重慶大學(xué)高數(shù)(工學(xué)下)期末試題五(含答案)

1、命題人: 組題人: 審題人: 命題時(shí)間: 教務(wù)處制學(xué)院 專業(yè)、班 年級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 考試教室 公平競(jìng)爭(zhēng)、誠實(shí)守信、嚴(yán)肅考紀(jì)、拒絕作弊封線密重慶大學(xué)高等數(shù)學(xué)（工學(xué)類）課程試卷 20 20 學(xué)年 第 學(xué)期開課學(xué)院: 數(shù)統(tǒng)學(xué)院 課程號(hào): 考試日期: 考試時(shí)間: 120 分鐘題 號(hào)一二三四五六七八九十總 分得 分考試提示1.嚴(yán)禁隨身攜帶通訊工具等電子設(shè)備參加考試; 2.考試作弊,留校察看,畢業(yè)當(dāng)年不授學(xué)位;請(qǐng)人代考、替他人考試、兩次及以上作弊等,屬嚴(yán)重作弊,開除學(xué)籍.一、選擇題(每小題3分,共18分)1. 如果為共線的單位向量,則它們的數(shù)量積(A) (B) (C) (D) 知識(shí)點(diǎn):向量的數(shù)量積,難度等

2、級(jí):1.答案:D 分析:=2. 微分方程的通解是 (A) (B) (C) (D) 知識(shí)點(diǎn):微分方程,難度等級(jí):1.答案: D分析:將方程改寫為并積分,得通解故應(yīng)選(D).3. 設(shè)空間區(qū)域則 (A) (B) ; (C) (D) 知識(shí)點(diǎn):三重積分計(jì)算,難度等級(jí):2.答案: A4若是上半橢圓取順時(shí)針方向,則的值為 (A) (B) (C) (D) 知識(shí)點(diǎn):對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,難度等級(jí):1.答案: C 分析: 題中半橢圓面積為要用格林公式,添有向線段故選C.5. 設(shè)函數(shù)連續(xù),并對(duì)的任意閉曲線有且則 (A) (B) (C) (D)知識(shí)點(diǎn):對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,積分與路徑無關(guān),微分方程.難度等級(jí):3.答案:D分析

3、:由條件知,積分與路徑無關(guān),有即A,B選項(xiàng)顯然不滿足方程,而C含常數(shù),也不能滿足方程,故選D.驗(yàn)證D滿足,或用一階線性微分方程求出為D.6. 曲面包含在柱面內(nèi)部那部分面積(A) (B) (C) (D) 知識(shí)點(diǎn):曲面面積,難度等級(jí):2.答案:B分析: 在投影區(qū)域化為二重積分為=選B.二、填空題(每小題3分,共18分)7. 級(jí)數(shù)的和為知識(shí)點(diǎn):級(jí)數(shù)的和.難度等級(jí):2.答案: 分析: 8. 其中為螺線的一段.知識(shí)點(diǎn):對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,難度等級(jí):1.答案：解: 弧長(zhǎng)的微分為于是9. 過已知點(diǎn)和作一平面,使該平面與軸平行,則該平面方程為知識(shí)點(diǎn):平面方程,難度等級(jí):2.答案:分析:平面的法向量,且,取過點(diǎn)平

4、面方程為即10. 函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)為知識(shí)點(diǎn):函數(shù)的方向?qū)?shù).難度等級(jí):1答案：解 : 11.設(shè)為平面在第一卦限的部分的上側(cè),將化為對(duì)面積的曲面積分的結(jié)果為知識(shí)點(diǎn):兩種曲面積分之間的轉(zhuǎn)換.難度等級(jí):2.答案:分析:第二型曲面化為第一型曲面積分,只需求出有向曲面?zhèn)鹊膯挝环ㄏ蛄?與被積向量函數(shù)作內(nèi)積即可,平面法向量為長(zhǎng)度為5故得結(jié)果.12. 設(shè)是圓錐面被圓柱面所截的下部分,則知識(shí):對(duì)面積的曲面積分,對(duì)稱性.難度等級(jí):3.答案:分析: 曲面關(guān)于軸對(duì)稱,為關(guān)于的奇函數(shù),故只需算的積分值,三、計(jì)算題(每小題6分,共24分)13. 計(jì)算積分其中為擺線的一拱.知識(shí)點(diǎn):對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,難度等級(jí):2分

5、析:已知了積分路徑的參數(shù)方程,直接代入計(jì)算積分.解: 由題設(shè)于是14. 求的通解. 知識(shí)點(diǎn):微分方程,變量代換,一階線性微分方程.難度等級(jí):2分析:,若令,原方程可化為一階線性方程.解: 將原方程改寫為令則于是方程化為這是一階線性非齊次方程.由通解公式故15. 計(jì)算其中是由曲面及平面所圍成立體表面外側(cè).知識(shí)點(diǎn):對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,高斯公式.難度等級(jí):3分析:利用高斯公式并注意對(duì)稱性.解:利用高斯公式,并注意對(duì)稱性,知又 16. 計(jì)算第二類曲線積分其中為球面與柱面對(duì)的交線,其方向是面對(duì)著正軸看去是反時(shí)針的.知識(shí)點(diǎn):對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,斯托克斯公式,對(duì)稱性.難度等級(jí):3分析: 利用斯托克斯公式,合一投

6、影,并注意對(duì)稱性的使用.解: (關(guān)于軸對(duì)稱,是關(guān)于的奇函數(shù)) 四、解答題(每小題6分,共12分)17判斷級(jí)數(shù)的斂散性.知識(shí)點(diǎn):級(jí)數(shù)斂散性的判斷.難度等級(jí):2分析:取用比較判別法的極限形式.解: 由于收斂,故級(jí)數(shù)收斂.18求函數(shù)在閉域上的最大值和最小值.知識(shí)點(diǎn):二元函數(shù)在閉區(qū)域上的最值.難度等級(jí):2分析:先求函數(shù)的駐點(diǎn),得到在區(qū)域內(nèi)部可能的最值點(diǎn),然后求邊界上可能的最值點(diǎn).解:由得內(nèi)駐點(diǎn)且在邊界上 比較后可知函數(shù)在點(diǎn)取最小值在點(diǎn)取最大值五、 證明題(每小題6分,共12分)19設(shè)函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)有是自然數(shù)),試證曲面上任一點(diǎn)的切平面都通過一定點(diǎn)(設(shè)在任一點(diǎn)處,有).知識(shí)點(diǎn):齊次

7、函數(shù),切平面.難度等級(jí):2分析:曲面在一點(diǎn)的切平面方程為求出此方程,可以發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)原點(diǎn)滿足方程.證明: 由已知條件可得 曲面上點(diǎn)處的切平面方程為 即易知滿足上述平面方程,所以曲面的任意切平面都通過定點(diǎn).20. 設(shè)單調(diào)增,且收斂.證明:(1)單調(diào)減.(2)收斂.知識(shí)點(diǎn):級(jí)數(shù)斂散性的判斷.難度等級(jí):2證:(1)單調(diào)減.(2)而收斂,由比較判別法,收斂.六、 應(yīng)用題 (每小題8分,共16分)21. 設(shè)在面上有一質(zhì)量為的勻質(zhì)半圓形薄片, 占有平面閉域過圓心垂直于薄片的直線上有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)求半圓形薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力. 知識(shí)點(diǎn):平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力,難度等級(jí):3分析: 由引力公式,建立二重積分計(jì)算 解: 設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為 薄片的面密度為 設(shè)所求引力為 由于薄片關(guān)于軸對(duì)稱, 所以引力在軸上的分量 而 22一質(zhì)量為的船以速度沿直線航行,在時(shí),推進(jìn)器停止工作(動(dòng)力關(guān)閉). 假設(shè)水的阻力正比于其中為一常數(shù),為瞬時(shí)速度,