樣本容量的確定

1、樣本容量的確定分類： Statistics 在參數(shù)區(qū)間估計(jì)的討論中，估計(jì)值和總體的參數(shù)之 間存在著一定的差異，這種差異是由樣本的隨機(jī)性產(chǎn)生的。在樣本容量不變的情況下，若要增加估計(jì)的可靠度，置信區(qū)間就會擴(kuò)大，估計(jì)的精度就降低了。若要在不 降低可靠性的前提下，增加估計(jì)的精確度，就只有擴(kuò)大樣本容量。當(dāng)然，增大樣本容量要受到人力、物力和時(shí)間等條件的限制，所以需要在滿足一定精確度的條件 下，盡可能恰當(dāng)?shù)卮_定樣本容量。一、影響樣本容量的因素（一）總體的變異程度(總體方差)在其它條件相同的情況下，有較大方差的總體，樣本的容量應(yīng)該大一些，反之則應(yīng)該小一些。例如：在正態(tài)總體均值的估計(jì)中，抽樣平均誤差為它反映了樣

2、本均值相對于總體均值的離散程度。所以，當(dāng)總體方差較大時(shí)，樣本的容量也相應(yīng)要大，這樣才會使較小，以保證估計(jì)的精確度。（二）允許誤差的大小允許誤差指允許的抽樣誤差，記為，例如，樣本均值與總體均值之間的允許誤差可以表示為 ，允許誤差以絕對值的形式表現(xiàn)了抽樣誤差的可能范圍，所以又稱為誤差。允許誤差說明了估計(jì)的精度，所以，在其他條件不變的情況下，如果要求估計(jì)的精度高，允許誤差就小，那么樣本容量就要大一些；如要求的精確度不高，允許誤差可以大些，則樣本容量可以小一些。（三）概率保證度1的大小概率保證度說明了估計(jì)的可靠程度。所以，在其他條件不變的情況下，如果要求較高的可靠度，就要增大樣本容量；反之，可以相應(yīng)減

3、少樣本容量。（四）抽樣方法不同在相同的條件下，重復(fù)抽樣的抽樣平均誤差比不重復(fù)抽樣的抽樣平均誤差大，所需要的樣本容量也就不同。重復(fù)抽樣需要更大的樣本容量，而不重復(fù)抽樣的樣本容量則可小一些。此外，必要的抽樣數(shù)目還要受抽樣組織方式的影響，這也是因?yàn)椴煌某闃咏M織方式有不同的抽樣平均誤差。二、樣本容量的確定(一) 估計(jì)總體均值的樣本容量在總體均值的區(qū)間估計(jì)里，置信區(qū)間是由下式確定的：例如，對于正態(tài)總體以及非正態(tài)總體大樣本時(shí)，都是以它為置信區(qū)間。從圖61中可以看到，從估計(jì)量x的取值到點(diǎn)的距離實(shí)際上為置信區(qū)間長度的。這段距離表示在一定置信水平1下，用樣本均值估計(jì)總體均值時(shí)所允許的最大絕對誤差即允許誤差。顯

4、然，若以x的取值為原點(diǎn)，則允許誤差可以表示為：（615）x=0 圖61 允許誤差示意圖公式（615）反映了允許誤差、可靠性系數(shù)、總體標(biāo)準(zhǔn)差與樣本容量之間的相互制約關(guān)系。只要這四個因素中的任意三個因素確定后，另一個因素也就確定了。在重復(fù)抽樣條件下，把允許誤差的計(jì)算公式變形整理，則得到樣本容量的計(jì)算公式：（616）在不重復(fù)抽樣的條件下，抽樣允許誤差為 , 因此變形后得到不重復(fù)抽樣條件下的樣本容量公式為n= （617）例614 某食品廠要檢驗(yàn)本月生產(chǎn)的10 000袋某產(chǎn)品的重量，根據(jù)以往的資料，這種產(chǎn)品每袋重量的標(biāo)準(zhǔn)差為25克。如果要求在95.45%的置信度下，平均每袋重量的誤差不超過5克，應(yīng)抽查多

5、少袋產(chǎn)品?解 由題意可知N=10 000（原作者誤為20 000），=25克，=5克，根據(jù)置信度1=95.45%，有=2。在重復(fù)抽樣的條件下n=（袋）注：Excel中的計(jì)算方法：利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)NORMSINV計(jì)算在該置信度下的標(biāo)準(zhǔn)偏差度z=2；題中要求平均每袋重量的誤差不超過5，即表明SD*z小于或者等于5；那么倒推標(biāo)準(zhǔn)偏差應(yīng)該不超過2.5；在總體標(biāo)準(zhǔn)差為25克的前提下，那么取樣量應(yīng)該為99.96，當(dāng)然，取樣量應(yīng)該是整數(shù)，即100。在不重復(fù)抽樣條件下n=99（袋）由計(jì)算結(jié)果可知：在其它條件相同的情況下，重復(fù)抽樣所需要的樣本容量大于不重復(fù)抽樣所需要的樣本容量。在計(jì)算樣本容量時(shí)，必須

6、知道總體的方差，而在實(shí)際抽樣調(diào)查前，往往總體的方差是未知的。在實(shí)際操作時(shí)，可以用過去的資料，若過去曾有若干個方差，應(yīng)該選擇最大的，以保證抽樣估計(jì)的精確度；也可以進(jìn)行一次小規(guī)模的調(diào)查，用調(diào)查所得的樣本方差來替代總體的方差。(二)估計(jì)總體成數(shù)時(shí)的樣本容量估計(jì)總體成數(shù)時(shí)樣本容量的確定方法與估計(jì)總體均值是一樣的，設(shè)為允許誤差，在1a的置信度下，重復(fù)抽樣條件下有解上面的方程可得重復(fù)抽樣條件下樣本容量的公式為同理可得不重復(fù)抽樣條件下的樣本容量公式為（619）在估計(jì)成數(shù)時(shí)，計(jì)算樣本容量時(shí)需要總體的成數(shù)，但是總體的成數(shù)通常是未知的，在實(shí)際的抽樣調(diào)查時(shí)，可先進(jìn)行小規(guī)模的試調(diào)查求得樣本的成數(shù)來代替。也可用歷史的資料，如果有若干個成數(shù)可供選擇，則應(yīng)選擇最靠近50%的成數(shù)，使樣本成數(shù)的方差最大，以保證估計(jì)的精確度。例615 為了檢查某企業(yè)生產(chǎn)的10 000個顯像管的合格率，需要確定樣本的容量。根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)合格率為90%、91.7%。如果要求估計(jì)的允許誤差不超過0.0275，置信水平為95.45%。求應(yīng)該取多少只顯像管?解 根據(jù)資料，我們應(yīng)該選擇P=0.9計(jì)算樣本容量，根據(jù)置信水平0.9545，有=2，重復(fù)抽樣條件下，樣本容量不重復(fù)抽樣條件樣本容量從計(jì)算的結(jié)果可以看出，重