江蘇省無(wú)錫市錫山區(qū)天一中學(xué)2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題【含解析】

1、江蘇省無(wú)錫市錫山區(qū)天一中學(xué)2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題（本大題共12小題）1.命題“x=”是“sinx=0”的（ ）條件A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由x=，得sinx=0；反之，由sinx=0，不一定有x=，然后結(jié)合充分必要條件的判定得答案【詳解】解：由x=，得sinx=0；反之，由sinx=0，得x=k，kZ“x=”是“sinx=0”的充分不必要條件故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)值的求法，考查充分必要條件的判定，是基礎(chǔ)題2.下列雙曲線中，漸近線方程為的是（ ）A. B. C D

2、. 【答案】A【解析】由雙曲線的漸進(jìn)線的公式可行選項(xiàng)A的漸進(jìn)線方程為，故選A.考點(diǎn)：本題主要考查雙曲線的漸近線公式.3.以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，且（3，0）為焦點(diǎn)的拋物線方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)分析可得拋物線的開口方向，可求出p的值，即可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，要求拋物線的焦點(diǎn)為（3，0），則拋物線的開口向左；設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則=3，即p=6；故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=12x；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題4.下列命題中是假命題的是（ ）A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】D【

3、解析】【分析】通過特殊值判斷A、B的正誤；正弦函數(shù)的最值判斷C的正誤；利用反例判斷D是假命題【詳解】解：當(dāng)x=0時(shí)，lgex=0，所以A是真命題；x=0時(shí)，tanx=x，所以B是真命題；因?yàn)閟inx1，當(dāng)x=時(shí)，sinx=1，所以，sinx1，C是真命題；x=0時(shí)，ex=x+1，所以xR，exx+1不正確，所以D是假命題；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查5.設(shè)橢圓（mn0）的右準(zhǔn)線為x=8，橢圓的離心率為，則橢圓的方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】確定橢圓的焦點(diǎn)在x軸，利用已知條件求出a，b，即可得到橢圓方程【詳解】解：直接設(shè)橢圓的標(biāo)

4、準(zhǔn)方程為（），又其右準(zhǔn)線為x=8，橢圓的離心率為，可得，解得a=4，c=2，則b=2所以橢圓方程：故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)橢圓方程的求法，圓錐曲線是高考的必考內(nèi)容，其基本性質(zhì)一定要熟練掌握6.下列命題：若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則有；是、共線的充要條件；對(duì)空間任意一點(diǎn)P與不共線的三點(diǎn)A、B、C，若，（，y，zR），則P、A、B、C四點(diǎn)共面其中不正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】由向量的運(yùn)算法則，可判斷真假；兩邊平方，利用向量的平方等于向量模的平方，判斷真假；利用空間向量的基本定理判斷真假；【詳解】解：根據(jù)向量的運(yùn)算法則知，等

5、號(hào)的左邊為，而右邊為0，故不正確；|2-2|+|2=|2+2+|2cos=-1，即與反向，是、共線的充分不必要條件，故不正確；由空間向量基本定理知，空間任意一個(gè)向量可以用不共面的三個(gè)向量、線性表示，所以P、A、B、C四點(diǎn)一定不共面，故不正確；故選：D【點(diǎn)睛】考查向量的運(yùn)算法則，空間向量的基本定理，命題真假的判斷；7.已知（，-1，3），（，4，-2），（，3，），若、三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】由向量、共面得出=x+y，列方程組可求得的值【詳解】解：向量、共面，則=x+y，其中x，yR；則（1，3，）=（2x，-x，3x）+（-y，4y

6、，-2y）=（2x-y，-x+4y，3x-2y），解得x=1，y=1，=1故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示與共面定理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題8. 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為拋物線 的焦點(diǎn)， 為 上一點(diǎn)，若 ，則 的面積為( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【詳解】設(shè)P(xP,yP)(yP0)由拋物線定義知,xP+=4,xP=3,yP=2,因此SPOF=2=2.故選C.9.設(shè)雙曲線（，）的漸近線與拋物線相切，則該雙曲線的離心率等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題意可知雙曲線的漸近線一條方程為，與拋物線方程組成方程組消y得，即，所以，選D.【點(diǎn)睛】雙曲線（，）的漸近線

7、方程為。直線與拋物線交點(diǎn)問題，直線與拋物線方程組方程組，當(dāng)直線與拋物線對(duì)稱軸平行時(shí)，直線與拋物線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)直線與拋物線對(duì)稱軸不平行時(shí)，當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相切，只有一個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相離，沒有交點(diǎn)。10.設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且滿足則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：由題意可得為直角，為直角三角形，又雙曲線的方程可化為，故，變形可得，由雙曲線定義得，解得a=1，考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)11.直線l的方程為y=x+3，P為l上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P且以雙曲線12x2-4y2=3的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓，那么該橢

8、圓的最短長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)出橢圓方程，P的坐標(biāo)，結(jié)合P在橢圓上，可得關(guān)于P的橫坐標(biāo)的方程，由判別式大于等于0求得a的范圍，進(jìn)一步求出a的最小值，推出結(jié)果【詳解】解：由題意可設(shè)橢圓方程為：（ab0），由已知雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則，a2-b2=c2=1，設(shè)P（m，m+3），由P在橢圓上，得，（a2-1）m2+a2（m2+6m+9）=a2（a2-1）=a4-a2，即（2a2-1）m2+6a2m+10a2- a4=0由=（6a2）2-（8a2-4）（10a2-a4）0，得36a4-80a4+40a2+8a6-4a40，-48a2+40+8a40，a4

9、-6a2+50，即（a2-5）（a2-1）0，解得a21或a25，c2=1，a2c2，a25，又長(zhǎng)軸最短，即a2=5，該橢圓的最短長(zhǎng)軸長(zhǎng)為：2故選：B【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題12.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：設(shè)，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，由橢圓的定義可知的周長(zhǎng)為，考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì).【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用、橢圓離心率的求解，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力、轉(zhuǎn)

10、化與化歸思想的應(yīng)用，本題的解答中，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，得出，再由橢圓的定義，得到的周長(zhǎng)為，列出的關(guān)系式，即可求解離心率.二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.若雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)_【答案】2【解析】，.漸近線方程是.14.已知集合A=x|2-ax2+a，B=x|4x2+12x-70，若“xA”是“xB”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】，+）【解析】【分析】求解一元二次不等式化簡(jiǎn)B，再把“xA”是“xB”的必要條件轉(zhuǎn)化為兩集合端點(diǎn)值間的關(guān)系列式求解【詳解】解：B=x|4x2+12x-70=x|（2x+7）（2x-1）0=x|-x，A=x|2-ax2+a，“

11、xA”是“xB”的必要條件，BA，即，解得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是，+）故答案為：，+）【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是基礎(chǔ)題15.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則該橢圓離心率的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由橢圓定義可得，又，從而得到結(jié)果.【詳解】，又，即，解得又，【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求法，考查橢圓定義以及焦半徑的范圍，屬于中檔題.16.已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)、在拋物線上且位于軸的兩側(cè)，若 （其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則與面積之和的最小值是_【答案】3【解析】設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為.聯(lián)立，可得，根據(jù)韋達(dá)定理可得

12、.，即.或（舍），即.點(diǎn)，位于軸的兩側(cè)不妨令點(diǎn)在軸的上方，則.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).與面積之和的最小值是3.故答案為3.點(diǎn)睛：本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系及基本不等式求最值的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，其中通過韋達(dá)定理和推出的表達(dá)式和運(yùn)用基本不等式是解答的關(guān)鍵三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）17.已知命題p：x（-2，1），使等式x2-x-m=0成立，命題q：表示橢圓（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍（2）判斷命題p為真命題是命題q為真命題的什么條件（請(qǐng)用簡(jiǎn)要過程說明是“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”和“既不充分也不必要條件”中的哪一個(gè)）【答案】（1

13、）m|m6（2）p是q的必要不充分條件【解析】【分析】（1）把：x（-2，1），使等式x2-x-m=0成立轉(zhuǎn)化為方程x2-x-m=0在（-2，1）上有解，即m的取值范圍就是函數(shù)y=x2-x在（-2，1）上的值域，再求二次函數(shù)的值域得答案；（2）由表示橢圓求得m的范圍，利用集合間的關(guān)系結(jié)合充分必要條件的判定得答案【詳解】解：（1）由題意，方程x2-x-m=0在（-2，1）上有解，即m的取值范圍就是函數(shù)y=x2-x在（-2，1）上的值域，函數(shù)y=x2-x的對(duì)稱軸方程為x=，則當(dāng)x=時(shí)，有最小值，當(dāng)x=-2時(shí)，有最大值為6可得m|m6；（2）命題q：表示橢圓為真命題，解得2m3或3m4故有m|m6m

14、|2m3或3m4p是q的必要不充分條件【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判定及其應(yīng)用，考查函數(shù)值域的求法及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是基礎(chǔ)題18.已知雙曲線C1的漸近線是x2y=0，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1（-，0）、F2（，0）（1）求雙曲線C1的方程；（2）若橢圓C2與雙曲線C1有公共的焦點(diǎn)，且它們的離心率之和為，點(diǎn)P在橢圓C2上，且|PF1|=4，求F1PF2的大小【答案】（1）（2）120【解析】【分析】（1）設(shè)雙曲線C1：，由已知，由此能求出雙曲線C1方程（2）由已知得橢圓C2離心率是，a=3，由此利用余弦定理能求出F1PF2的大小【詳解】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)雙曲線C1：，則，雙曲線C1方程是（2）雙曲線

15、C1的離心率是，橢圓C2離心率是，在橢圓C2中，a=3，|PF1|=4，由橢圓定義，|PF2|=2，在F1PF2中，根據(jù)余弦定理，F(xiàn)1PF2=120【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線方程的求法，考查角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意橢圓、雙曲線簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用19.三棱柱ABC-A1B1C1在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，已知AB=2，AC=4，AA1=3D是BC的中點(diǎn)（1）求直線A1D與B1C1所成角的余弦值；（2）求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題中所給的坐標(biāo)系，可得A、B、C、D、A1、B1、C1各點(diǎn)的坐標(biāo)，由此得到向量、的坐標(biāo)，利用空間向

16、量的夾角公式算出cos，的值，即可得到直線A1D與B1C1所成角的余弦值；（2）設(shè)平面A1C1D的一個(gè)法向量為=（x，y，z），利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出=（3，0，1），從而得到直線DB1與平面A1C1D所成角滿足sin=cos，=，即得直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值【詳解】解：根據(jù)題意，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），D（1，2，0），A1（0，0，3），B1（2，0，3），C1（0，4，3），由此可得=（1，2，-3），=（0，4，0），=（1，-2，0），=（-2，4，0），=（1，-2，3）（1）cos，=，直線A1D與B1C1所成

17、角的余弦值為；（2）設(shè)平面A1C1D的一個(gè)法向量為=（x，y，z），則，取z=1得x=3，y=0，=（3，0，1）是平面A1C1D的一個(gè)法向量因此，設(shè)直線DB1與平面A1C1D所成角為，可得sin=cos，=，即直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值等于【點(diǎn)睛】本題給出底面為直角三角形的直三棱柱，求異面直線所成角和直線與平面所成角的正弦值，著重考查了利用空間坐標(biāo)系求空間直線與平面所成角和異面直線所成角等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題20.已知拋物線C：y2=2x的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，過A，B作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線與P，Q兩點(diǎn)R是PQ的中點(diǎn)（1）證明：以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)F（2）

18、證明：ARFQ【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求得拋物線的焦點(diǎn)F，設(shè)直線l的方程為x=my+，聯(lián)立拋物線方程，設(shè)A（，y1），B（，y2），運(yùn)用韋達(dá)定理，求得拋物線的準(zhǔn)線方程，可得P，Q，R的坐標(biāo)，求得，由向量垂直的條件，即可得證；（2）設(shè)AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，運(yùn)用直線的斜率公式和兩直線平行的條件，以及韋達(dá)定理，即可得證【詳解】證明：（1）拋物線C：y2=2x的焦點(diǎn)F（，0），設(shè)直線l的方程為x=my+，聯(lián)立拋物線方程可得y2-2my-1=0，設(shè)A（，y1），B（，y2），則y1+y2=2m，y1y2=-1，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-，可得P（-，y1

19、），Q（-，y2），R（-，），則=（1，-y1），=（1，-y2），可得=1+y1y2=1-1=0，即PFQF，以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)F；（2）設(shè)AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則k2=-y2，k1=-y2，即k1=k2，則ARFQ【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，注意運(yùn)用向量的數(shù)量積的垂直性質(zhì)，以及兩直線平行的條件，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題21.如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱A1A底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD，且點(diǎn)M和N分別為B1C和D1D的中點(diǎn)（）求證：MN平面ABCD；（）求二面角D1AC

20、B1的正弦值；（）設(shè)E為棱A1B1上的點(diǎn)若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為，求線段A1E的長(zhǎng)【答案】（）詳見解析 （）（）【解析】試題分析：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（）求出直線MN的方向向量與平面ABCD的法向量，兩個(gè)向量的乘積等于0即可；（）求出兩個(gè)平面的法向量，可計(jì)算兩個(gè)平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可；（） 設(shè)，代入線面角公式計(jì)算可解出的值，即可求出A1E的長(zhǎng)試題解析：如圖，以A原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，2，2），又因?yàn)镸，N分別為B1C和D1D的中點(diǎn)，得 M，N（1，2，1）（）依題意，可得n（0，0，1）為平面ABCD的一個(gè)法向量，由此可得，n0，又因?yàn)橹本€MN平面ABCD，所以MN平面ABCD（）（1，2，2），（2，0，0），設(shè)n1（x1，y1，z1）為平面ACD1的法向量，則即不妨設(shè)z11，可得 n1（0，1，1），設(shè)n2（x2，y2，z2）為平面ACB1的一個(gè)法向量，則又（0，1， 2），得，不妨設(shè)z21，可得n2（0，2，1）因此有cosn1，