《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題及謎底第七章

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案第七章1. 對某一距離進(jìn)行 5 次測量，結(jié)果如下：2781, 2836, 2807, 2765, 2858 （米）.已知測量結(jié)果服從 N (m,s 2 ) ，求參數(shù)m 和s 2 的矩估計(jì).93解m 的矩估計(jì)為 m = X ，s 2 的矩估計(jì)為s 2= 1 n ( X nii=1- X )2 = S*21X = 1 (2781 + 2836 + 2807 + 2765 + 2858) = 2809.0 ， 5S*2 = 5854.0 = 1170.84 5所以m = 2809,s 2 = 1170.82. 設(shè) X1, X ,L, X2n是來自對數(shù)級數(shù)分布P( X = k

2、 ) = -1pk,(0 p C,0,其他.其中參數(shù)0 q 0 ，從中抽得一個(gè)樣本，X , X ,L, X，求q 的矩估計(jì)1- 1 +q12n+11- 11 11解m= EX = 1CCq q xq dx = Cqxq 1- 11解出q 得= Cq1(-C Cq -1qC1-qq- 1 ) =C，mq = 1- C ,1于是q 的矩估計(jì)為q$ = 1- C .X5. 設(shè)總體的密度為f (x; a) = (a +1)xa ,0 x 1,0,其他.試用樣本 X , X ,L, X求參數(shù)a 的矩估計(jì)和極大似然估計(jì).12n解先求矩估計(jì)：a + 2解出a 得m = EX = 1 (a +1)xa+1dx

3、 = 10a +1xa+21 = a +1 ,a + 20m -11a = 1- 2m ,1所以a 的矩估計(jì)為1- 2 Xa =.X -1再求極大似然估計(jì)：L( X,L, X ;a) = n(a +1)xa = (a +1)n (x xL x )a ，1nii=112nln L = n ln(a +1) +ani=1ln x，idad ln L =n+ na +1i=1ln xi 0 ，解得a 的極大似然估計(jì)：nnln xa = -(1+) .ii=16. 已知總體 X 在q ,q12 上服從均勻分布， XL X1n是取自 X 的樣本，求q ,q12的矩估計(jì)和極大似然估計(jì).解先求矩估計(jì)：122

4、m= EX = q+q，1(q-q )2(q+q )2q 2 +q q+q 2212114211232m= EX 2 2=+=解方程組122122112223得3(2 ),11213(2 ).2121注意到，得,的矩估計(jì)為1212，.X3S*X3S* 12再求極大似然估計(jì)L(X1,X ;,)n12n11()n， 1x ,x12,x，n2i 12121由極大似然估計(jì)的定義知，,1的極大似然估計(jì)為2min(X ,X )X；11n(1)2max( X ,X )X.1n(n)7. 設(shè)總體的密度函數(shù)如下，試?yán)脴颖緓1,x ,x2n，求參數(shù)的極大似然估計(jì).（1） f(x; )()x 1e 0,x ,x0

5、,其它;已知.（2） f(x; )1 e2|x|,x.解 （1） L(X1,X ; )nnei()x 1x ii 1nn (x 1nnxi 1x ) 1 einnlnL(X1X ; )n lnn ln(1)lnxxniii 1i 1dd lnLnnx0 ii 1解似然方程nnx ， ii 1得的極大似然估計(jì)q$ =n.nxai解似然方程94（2） L( X1i=1L Xn;q) =ni=11 e-|x 2-q| =n |x-e1i2ni=1i-q|由極大似然估計(jì)的定義得q 的極大似然估計(jì)為樣本中位數(shù)，即 X=q$( n+1) 12,n 為奇數(shù),( X 2( n ) 2+ X( n +1) 2)

6、,n 為偶數(shù).8. 設(shè)總體 X 服從指數(shù)分布f (x;q) = e-( x-q ) ,x q,0,其他.試?yán)脴颖?X , X ,L, X求參數(shù)q 的極大似然估計(jì).12n解L( X1,L, X ;nq) = ne-( xii=1-q )-n xi= e i=1+nq ,xiq, i = 1,2,L, n.ln L = nq - nXii=1dqd ln L = n 0由極大似然估計(jì)的定義，q 的極大似然估計(jì)為q$ = x(1)9. 設(shè) X1, X ,L, X2n來自幾何分布P( X = k ) = p(1- p)k -1 , k = 1,2,L,0 p q ,211220,其它.其中- q1

7、+, 0 q2q , i = 1,2,L, n.1ln L = -n lnq- 122(nXqii=1- nq )1qq ln L = n 0121由極大似然估計(jì)的定義，得q的極大似然估計(jì)為q$= x；1(1)q ln L2= -n + 1qq 222(nXii=1- nq1) 02解似然方程得qq$的極大似然估計(jì)2（2） m1= X - x(1)= EX =q+q12m= EX 2 = DX +E( X )2 =q 2 + (q+q )22解方程組212m=q+q ,112m=q 2 + (q+q )2 ,2212得q 2 = m22- m2 ,m- m2211q= m-.11所以q ,q1

8、2的矩估計(jì)為q$= X - S*,S*21解似然方程96q=2= S*.11. 罐中有 N 個(gè)硬幣，其中有q 個(gè)是普通硬幣（擲出正面與反面的概率各為 0.5）其余 N -q 個(gè)硬幣兩面都是正面，從罐中隨機(jī)取出一個(gè)硬幣，把它連擲兩次，記下結(jié)果，但不去查看它屬于哪種硬幣，如此重復(fù) n 次，若擲出 0 次、1 次、2 次正面的次數(shù)分別為 n , n , n012，利用（1）矩法；（2）極大似然法去估計(jì)參數(shù)q 。解設(shè) X 為連擲兩次正面出現(xiàn)的次數(shù)， A = 取出的硬幣為普通硬幣，則N4Nq1qP( X = 0) = P( A)P( X = 0 | A) + P( A)P( X = 0 | A) =()

9、2 =, 2q1qN2NP( X = 1) = P( A)P( X = 1| A) + P( A)P( X = 1| A) = C1 ()2 =,2 2P( X = 2) = P( A)P( X = 2 | A) + P( A)P( X = 2 | A)q1N -q4N - 3qNN4N=()2 +=，2XP0q4N1q2N24N - 3q4N即 X 的分布為（1） m =q+ 4N - 3q= 2N -q12N2N解出q 得q = N (2 - m ),N1q 的矩估計(jì)為q$ = N (2 - X ) = N2 - 1 (n+ 2n )n12n= N (2n - n1- 2n ) =2N (

10、2nn0+ n )1L( XL X ;q) = qn qn 4N - 3q n（2）1n0124N2N4N，ln L = n0(lnq - ln(4N) + n1(lnq - ln(2N) + n2(ln(4N - 3q) - ln(4N)d ln Lnn3ndqq0q14N3-2q=+-0 ，0 q14N3-2qn+ n=3n,得q 的極大似然估計(jì)q$ =4N (n3n0+ n ) .112. 設(shè)總體的分布列為截尾幾何分布P( X = k ) =q k -1 (1-q ),k = 1,2,L, r,P( X = r +1) =q r ，從中抽得樣本 X , X ,L, X，其中有 m 個(gè)取值

11、為 r +1 ，求q 的極大似然估計(jì)。12n解L( X1,L, Xn;q) =n-mXqii=1-1 (1-q )q mrn-m X -(n-m)i=q i=1(1-q )n-mq mr ,ln L = (n-m Xii=1- (n - m) + mr) lnq + (n - m) ln(1-q ),dqd ln L = (n-m X- n + m + mr) 1 - (n - m)1 0,解似然方程ii=1q1-qn-m Xi=1qi- n + m + mr= n - m1-q得q 的極大似然估計(jì)n-m X- n + m + mrnX- nq$ =ii=n-m X+ mr1iii=1=1.n

12、i=X- mii=113. 設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布 N (m,s 2 ),X1, X ,L, X2n是其樣本，（1）求C 使得s= C n -12i =1( X- X) 2i +1i是s 2的無偏估計(jì)量；（2）求 k 使得s = k ni=1解| X- X | 為s 的無偏估計(jì)量.i（1）Es2 = Cn-1 E( X- X)2 = Cn-1 D( X- X) + E( X- X)i=1i+1ii=1i+1ii+1i= Cn-1 (DX+ DX) = C 2(n -1)s 2i+1ii=1109可見當(dāng)C =12(n -1)時(shí)，s2= Cn-1 ( Xi=1- Xi+1i)2 是s 2 的無偏

13、估計(jì)量.（2） Es = k ni=1E | Xi- X | = k - 1 XE Xini- 1 X njj i= k ni=1X- 1 XE n -1ninjj i設(shè)Z =n -1 Xni- 1 X nij i，因 n -1 Xni N ( n -1 m,n(n -1)2n2s2 )n1 X N ( n -1 m,n -1n2s2 ) ，所以 Z N (0,n -1ns2 )nij in -1snZ N (0, 1) .EZn -1s=2pn因?yàn)?，所?E | Z |=2(n -1)sp n于是Es = k np2n(n -1)i=1E | Z |= k2n(n -1)/ ps故當(dāng)k =時(shí)

14、s = k n | Xii=1- X | 是s 的無偏估計(jì)。14. 設(shè) X1, X ,L, X2n是來自參數(shù)為l 的泊松分布總體的樣本，試證對任意的常數(shù) k ，統(tǒng)計(jì)量 kX + (1- k )S 2 是l 的無偏估計(jì)量。證E(kX + (1- k )S 2 ) = kEX + (1- k )ES 2 = kl + l - kl = l（此處利用了 X 是 EX 的無偏估計(jì)， S 2 是 DX 的無偏估計(jì)），所以對任意的 kX + (1- k )S 2 是l 的無偏估計(jì)。15. 設(shè)總體 X 有期望m, X1, X ,L, X2n為一樣本，問下列統(tǒng)計(jì)量是否為m 的無偏估計(jì)量？（1） 1 (X+ X

15、 ) ;（2） -X+ 2X;（3）101 (2X1+ 3X2+ 3X2n-11212+ 2X ) ;n（4） X(1)；（5） X(n)；（6） 1 ( X2(1)+ X) .(n)解（1），（2），（3）都是樣本的線性組合，而且組合系數(shù)之和為 1，故它們都是m 的無偏估計(jì)。但（4），（5），（6）一般不是 m 的無偏估計(jì)，如X B(1,p) ，則 P( X = 1) = p, P( X = 0) = 1- p, EX = m = p ，而 X是 0 就是 1，且P( X= 1) = P( X= 1, X= 1,L, X) = pn ，(1)12n=1不(1)故EX(1)= pn p即X(1

16、)不是m = p 的無偏估計(jì)。$ 216. 設(shè)q 是參數(shù)q 的無偏估計(jì)量，且有 Dq 估計(jì)量。 0 ，試證明q不是q 2 的無偏$ 2$證Eq= Dq + (Eq)2 = Dq +q 2$ 2 q 2 ，即q不是q 2 的無偏估計(jì)量.q$qq$q$注：該題說明：當(dāng)是未知參數(shù)的無偏估計(jì)時(shí)，的函數(shù) g() 不一定是q 的函數(shù) g(q ) 的無偏估計(jì)。17設(shè)總體 X N (m,s 2 ) ， X1, X , X23是來自 X 的樣本，試證估計(jì)量m= 1 X151+ 3 X102+ 1 X； m232= 1 X31+ 1 X+ 5 X，12423m= 1 X331+ 1 X62+ 1 X.23都是m

17、的無偏估計(jì)，并指出它們中哪一個(gè)最有效.10證E m= 1 EX+ 3 EX+ 1 EX= (1 + 3 + 1 )m = m1511022352E m= (1 + 1 + 5 )m = m23412E m= (1 + 1 + 1 )m = m3362故 m , m , m 都是m 的無偏估計(jì).123100Dm= 1 DX+9DX+ 1 DX=39 s 2 = 0.39s 2 ,1441251100243Dm= (1 + 1 + 25 )s 2 =50 s 2 = 0.347s 2 ，16291443636Dm= (1 + 1 + 1 )s 2 =14 s 2 = 0.389s 2 .394所以

18、 m 最有效.218. 設(shè)總體 X 服從區(qū)間1, q 上的均勻分布，q 1未知， X1,L, X是n取自 X 的樣本。（1）求q 的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)量；（2）上述兩個(gè)估計(jì)量是否為無偏估計(jì)量，若不是，請修正為無偏估計(jì)量；（3）問在（2）中兩個(gè)無偏估計(jì)量哪一個(gè)更有效。解 （1）先求矩估計(jì)m= EX = 1+q ，12q = 2m$1所以q 的矩估計(jì)為q-1，= 2 X -1再求極大似然估計(jì).L(xL x ;q) = n1=1，1 x, x ,L, xq1ni=1q -1(q -1)n12nL所以q 的極大似然估計(jì)為q$= X(n)（2） Eq= E(2 X -1) = 2EX -1 = 1+q

19、 -1 =q可見矩估計(jì)是q 的無偏估計(jì).為求q$的數(shù)學(xué)期望，先求q$= X的密度 f(x) .L總體 X 的分布函數(shù)為L(n)L0,x q.X(n)的分布函數(shù)為F (x) = F (x)n ,L所以f(x) = F (x) = nF (x) F (x)n-1 = nf (x) F (x)n-1LL(q -1)n= n(x -1)n-1 ,0,1 x q,其他.$qn(x -1)n-1nqq(q -1)n(q -1)nLEq= x dx =11(x -1)n dx + (x -1)n-1 dx1n(x -1)n+1 q(q -1)n=+ (x -1)n q n (q -1)n+1(q -1)nn

20、 +1(q -1)n n+ =n +1n11 nn +1= n q -1 + 1 =q +n +1n1n +1可見q$不是q 的無偏估計(jì)，若將q$L修正為q$ LLn +1q$n=L- 1 ，則q$ 是nLq 的無偏估計(jì)。（3） Dq$ = D(2 X -1) = 4DX =(q -1)23n$ 2qn(x -1)n-1n x2 (x -1)n q2q(q -1)n(q -1)nEq= x2dx =-x(x -1)n dxL1nn11nq 2 (q -1)n2x(x -1)n+1 q2q(q -1)n=-+nn(n +1)1(x -1)n+1 dxn(n +1)12q(q -1)2(q -1)

21、21= q2 -$ 2n +1$+ (n +1)(n + 2) = (n +1)(n + 2)(n +1)nq2 + 2nq + 2Dq= EqLL- (Eq)2Lqnq22nq2n22nq1(n + 2)(n +1)(n + 2)(n +1)(n + 2)(n +1)2(n +1)2(n +1)2=+-2 -nn22nq2nq1n + 2= -q 2 +-(n +1)2(n +1)(n + 2)(n +1)(n +1)2$ (n +1)2 n(n +1)2 - n2 (n + 2)-2n(n +1)q1n2(n + 2)(n +1)2=Dq Lq 2 +-(n +1)(n + 2)(n +1

22、)2n2n(n + 2)=q 2-2q- 1 (q -1)2 0 有l(wèi)im P 1 nX 2 - EX 2 e = 0 .n nii=1即1 nX 2 依概率收斂于m= EX 2 ，而 X 依概率收斂于m= EX ，由依概ni21i=1率收斂的性質(zhì).1 n ( X ninni=1- X )2= 1 nnn -1i=1X 2 - X 2 p mi2- m2 = EX 2 - (EX )2 = s 2 1n -1又由于 1 （當(dāng) n 時(shí)）而 S 2 =S*2 ，故 S 2 依概率收斂于s 2 ，從而S 2 是s 2 的相合估計(jì)。21. 設(shè) X , X ,L, X是來自總體 F (x,q) 的一個(gè)樣

23、本，q$( X ,L, X) 是$12nn1nq 的一個(gè)估計(jì)量，若 Eq=q + k , Dq= s 2 且lim k= lims 2 = 0nnnnnnnnn試證q$是q 的相合（一致）估計(jì)量。證由切比雪夫不等式，對任意的e 0 有P(|q$n于是-q - kn| e) Dq$e 2nen0 lim P(|q$-q - k| e) lim s 2 = 0nnnnn即q$n依概率收斂于q ，故q$是q 的相合估計(jì)。22. 設(shè) X1, X ,L, X2n是取自均勻分布在0,q 上的一個(gè)樣本，試證T= max( Xn1, X ,L, X2n) 是q 的相合估計(jì)。證T= Xn(n)的分布函數(shù)為 0

24、,t 0. ntn-1q n,0 t q,f(t) = F (t) = nf (t)F n-1 (t) = TTET= qn0q0,t q.q nq nn +1n +1qnnq n+1n t ndt =nn q n+2nn + 2ET 2 = n0q nq n n + 2所以tn+1dt =q 2nn2nq 2n + 2(n +1)2(n +1)2 (n + 2)DT=q 2 -q 2 =nnn +1q 由切比雪夫不等式有P T-n當(dāng) n 時(shí)e nq 2(n +1)2 (n + 2)e 2lim P T-e = lim PT-q e = 0nn +1q nnnn故T是q 的相合估計(jì).n23從一

25、批釘子中抽取 16 枚，測得長度（單位：厘米）為 2.14, 2.10, 2.13,2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11，設(shè)釘長分布為正態(tài)，試在下列情況下，求總體期望m 的置信度為 0.90 的置信區(qū)間。（1）已知s = 0.01厘米；（2）s 為未知.解X = 2.125,S 2 = 0.0029,S = 0.017（1） m 的置信區(qū)間為( X - us,n0.05X + u)sn0.05X = 2.125,u0.05= 1.645,s = 0.01,n = 16m 的置信區(qū)

26、間為(2.121,2.129) ；（2） m 的置信區(qū)間為( X - t0.05(15) S,X + t0.05(15)nSnt0.05(15) = 1.7531m 的置信區(qū)間為(2.1175, 2.1325) .24. 生產(chǎn)一個(gè)零件所需時(shí)間（單位：秒） X N (m,s 2 ) ，觀察 25 個(gè)零件的生產(chǎn)時(shí)間，得 X = 5.5, S = 1.73 ，試以 0.95 的可靠性求m 和s 2 的置信區(qū)Sn間.解 m 的置信區(qū)間為( X - t0.025(24)S,X + t0.025(24)n其中X = 5.5,t0.025(24) = 2.0639,S = 1.73, n = 25.所以m

27、的置信度 0.95 下的置信區(qū)間為5(5.5 - 2.0639 1.73 , 5.5 + 2.0639 1.73) = (4.7858, 6.2141)5s 2 的置信區(qū)間為(n -1)S 2c 2(n -1),(n -1)S 2a / 2c 21-a / 2(n -1) S 2 = 2.9929, c 20.025(24) = 39.364, c 20.975(24) = 12.401所以s 2 的置信區(qū)間為 24 2.992924.29929 = (1.8248, 5.7922) .12.40139.36425. 零件尺寸與規(guī)定尺寸的偏差 X N (m, s 2 ) ，令測得 10 個(gè)零件

28、，得偏差值（單位：微米）2, 1, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 3, 4 ，試求m,s 2 的無偏估計(jì)值和置信度為 0.90 的置信區(qū)間。解m 的無偏估計(jì)為 X =1 10 X= 210ii=1s 2 的無偏估計(jì)為 S 2= 1 nX 2 -10 4= 5.778S10m 的置信區(qū)間為9 ii=1( X - t0.05(9)S,X - t0.05(9)10X = 2, S = 2.404, t100.05(9) = 1.8331= 3.1623所以m 的置信度為 0.90 的置信區(qū)間為(2 -1.83312.404, 2 +1.8331) = (0.6064, 3.3935)；3.16

29、232.4043.1623s 2 的置信區(qū)間為(n -1)S 2c 2(n -1)(n -1)S 2a / 2c 21-a / 2(n -1) c 20.05(9) = 16.919,c 20.95(9) = 3.325所以s 2 的置信度 0.90 下的置信區(qū)間為 52.00216.91952.002 = (3.075,15.6397) .3.32526. 對某農(nóng)作物兩個(gè)品種計(jì)算了 8 個(gè)地區(qū)的單位面積產(chǎn)量如下： 品種 A：86，87，56，93，84，93，75，79；品種 B：80，79，58，91，77，82，74，66.假定兩個(gè)品種的單位面積產(chǎn)量，分別服從正態(tài)分布，且方差相等，試求平

30、均單位面積產(chǎn)量之差在置信度為 0.95 下的置信區(qū)間.解此題是在s 2 = s 2 的條件下求m- m 的置信區(qū)間.1212m- m12的置信區(qū)間為(X -Y -t(na/ 21+ n - 2)S2w1 + 1nn12, X -Y + t(na/ 21+ n - 2)Snn1 + 1122w其中X = 1 8X8ii=1= 81.625, S 21= 1 (8 7i=1X 2 - 8(81.625)2 ) = 145.60iY = 1 8 Y8i(8 -1)145.60 + (8 -1)102.1314i=1= 75.875, S 22= 1 (8 7i=1Y 2 - 8 (75.875)2

31、) = 102.13in1 + 11n2S= 11.129,= 1w2a = 0.05,t0.025(14) = 2.1448 .所以m1- m 的置信度為 0.95 下的置信區(qū)間為211(81.625-75.875- 2.144811.129, 81.625-75.875+ 2.144811.129)22= (-6.185, 17.685) .27. 設(shè) A 和 B 兩批導(dǎo)線是用不同工藝生產(chǎn)的，今隨機(jī)地從每批導(dǎo)線中抽取5 根測量電阻，算得 S 21= S 2A= 1.07 10-7 ， S 22= S 2B= 5.310-6 ，若 A 批導(dǎo)線的電阻服從 N (m1,s 2 ) 分布， B 批

32、導(dǎo)線的電阻服從 N (m 22,s 2 ) ，求s 212s 22的置信度為 0.90 的置信區(qū)間.s 21解s 22的置信區(qū)間為S 2 / S 2S 2 / S 22112 F(n 1212a / 21-1, n-1)F -a / 2 (n-1, n-1) 其中S 21= 1.07 10-7 , S 22= 5.310-6 , a = 0.10, F0.05(4, 4) = 6.39.F0.95s 2(4, 4) =1F(4, 4)0.05= 0.1565 .1所以s 22的置信度 0.90 下的置信區(qū)間為 1.07 / 53 ,1.07 / 53 = (0.0032,0.1290) .6.

33、390.156528. 兩臺機(jī)床加工同一種零件，分別抽取 6 個(gè)和 9 個(gè)零件測量其長度，算得 S 21= 0.245, S 22= 0.375 ，假定各臺機(jī)床零件長度服從正態(tài)分布，試求兩個(gè)總體方差比s 2 / s 2 的置信區(qū)間（置信度為 0.95）。12s 21解s 22的置信區(qū)間為S 2 / S 2S 2 / S 212 F(n 12,1221a / 21-1, n-1)F -a / 2 (n-1, n-1) 其中S 21= 0.245, S 22= 0.375, n6.761= 6, n2= 9, F.025(5, 8) = 4.82F0.975(5, 8) =1F(8, 5)0.02

34、5=1= 0.1479所以s 2 / s 2 的置信區(qū)間為12 0.245 / 0.375 ,0.245 / 0.375 = (0.1355,4.4173) .4.820.147929. 設(shè) X1, X , X2n是來自參數(shù)為l 的指數(shù)分布總體的一個(gè)樣本，試求l 的置信度為1-a 的置信區(qū)間.解由習(xí)題六的第 7 題知2lni=1X c 2 (2n) .i對于給定的a ，查c 2 分布表，求出臨界值c 2a / 2(2n) 和c 21-a / 2(2n) 使解出l 得P(c 21-a / 2(2n) 2lnXii=1 c 2a / 2(2n) = 1-a c 2(2n)c 22n1-a / 2X2na / 2XP l 0),X1, X , X為來2n自 X 的一個(gè)樣本，試?yán)?X信區(qū)間.解X 的分布函數(shù)為(n)/q 的分布導(dǎo)出未知參數(shù)q 的置信度為1-a 的置0,x q 0 ,q n t nt qqqZ =(n) 的分布函數(shù)為 FZ(z) = P(Z z) = P(n) z) = P( X(n)q z)0 ,= F(q z) = zn ,X ( n ) 1 ,z 1對于給定的a ，令P(t Xq(n