江蘇省無錫市錫山區(qū)天一中學2019-2020學年高二數(shù)學上學期期中試題【含解析】

1、江蘇省無錫市錫山區(qū)天一中學2019-2020學年高二數(shù)學上學期期中試題（含解析）一、選擇題（本大題共12小題）1.命題“x=”是“sinx=0”的（ ）條件A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由x=，得sinx=0；反之，由sinx=0，不一定有x=，然后結(jié)合充分必要條件的判定得答案【詳解】解：由x=，得sinx=0；反之，由sinx=0，得x=k，kZ“x=”是“sinx=0”的充分不必要條件故選：A【點睛】本題考查三角函數(shù)值的求法，考查充分必要條件的判定，是基礎(chǔ)題2.下列雙曲線中，漸近線方程為的是（ ）A. B. C D

2、. 【答案】A【解析】由雙曲線的漸進線的公式可行選項A的漸進線方程為，故選A.考點：本題主要考查雙曲線的漸近線公式.3.以坐標原點為頂點，且（3，0）為焦點的拋物線方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由拋物線焦點的坐標分析可得拋物線的開口方向，可求出p的值，即可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，要求拋物線的焦點為（3，0），則拋物線的開口向左；設(shè)拋物線的標準方程為：，則=3，即p=6；故拋物線的標準方程為y2=12x；故選：B【點睛】本題考查拋物線的標準方程，涉及拋物線焦點坐標，屬于基礎(chǔ)題4.下列命題中是假命題的是（ ）A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】D【

3、解析】【分析】通過特殊值判斷A、B的正誤；正弦函數(shù)的最值判斷C的正誤；利用反例判斷D是假命題【詳解】解：當x=0時，lgex=0，所以A是真命題；x=0時，tanx=x，所以B是真命題；因為sinx1，當x=時，sinx=1，所以，sinx1，C是真命題；x=0時，ex=x+1，所以xR，exx+1不正確，所以D是假命題；故選：D【點睛】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，是基本知識的考查5.設(shè)橢圓（mn0）的右準線為x=8，橢圓的離心率為，則橢圓的方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】確定橢圓的焦點在x軸，利用已知條件求出a，b，即可得到橢圓方程【詳解】解：直接設(shè)橢圓的標

4、準方程為（），又其右準線為x=8，橢圓的離心率為，可得，解得a=4，c=2，則b=2所以橢圓方程：故選：B【點睛】本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)橢圓方程的求法，圓錐曲線是高考的必考內(nèi)容，其基本性質(zhì)一定要熟練掌握6.下列命題：若A、B、C、D是空間任意四點，則有；是、共線的充要條件；對空間任意一點P與不共線的三點A、B、C，若，（，y，zR），則P、A、B、C四點共面其中不正確命題的個數(shù)是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】由向量的運算法則，可判斷真假；兩邊平方，利用向量的平方等于向量模的平方，判斷真假；利用空間向量的基本定理判斷真假；【詳解】解：根據(jù)向量的運算法則知，等

5、號的左邊為，而右邊為0，故不正確；|2-2|+|2=|2+2+|2cos=-1，即與反向，是、共線的充分不必要條件，故不正確；由空間向量基本定理知，空間任意一個向量可以用不共面的三個向量、線性表示，所以P、A、B、C四點一定不共面，故不正確；故選：D【點睛】考查向量的運算法則，空間向量的基本定理，命題真假的判斷；7.已知（，-1，3），（，4，-2），（，3，），若、三向量共面，則實數(shù)等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】由向量、共面得出=x+y，列方程組可求得的值【詳解】解：向量、共面，則=x+y，其中x，yR；則（1，3，）=（2x，-x，3x）+（-y，4y

6、，-2y）=（2x-y，-x+4y，3x-2y），解得x=1，y=1，=1故選：A【點睛】本題考查了空間向量的坐標表示與共面定理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題8. 為坐標原點， 為拋物線 的焦點， 為 上一點，若 ，則 的面積為( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【詳解】設(shè)P(xP,yP)(yP0)由拋物線定義知,xP+=4,xP=3,yP=2,因此SPOF=2=2.故選C.9.設(shè)雙曲線（，）的漸近線與拋物線相切，則該雙曲線的離心率等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題意可知雙曲線的漸近線一條方程為，與拋物線方程組成方程組消y得，即，所以，選D.【點睛】雙曲線（，）的漸近線

7、方程為。直線與拋物線交點問題，直線與拋物線方程組方程組，當直線與拋物線對稱軸平行時，直線與拋物線相交，只有一個交點。當直線與拋物線對稱軸不平行時，當時，直線與拋物線相交，有兩個交點。當時，直線與拋物線相切，只有一個交點。當時，直線與拋物線相離，沒有交點。10.設(shè)是雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上，且滿足則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：由題意可得為直角，為直角三角形，又雙曲線的方程可化為，故，變形可得，由雙曲線定義得，解得a=1，考點：雙曲線的簡單性質(zhì)11.直線l的方程為y=x+3，P為l上任意一點，過點P且以雙曲線12x2-4y2=3的焦點為焦點作橢圓，那么該橢

8、圓的最短長軸長為（ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)出橢圓方程，P的坐標，結(jié)合P在橢圓上，可得關(guān)于P的橫坐標的方程，由判別式大于等于0求得a的范圍，進一步求出a的最小值，推出結(jié)果【詳解】解：由題意可設(shè)橢圓方程為：（ab0），由已知雙曲線標準方程為：，則，a2-b2=c2=1，設(shè)P（m，m+3），由P在橢圓上，得，（a2-1）m2+a2（m2+6m+9）=a2（a2-1）=a4-a2，即（2a2-1）m2+6a2m+10a2- a4=0由=（6a2）2-（8a2-4）（10a2-a4）0，得36a4-80a4+40a2+8a6-4a40，-48a2+40+8a40，a4

9、-6a2+50，即（a2-5）（a2-1）0，解得a21或a25，c2=1，a2c2，a25，又長軸最短，即a2=5，該橢圓的最短長軸長為：2故選：B【點睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題12.已知橢圓的左右焦點分別為、，過點的直線與橢圓交于兩點，若是以為直角頂點的等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：設(shè)，若是以為直角頂點的等腰直角三角形，由橢圓的定義可知的周長為，考點：橢圓的幾何性質(zhì).【方法點晴】本題主要考查了橢圓的定義、標準方程及其簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用、橢圓離心率的求解，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力、轉(zhuǎn)

10、化與化歸思想的應(yīng)用，本題的解答中，若是以為直角頂點的等腰直角三角形，得出，再由橢圓的定義，得到的周長為，列出的關(guān)系式，即可求解離心率.二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.若雙曲線的離心率為，則實數(shù)_【答案】2【解析】，.漸近線方程是.14.已知集合A=x|2-ax2+a，B=x|4x2+12x-70，若“xA”是“xB”的必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是_【答案】，+）【解析】【分析】求解一元二次不等式化簡B，再把“xA”是“xB”的必要條件轉(zhuǎn)化為兩集合端點值間的關(guān)系列式求解【詳解】解：B=x|4x2+12x-70=x|（2x+7）（2x-1）0=x|-x，A=x|2-ax2+a，“

11、xA”是“xB”的必要條件，BA，即，解得，實數(shù)a的取值范圍是，+）故答案為：，+）【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是基礎(chǔ)題15.已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為若橢圓上存在點，使得，則該橢圓離心率的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由橢圓定義可得，又，從而得到結(jié)果.【詳解】，又，即，解得又，【點睛】本題考查橢圓離心率的求法，考查橢圓定義以及焦半徑的范圍，屬于中檔題.16.已知是拋物線的焦點，點、在拋物線上且位于軸的兩側(cè)，若 （其中為坐標原點），則與面積之和的最小值是_【答案】3【解析】設(shè)直線的方程為，點，直線與軸的交點為.聯(lián)立，可得，根據(jù)韋達定理可得

12、.，即.或（舍），即.點，位于軸的兩側(cè)不妨令點在軸的上方，則.，當且僅當時取等號.與面積之和的最小值是3.故答案為3.點睛：本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系及基本不等式求最值的應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，其中通過韋達定理和推出的表達式和運用基本不等式是解答的關(guān)鍵三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）17.已知命題p：x（-2，1），使等式x2-x-m=0成立，命題q：表示橢圓（1）若命題p為真命題，求實數(shù)m的取值范圍（2）判斷命題p為真命題是命題q為真命題的什么條件（請用簡要過程說明是“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”和“既不充分也不必要條件”中的哪一個）【答案】（1

13、）m|m6（2）p是q的必要不充分條件【解析】【分析】（1）把：x（-2，1），使等式x2-x-m=0成立轉(zhuǎn)化為方程x2-x-m=0在（-2，1）上有解，即m的取值范圍就是函數(shù)y=x2-x在（-2，1）上的值域，再求二次函數(shù)的值域得答案；（2）由表示橢圓求得m的范圍，利用集合間的關(guān)系結(jié)合充分必要條件的判定得答案【詳解】解：（1）由題意，方程x2-x-m=0在（-2，1）上有解，即m的取值范圍就是函數(shù)y=x2-x在（-2，1）上的值域，函數(shù)y=x2-x的對稱軸方程為x=，則當x=時，有最小值，當x=-2時，有最大值為6可得m|m6；（2）命題q：表示橢圓為真命題，解得2m3或3m4故有m|m6m

14、|2m3或3m4p是q的必要不充分條件【點睛】本題考查充分必要條件的判定及其應(yīng)用，考查函數(shù)值域的求法及橢圓的標準方程，是基礎(chǔ)題18.已知雙曲線C1的漸近線是x2y=0，焦點坐標是F1（-，0）、F2（，0）（1）求雙曲線C1的方程；（2）若橢圓C2與雙曲線C1有公共的焦點，且它們的離心率之和為，點P在橢圓C2上，且|PF1|=4，求F1PF2的大小【答案】（1）（2）120【解析】【分析】（1）設(shè)雙曲線C1：，由已知，由此能求出雙曲線C1方程（2）由已知得橢圓C2離心率是，a=3，由此利用余弦定理能求出F1PF2的大小【詳解】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)雙曲線C1：，則，雙曲線C1方程是（2）雙曲線

15、C1的離心率是，橢圓C2離心率是，在橢圓C2中，a=3，|PF1|=4，由橢圓定義，|PF2|=2，在F1PF2中，根據(jù)余弦定理，F(xiàn)1PF2=120【點睛】本題考查雙曲線方程的求法，考查角的大小的求法，是中檔題，解題時要注意橢圓、雙曲線簡單性質(zhì)的合理運用19.三棱柱ABC-A1B1C1在如圖所示的空間直角坐標系中，已知AB=2，AC=4，AA1=3D是BC的中點（1）求直線A1D與B1C1所成角的余弦值；（2）求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題中所給的坐標系，可得A、B、C、D、A1、B1、C1各點的坐標，由此得到向量、的坐標，利用空間向

16、量的夾角公式算出cos，的值，即可得到直線A1D與B1C1所成角的余弦值；（2）設(shè)平面A1C1D的一個法向量為=（x，y，z），利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出=（3，0，1），從而得到直線DB1與平面A1C1D所成角滿足sin=cos，=，即得直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值【詳解】解：根據(jù)題意，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），D（1，2，0），A1（0，0，3），B1（2，0，3），C1（0，4，3），由此可得=（1，2，-3），=（0，4，0），=（1，-2，0），=（-2，4，0），=（1，-2，3）（1）cos，=，直線A1D與B1C1所成

17、角的余弦值為；（2）設(shè)平面A1C1D的一個法向量為=（x，y，z），則，取z=1得x=3，y=0，=（3，0，1）是平面A1C1D的一個法向量因此，設(shè)直線DB1與平面A1C1D所成角為，可得sin=cos，=，即直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值等于【點睛】本題給出底面為直角三角形的直三棱柱，求異面直線所成角和直線與平面所成角的正弦值，著重考查了利用空間坐標系求空間直線與平面所成角和異面直線所成角等知識點，屬于中檔題20.已知拋物線C：y2=2x的焦點為F，過焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，過A，B作準線的垂線交準線與P，Q兩點R是PQ的中點（1）證明：以PQ為直徑的圓恒過定點F（2）

18、證明：ARFQ【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求得拋物線的焦點F，設(shè)直線l的方程為x=my+，聯(lián)立拋物線方程，設(shè)A（，y1），B（，y2），運用韋達定理，求得拋物線的準線方程，可得P，Q，R的坐標，求得，由向量垂直的條件，即可得證；（2）設(shè)AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，運用直線的斜率公式和兩直線平行的條件，以及韋達定理，即可得證【詳解】證明：（1）拋物線C：y2=2x的焦點F（，0），設(shè)直線l的方程為x=my+，聯(lián)立拋物線方程可得y2-2my-1=0，設(shè)A（，y1），B（，y2），則y1+y2=2m，y1y2=-1，拋物線的準線方程為x=-，可得P（-，y1

19、），Q（-，y2），R（-，），則=（1，-y1），=（1，-y2），可得=1+y1y2=1-1=0，即PFQF，以PQ為直徑的圓恒過定點F；（2）設(shè)AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則k2=-y2，k1=-y2，即k1=k2，則ARFQ【點睛】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運用韋達定理，注意運用向量的數(shù)量積的垂直性質(zhì)，以及兩直線平行的條件，考查化簡運算能力，屬于中檔題21.如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱A1A底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD，且點M和N分別為B1C和D1D的中點（）求證：MN平面ABCD；（）求二面角D1AC

20、B1的正弦值；（）設(shè)E為棱A1B1上的點若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為，求線段A1E的長【答案】（）詳見解析 （）（）【解析】試題分析：以A為原點建立空間直角坐標系（）求出直線MN的方向向量與平面ABCD的法向量，兩個向量的乘積等于0即可；（）求出兩個平面的法向量，可計算兩個平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可；（） 設(shè)，代入線面角公式計算可解出的值，即可求出A1E的長試題解析：如圖，以A原點建立空間直角坐標系，依題意可得A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，2，2），又因為M，N分別為B1C和D1D的中點，得 M，N（1，2，1）（）依題意，可得n（0，0，1）為平面ABCD的一個法向量，由此可得，n0，又因為直線MN平面ABCD，所以MN平面ABCD（）（1，2，2），（2，0，0），設(shè)n1（x1，y1，z1）為平面ACD1的法向量，則即不妨設(shè)z11，可得 n1（0，1，1），設(shè)n2（x2，y2，z2）為平面ACB1的一個法向量，則又（0，1， 2），得，不妨設(shè)z21，可得n2（0，2，1）因此有cosn1，