實(shí)際或預(yù)計(jì)的工作量。而在強(qiáng)度條件和剛度條件表達(dá)式不等號(hào)大于端的許用值（用方括號(hào)括起來(lái)的量），如、和、等，其中，兩種許用應(yīng)力是由材料試驗(yàn)獲得，并由各種規(guī)范所確認(rèn)；各種許用變形值的大小，則與結(jié)構(gòu)的功能（性質(zhì)、用途等）分不開(kāi)。然而，在穩(wěn)定性分析中，重點(diǎn)是推導(dǎo)位于穩(wěn)定表達(dá)式中，位于不等號(hào)大于端的許用值中的壓桿臨界應(yīng)力。而壓桿的工作應(yīng)力的求法與軸向拉壓桿的完全一樣，即仍舊用公式，因?yàn)閴簵U在失穩(wěn)之前是軸向受壓桿。而壓桿的許用臨界應(yīng)

5、力定義為，式中的壓桿臨界應(yīng)力與材料無(wú)關(guān)，它是實(shí)際的、具體的“壓桿裝置”的函數(shù)，對(duì)每一根壓桿都要單獨(dú)計(jì)算才行。因此，壓桿穩(wěn)定分析的重點(diǎn)是針對(duì)各種各樣的“壓桿裝置”，提出幾種簡(jiǎn)化的力學(xué)計(jì)算模型，然后從理論上推導(dǎo)出它們的臨界壓力Fcr計(jì)算公式，分析計(jì)算出臨界壓力Fcr后，按軸向拉壓桿的應(yīng)力計(jì)算公式，用臨界壓力Fcr代替軸力FN，即可得到壓桿的臨界應(yīng)力計(jì)算公式。2 壓桿臨界壓力Fcr的計(jì)算公式2.1 壓桿穩(wěn)定的力學(xué)模型彎曲平衡生活和生產(chǎn)的常識(shí)告訴我們：壓桿在承受的壓力比較小時(shí)，處于直線平衡狀態(tài)；當(dāng)壓力逐漸增大到某一值時(shí)，壓桿會(huì)突然變彎，處于微彎曲的平衡狀態(tài)，稱為臨界平衡；當(dāng)壓力超過(guò)某一值時(shí)，壓桿會(huì)突然

6、變彎折斷，退出工作。使壓桿處于臨界平衡的壓力稱為臨界壓力。計(jì)算表明，臨界壓力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于按軸向拉壓桿計(jì)算得出的許用壓力。如：一根長(zhǎng)300mm，寬20mm，厚1mm的鋼板尺，設(shè)其材料的許用應(yīng)力為160Mpa，則按軸向拉壓桿強(qiáng)度公式計(jì)算，即該鋼板尺可以安全地承受3200N的壓力。然而，常識(shí)告訴我們，把鋼板尺直立于桌面上，輕輕用手指一壓它就會(huì)彎曲。這種現(xiàn)象在力學(xué)上稱為失穩(wěn)（喪失穩(wěn)定性），它可用壓桿穩(wěn)定理論予以說(shuō)明。如果將鋼板尺按力學(xué)模型：兩端鉸支的壓桿裝置，進(jìn)行壓桿穩(wěn)定計(jì)算，可得到喪失穩(wěn)定的壓力為，此值接近于鋼板尺變彎的實(shí)際值。式中的慣性矩。得到鋼板尺喪失穩(wěn)定的壓力為36.7N，僅是按強(qiáng)度計(jì)算的安全壓力

7、的1/87。差異如此之巨，我們得高度重視。以上的計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)于較長(zhǎng)的壓桿，按強(qiáng)度計(jì)算存在極大的風(fēng)險(xiǎn)。事實(shí)上，生活常識(shí)告訴我們，壓桿越長(zhǎng)越容易變彎而喪失穩(wěn)定性，因此，對(duì)于較長(zhǎng)的壓桿，按強(qiáng)度計(jì)算是違背事實(shí)的，必須另辟蹊徑，尋找壓桿穩(wěn)定分析的力學(xué)模型。究其原因，在強(qiáng)度計(jì)算中，鋼板尺處于直線平衡狀態(tài)，屬于軸向拉壓變形，應(yīng)該用桿的軸向拉壓理論來(lái)分析；而壓桿穩(wěn)定分析的研究對(duì)象是處于微彎平衡狀態(tài)，屬?gòu)澢冃?，顯然，應(yīng)該用梁的理論來(lái)分析。下面先談?wù)劻旱钠胶饫碚?，然后，分別就1、兩端鉸支、2、一端固定一端自由、3、一端固定一端鉸支、4、兩端固定，這四種壓桿力學(xué)模型進(jìn)行力學(xué)、數(shù)學(xué)分析。2.2梁的平衡理論梁的撓

8、曲微分方程圖2-2-1梁的撓曲微分方程dx梁段彎曲及撓曲線yxMMddx注1：正彎矩箭頭指向y負(fù)。按左圖得：梁的撓曲微分方程注2：正曲率曲線凸向y負(fù)。圖示為負(fù)曲率。圖2-2-1說(shuō)明梁的撓曲微分方程的來(lái)歷和相關(guān)量的正負(fù)號(hào)規(guī)定。可一目了然。分析是從梁的dx微段的曲率開(kāi)始的，其分析推導(dǎo)過(guò)程在研究梁的變形的內(nèi)容中有所表述。在下面的圖2-2-2中，四種壓桿裝置（兩端鉸支、一端固定一端自由、一端固定一端鉸支和兩端固定）的力學(xué)模型，及其三種狀態(tài)（穩(wěn)定平衡、臨界平衡和喪失穩(wěn)定）可一目了然。lFFcr4-3喪失穩(wěn)定模型4兩端固定的壓桿裝置l=0.5l微彎曲線半個(gè)正弦波為l=0.5llFFcr3-3喪失穩(wěn)定模型3

9、一端固定一端鉸支的壓桿裝置微彎曲線半個(gè)正弦波為l=0.7ll=0.7llFFcr1-3喪失穩(wěn)定模型1兩端鉸支的壓桿裝置微彎曲線半個(gè)正弦波為l=ll=l圖2-2-2 四種典型壓桿的力學(xué)模型及其三種狀態(tài)lFFcr2-3喪失穩(wěn)定模型2一端固定一端自由的壓桿裝置微彎曲線半個(gè)正弦波為l=2ll=2l圖2-2-3則是四種壓桿模型在臨界狀態(tài)下的支反力種類及其真實(shí)方向，亦可一目了然。lF=Fcr模型1兩端鉸支lF=Fcr模型3一端固定一端鉸支圖2-2-3 四種典型壓桿微彎平衡支反力及其真實(shí)方向模型4兩端固定lF=Fcr模型2一端固定一端自由lF=Fcr注1：模型1、2為靜定結(jié)構(gòu)注2：模型3、4為超靜定結(jié)構(gòu)，其

10、支反力種類由支座形式確定；方向由變形曲線確定：彎矩箭頭指向撓曲線的凹側(cè)；剪力可參考懸臂梁受集中力的情況，即剪力指向恰恰與彎矩指向相反。如下圖所示：FcrlFcrxyBAlFcrFcrxyFcrABlFcryFcrMABAxFQAFQBABxlFcrFcrMBFQAMAFQByFFQAAMA懸臂梁撓曲線與支反力方向關(guān)系上述內(nèi)容對(duì)于分析壓桿，正確設(shè)置壓桿兩端支反力的方向和轉(zhuǎn)向，導(dǎo)出臨界應(yīng)力公式十分重要，否則，壓桿兩端支反力的方向和轉(zhuǎn)向設(shè)定錯(cuò)誤，將無(wú)法導(dǎo)出正確的臨界力公式。請(qǐng)讀者好好加深理解。2.3 按梁的平衡理論分析兩端鉸支的壓桿臨界壓力為了確定長(zhǎng)l、兩端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿AB臨界力，研究圖2-3-1

11、。設(shè)作用在桿上端的壓力恰為臨界力F=Fcr，桿處于臨界平衡狀態(tài)。臨界平衡狀態(tài)有兩種形式：直桿平衡和微彎平衡 ，即臨界平衡狀態(tài)具有分叉特性，形態(tài)不唯一。在這里，不能以直線平衡為研究對(duì)象（在軸向拉壓變形里研究過(guò)，并在2.1節(jié)什么它不能夠解釋鋼板尺等壓桿突然變彎的現(xiàn)象。），而應(yīng)該以微彎平衡狀態(tài)作為力學(xué)模型，才能夠體現(xiàn)出壓桿臨界平衡的本質(zhì)特征（這與前面研究軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲都不同，那里桿處于直線平衡狀態(tài)）。2.3.1 截面彎矩表達(dá)式圖2-3-1兩端鉸支壓桿臨界力分析lFcr臨界微彎平衡yxABxyFcryyxAFcrFN=FcrM(x)x截面內(nèi)力分析x兩端鉸支壓桿裝置：下端固定鉸支端有2個(gè)約束反力（

12、FNA、FQA），上端鏈桿支座有1個(gè)約束反力（FQB），共3個(gè)約束反力未知數(shù)（FNA、FQA和FQB），而一根桿件只能夠建立三個(gè)平衡方程，求解三個(gè)未知數(shù)。故，兩端鉸支壓桿裝置是靜定結(jié)構(gòu)，支座反力完全可以用臨界力Fcr來(lái)表達(dá)。如圖2-3-1所示，由圖中x長(zhǎng)的粱段平衡，可得距原點(diǎn)為x、撓度為y的任意截面上彎矩為2.3.2 壓桿微彎平衡微分方程的建立及其通解在小變形條件下，如果桿內(nèi)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例應(yīng)力p，AB桿彎曲后的撓曲線可以用梁的彎曲變形公式來(lái)表達(dá)。在如圖2-3-1所示坐標(biāo)系下，撓曲線的近似微分方程為令 ，則式（a）可寫(xiě)為 這是一個(gè)常系數(shù)二階齊次線性微分方程，其通解是 式中，A、B是積分常數(shù)

13、，k為待定值。它們由壓桿兩端的約束情況而定。2.3.3 利用壓桿兩端邊界條件確定通解中的常數(shù)，從而導(dǎo)出壓桿臨界力Fcr對(duì)于兩端鉸支的壓桿，A端邊界條件：x=0、y=0，將其代入（d）可得B=0，于是通解（c）改寫(xiě)為 再由B端邊界條件：x=l、y=0，將其代入（e）得 若要滿足（f），只有兩種可能：A=0 或 sinkl=0。從問(wèn)題的力學(xué)意義來(lái)看，若A=0，則通解（e）成為y=0，這表示桿AB沒(méi)有彎曲，與壓桿處于微彎狀態(tài)的前提條件相矛盾。因此，只有 成立。要（g）成立，必須 ，即由此得 ，即 ，即從理論上講，n是任意的整數(shù)，故臨界力Fcr的數(shù)值有很多個(gè)。但是，從工程實(shí)際出發(fā)，有意義的是Fcr的最

14、小值，因?yàn)楹奢d一達(dá)到此值時(shí)，壓桿就會(huì)喪失穩(wěn)定性。取n的最小值時(shí)，不能取n=0，因?yàn)榇藭r(shí)的Fcr=0，成為沒(méi)有意義的結(jié)果。故有意義的最小值應(yīng)取n=1，于是得到兩端鉸支壓桿裝置的臨界力為 （2.3-2）式亦稱，歐拉公式。值得注意的是，壓桿總是在抗彎能力最弱的縱向平面內(nèi)彎曲失穩(wěn)，所以公式中的慣性矩I應(yīng)該取其橫截面的最小慣性矩Imin。從公式（2.3-2）可以得出，臨界力Fcr與桿長(zhǎng)l的平方成反比。這就是說(shuō)，桿越細(xì)長(zhǎng)，其臨界力越小，即壓桿越容易失穩(wěn)?，F(xiàn)在又得出，兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)=1。長(zhǎng)度系數(shù)是微彎曲線的半個(gè)正弦波長(zhǎng)與壓桿壓桿長(zhǎng)度之比，故在這里=1表示兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿微彎曲線的半個(gè)正弦波長(zhǎng)恰好

15、等于桿長(zhǎng)。2.3.4 將k值代入微分方程通解，從而導(dǎo)出壓桿撓曲線方程從上面的推導(dǎo)，還可以得到壓桿處于臨界狀態(tài)時(shí)，壓桿的微彎撓曲線表達(dá)式。此時(shí)，n=1，則，代入微分方程通解式，得兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)時(shí)的撓曲線為 ，即0l對(duì)應(yīng)一條半波正弦曲線。當(dāng)x=l/2時(shí)，y=A，常數(shù)A是半波正弦曲線的中點(diǎn)位移。其值充分小。但A無(wú)定值，它隨干擾力大小而異。2.3.5 兩端鉸支壓桿臨界力公式推導(dǎo)的圖示小結(jié)圖2-3-1兩端鉸支壓桿臨界力分析lFcr臨界微彎平衡yxABxyFcryyxAFcrFN=FcrM(x)x截面內(nèi)力分析x2.4 按梁的平衡理論分析一端固定一端自由的壓桿臨界壓力為了確定長(zhǎng)l一端固定一端自由的細(xì)長(zhǎng)

16、壓桿AB臨界力，研究圖2-4-1。設(shè)作用在桿上端的壓力恰為臨界力F=Fcr，桿處于臨界平衡狀態(tài)。臨界平衡狀態(tài)有兩種形式：直桿平衡和微彎平衡 ，即臨界平衡狀態(tài)具有分叉特性，形態(tài)不唯一。在這里，不能以直線平衡為研究對(duì)象（在軸向拉壓變形里已經(jīng)研究），而應(yīng)該以微彎平衡狀態(tài)作為力學(xué)模型，才能夠體現(xiàn)出壓桿臨界平衡的本質(zhì)特征（這與前面研究軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲都不同，那里桿處于直線平衡狀態(tài)）。2.4.1 截面彎矩表達(dá)式臨界微彎平衡圖2-4-1一端固定一端鉸支壓桿臨界力分析yyxAFcrFN=FcrFcrFcrlyABxyFcrxBFcrx截面內(nèi)力分析xM(x)一端固定一端自由壓桿裝置，下端為固定支座有3個(gè)約束

17、反力（FNA、FQA、MA），上端自由，沒(méi)有約束反力，壓桿裝置共3個(gè)約束反力未知數(shù)（FNA、FQA和MA），而一根桿件只能夠建立三個(gè)平衡方程，求解三個(gè)未知數(shù)。故，一端固定一端自由壓桿裝置是靜定結(jié)構(gòu)，支座反力完全可以用臨界力Fcr來(lái)表達(dá)。如圖2-4-1所示，由圖中x長(zhǎng)的粱段平衡，可得距原點(diǎn)為x、撓度為y的任意截面上彎矩為2.4.2 壓桿微彎平衡微分方程的建立及其通解在小變形條件下，如果桿內(nèi)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例應(yīng)力p，AB桿彎曲后的撓曲線可以用梁的彎曲變形公式來(lái)表達(dá)。在如圖2-4-1所示坐標(biāo)系下，撓曲線的近似微分方程為令 ，則式（a）可寫(xiě)為 這是一個(gè)常系數(shù)二階非齊次線性微分方程（在前面研究過(guò)的兩端

18、鉸支對(duì)應(yīng)的是齊次二階微分方程）。其對(duì)應(yīng)的常系數(shù)二階齊次線性微分方程通解是 式中，A、B是積分常數(shù)，k為待定值。它們由壓桿兩端的約束情況而定。原非齊次線性微分方程的一個(gè)特解是 ，其中也是待定值。原常系數(shù)二階非齊次線性微分方程的通解等于齊次微分方程通解與非齊次特解之和，即2.4.3 利用壓桿兩端邊界條件確定通解中的常數(shù)，從而導(dǎo)出壓桿臨界力Fcr把一端固定一端自由的壓桿下端A（固定端）的邊界條件：x=0、y=0、y=0，代入（e）和它的一階導(dǎo)數(shù)中，得 ，代入（e）有 ，所以，代入（f）得再把一端固定一端自由的壓桿上端B（自由端）的邊界條件：x=l、y=，代入（g）中，得，于是 從工程實(shí)際出發(fā)，有意義

19、的是Fcr的最小值，故取，于是得到一端固定一端自由壓桿裝置的臨界力為 （2.3-2）式亦稱，歐拉公式。值得注意的是，壓桿總是在抗彎能力最弱的縱向平面內(nèi)彎曲失穩(wěn)，所以公式中的慣性矩I應(yīng)該取其橫截面的最小慣性矩Imin。將公式（2.4-2）與（2.3-2）對(duì)比，（2.4-2）可以改寫(xiě)為如下形式前面已經(jīng)求得，兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)=1，表示兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的桿長(zhǎng)恰好對(duì)應(yīng)著它的微彎曲線的半個(gè)正弦波長(zhǎng)?，F(xiàn)在又得出，一端固定一端自由細(xì)長(zhǎng)壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)=2。長(zhǎng)度系數(shù)是微彎曲線的半個(gè)正弦波長(zhǎng)與壓桿壓桿長(zhǎng)度之比，故在這里=2表示一端固定一端自由細(xì)長(zhǎng)壓桿微彎曲線的半個(gè)正弦波長(zhǎng)為桿長(zhǎng)的2倍。2.4.4 將k值代

20、入微分方程通解，從而導(dǎo)出壓桿撓曲線方程將代入微分方程通解，得一端固定一端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)時(shí)的撓曲線為 當(dāng)x=l時(shí)，y=，常數(shù)是微彎曲線（半個(gè)半波余弦）的幅值，壓桿自由端（頂端）位移。其值充分小。但無(wú)定值。它隨干擾力大小而異。2.4.5 一端固定、一端自由壓桿臨界力公式推導(dǎo)的圖示小結(jié)臨界微彎平衡圖2-4-1一端固定一端鉸支壓桿臨界力分析yyxAFcrFN=FcrFcrFcrlyABxyFcrxBFcrx截面內(nèi)力分析xM(x)2.5 按梁的平衡理論分析一端固定一端鉸支的壓桿臨界壓力為了確定長(zhǎng)l一端固定一端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿AB臨界力，研究圖2-5-1。設(shè)作用在桿上端的壓力恰為臨界力F=Fcr，桿處于臨

21、界平衡狀態(tài)。臨界平衡狀態(tài)有兩種形式：直桿平衡和微彎平衡 ，即臨界平衡狀態(tài)具有分叉特性，形態(tài)不唯一。在這里，不能以直線平衡為研究對(duì)象（在軸向拉壓變形里已經(jīng)研究），而應(yīng)該以微彎平衡狀態(tài)作為力學(xué)模型，才能夠體現(xiàn)出壓桿臨界平衡的本質(zhì)特征（這與前面研究軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲都不同，那里桿處于直線平衡狀態(tài)）。2.5.1 截面彎矩表達(dá)式圖2-5-1一端固定一端鉸支壓桿臨界力分析lFcryxABxyFcrFQA=FQBFQBMA=FQBlyyxAFcrFN=FcrM(x)xFQ(x)MA=FQBlFQA=FQB一端固定一端鉸支壓桿裝置，下端為固定支座有3個(gè)約束反力（FNA、FQA、MA），上端為鏈桿支座有1個(gè)約

22、束反力（FQB），共4個(gè)約束反力未知數(shù)（FNA、FQA、MA和FQB），而一根桿件只能夠建立三個(gè)平衡方程，求解三個(gè)未知數(shù)?，F(xiàn)有4個(gè)約束反力未知數(shù)和3個(gè)平衡方程，還差1個(gè)方程，這必須根據(jù)變形條件建立1個(gè)補(bǔ)充方程。故，一端固定一端鉸支壓桿裝置是一次超靜定結(jié)構(gòu)。在它的任意橫截面彎矩表達(dá)式中，必然存在1個(gè)與臨界力Fcr不能夠直接相關(guān)的未知反力（如FQA）。如圖2-5-1所示，由圖中x長(zhǎng)的粱段平衡，可得距原點(diǎn)為x、撓度為y的任意截面上彎矩為2.5.2 壓桿微彎平衡微分方程的建立及其通解由于有1個(gè)與臨界力Fcr不能夠直接相關(guān)的未知力，故通過(guò)梁的撓曲平衡方程建立的二階平衡方程式必然是非齊次二階微分方程，這會(huì)

23、給求解臨界力造成一點(diǎn)困難（在前面研究過(guò)的兩端鉸支壓桿裝置（靜定結(jié)構(gòu)）對(duì)應(yīng)的是齊次二階微分方程，一端固定一端自由壓桿裝置（靜定結(jié)構(gòu)）對(duì)應(yīng)的是非齊次二階微分方程）。在小變形條件下，如果桿內(nèi)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例應(yīng)力p，AB桿彎曲后的撓曲線可以用梁的彎曲變形公式來(lái)表達(dá)。在如圖2-5-1所示坐標(biāo)系下，撓曲線的近似微分方程為令 ，則式（a）可寫(xiě)為 這是一個(gè)常系數(shù)非齊次二階線性微分方程，因?yàn)榇嬖谧杂身?xiàng)（指與y無(wú)關(guān)的項(xiàng)）。數(shù)學(xué)知識(shí)告訴我們，（a）式對(duì)應(yīng)的齊次方程通解是 式中，A、B是積分常數(shù)，k為待定值。它們由壓桿兩端的約束情況而定（FQA則無(wú)法確定）。（a）式對(duì)應(yīng)的非齊次方程特解是 于是，非齊次方程通解為

24、2.5.3 利用壓桿兩端邊界條件確定通解中的常數(shù)，從而導(dǎo)出壓桿臨界力Fcr把一端固定一端鉸支的壓桿下端A（固定端）的邊界條件：x=0、y=0、y=0，代入（f）式和它的一階導(dǎo)數(shù)中，可得待定常數(shù)A、B的表達(dá)式（g）和（i）。，對(duì)（f）求導(dǎo)，有 ，再把一端固定一端鉸支的壓桿上端B（鉸支端）的邊界條件：x=l、y=0，代入（f）式中，可得待定常數(shù)A和B之間的關(guān)系式（k）。，最后，把由下端邊值條件獲得的和，代入上端邊值條件，即可求得臨界力表達(dá)式（2.5），為求得滿足（l）式的kl最小值，以便求出壓桿的臨界力，現(xiàn)用試湊法求解。經(jīng)過(guò)幾次試湊，取kl=257.=4.弧度，代入（k）得取kl=4.，有 ，故，

25、即一端固定一端鉸支壓桿裝置的臨界力為 （2.5）式亦稱，歐拉公式。值得注意的是，壓桿總是在抗彎能力最弱的縱向平面內(nèi)彎曲失穩(wěn)，所以公式中的慣性矩I應(yīng)該取其橫截面的最小慣性矩Imin。將公式（2.5-1）與（2.3-1）對(duì)比，（2.5-1）可以改寫(xiě)為如下統(tǒng)一表達(dá)式。前面已經(jīng)求得，兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)=1；一端固定一端自由細(xì)長(zhǎng)壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)=2?，F(xiàn)在又得出，一端固定一端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)=0.7。長(zhǎng)度系數(shù)是微彎曲線的半個(gè)正弦波長(zhǎng)與壓桿壓桿長(zhǎng)度之比，故在這里=0.7表示一端固定一端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿微彎曲線的半個(gè)正弦波長(zhǎng)為桿長(zhǎng)的0.7。2.5.4 將k值代入微分方程通解，從而導(dǎo)出壓桿撓曲線方程由和

26、得 ，。把和代入微分方程的通解中，整理得，再把代入得，最后把代入得一端固定一端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)時(shí)的撓曲線方程為式中F是壓桿上下端的水平約束反力，是一次超靜定結(jié)構(gòu)中無(wú)法由平衡方程所確定的。2.5.5 一端固定、一端鉸支壓桿臨界力公式推導(dǎo)的圖示小結(jié)圖2-5-1一端固定一端鉸支壓桿臨界力分析lFcryxABxyFcrFQA=FQBFQBMA=FQBlyyxAFcrFN=FcrM(x)xFQ(x)MA=FQBlFQA=FQB2.6 按梁的平衡理論分析兩端固定的壓桿臨界壓力為了確定長(zhǎng)l兩端固定的細(xì)長(zhǎng)壓桿AB臨界力，研究圖2-6-1。設(shè)作用在桿上端的壓力恰為臨界力F=Fcr，桿處于臨界平衡狀態(tài)。臨界平衡狀

27、態(tài)有兩種形式：直桿平衡和微彎平衡 ，即臨界平衡狀態(tài)具有分叉特性，形態(tài)不唯一。在這里，不能以直線平衡為研究對(duì)象（在軸向拉壓變形里已經(jīng)研究），而應(yīng)該以微彎平衡狀態(tài)作為力學(xué)模型，才能夠體現(xiàn)出壓桿臨界平衡的本質(zhì)特征（這與前面研究軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲都不同，那里桿處于直線平衡狀態(tài)）。2.6.1 截面彎矩表達(dá)式圖2-6-1兩端固定壓桿臨界力分析lF=FcrFcrMB=MA-FQAlFQB= FQA=FcrABFQAFQB= FQAMAyyxAFcrFN=FcrM(x)FQAxFQ(x)MA兩端固定壓桿裝置，下端為固定端有2個(gè)約束反力和1個(gè)約束反力偶（FNA、FQA和MA），上端為固定端有2個(gè)約束反力和1個(gè)

28、約束反力偶（FNB、FQB和MB），共6個(gè)約束反力未知數(shù)（FNA、FQA、MA和FNB、FQB、MB），而一根桿件只能夠建立三個(gè)平衡方程，求解三個(gè)未知數(shù)。有6個(gè)約束反力未知數(shù)和3個(gè)平衡方程，還差3個(gè)方程，這必須根據(jù)變形條件建立3個(gè)補(bǔ)充方程，故，兩端固定壓桿裝置是3次超靜定結(jié)構(gòu)。在它的任意橫截面彎矩表達(dá)式中，可能存在3個(gè)未知反力（如：FNA、FQA、MA）與臨界力Fcr不能夠直接相關(guān)聯(lián)，但是，F(xiàn)NA=FNB=FCR，故，只有FQA和MA不能夠直接與臨界力Fcr相關(guān)聯(lián)。如圖2-6-1所示，由x長(zhǎng)的粱段平衡，可得距原點(diǎn)為x、撓度為y的任意截面上彎矩為2.6.2 壓桿微彎平衡微分方程的建立及其通解由于

29、有兩個(gè)與臨界力Fcr不能夠直接相關(guān)的未知力，故通過(guò)梁的撓曲平衡方程建立的二階平衡方程式必然是非齊次二階微分方程，這會(huì)給求解臨界力造成一點(diǎn)困難（在前面研究過(guò)的兩端鉸支壓桿裝置（靜定結(jié)構(gòu)）對(duì)應(yīng)的是齊次二階微分方程，一端固定一端自由壓桿裝置（靜定結(jié)構(gòu)）對(duì)應(yīng)的是非齊次二階微分方程，一端固定一端鉸支壓桿裝置（超靜定結(jié)構(gòu)）對(duì)應(yīng)的是非齊次二階微分方程）。在小變形條件下，如果桿內(nèi)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例應(yīng)力p，AB桿彎曲后的撓曲線可以用梁的彎曲變形公式來(lái)表達(dá)。在如圖2-6-1所示坐標(biāo)系下，撓曲線的近似微分方程具體表達(dá)為令 ，則式（b）可寫(xiě)為 這是一個(gè)常系數(shù)非齊次二階線性微分方程，因?yàn)榇嬖谧杂身?xiàng)（指與y無(wú)關(guān)的項(xiàng)）。

30、數(shù)學(xué)知識(shí)告訴我們，（b）式對(duì)應(yīng)的齊次方程通解是 式中，A、B是積分常數(shù)，k為待定值。它們由壓桿兩端的約束情況而定（MA、FQA則無(wú)法確定，是超靜定結(jié)構(gòu)的冗力）。（b）式對(duì)應(yīng)的非齊次方程特解是 于是，非齊次方程通解為 2.6.3 利用壓桿兩端邊界條件確定通解中的常數(shù)，從而導(dǎo)出壓桿臨界力Fcr把一端固定一端鉸支的壓桿下端A（固定端）的邊界條件：x=0、y=0、y=0，代入（g）式和它的一階導(dǎo)數(shù)中，可得待定常數(shù)A、B的表達(dá)式（h）和（j）。，對(duì)（g）求導(dǎo)，有 ，再把一端固定一端鉸支的壓桿上端B（鉸支端）的邊界條件：x=l、y=0，代入（g）式和它的一階導(dǎo)數(shù)（i）中，可得待定常數(shù)A和B之間的關(guān)系式（k和l）。，最后，把由下端邊值條件獲得的和，代入上端邊值條件和，即可求得臨界力表達(dá)式（2.6-2）。由（h）、（j）代入（k）得，由（h）、（j）代入（l）得，由（m）=（n）得 ，顯然，各值能夠滿足（0