一題多解與一題多變在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

1、一題多解與一題多變在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用數(shù)學(xué)，是一門自然學(xué)科。對于所有的高中生來說，要學(xué)好這門學(xué)科，卻不是一件容易的事。大多數(shù)高中生對數(shù)學(xué)的印象就是枯燥、乏味、沒有興趣。但由于高考“指揮棒”的作用，又不得不學(xué)?！霸鯓硬拍軐W(xué)好數(shù)學(xué)？”成了學(xué)子們問得最多的問題。而怎樣回答這個(gè)問題便成了教師們的難題。很多人便單純的認(rèn)為要學(xué)好數(shù)學(xué)就是要多做題，見的題多了，做的題多了，自然就熟練了，成績就提高了！于是，“題海戰(zhàn)術(shù)”便受到很多教育工作者的青睞。熟話說，“熟能生巧”，當(dāng)然，多做體肯定對學(xué)生數(shù)學(xué)成績的提高有一定的好處。但長期這樣，只會(huì)使數(shù)學(xué)越來越枯燥，讓學(xué)生越來越厭煩，于是出現(xiàn)厭學(xué)、抄作業(yè)等現(xiàn)象。眾所周知，數(shù)

2、學(xué)題是做不完的。我認(rèn)為要使學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，還是要從提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣上下工夫。要利用書本上有限的例題和習(xí)題來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，通過利用一切有用條件，進(jìn)行對比、聯(lián)想，采取一題多解與一題多變的形式進(jìn)行教學(xué)。這對培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、深刻性、探索性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性無疑是一條有效的途徑。另外，能力提高的過程中，學(xué)生的成就感自然增強(qiáng)，并且在不斷的變化和解決問題的不同途徑中，興趣油然而生。 對于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)來說，教學(xué)過程的重點(diǎn)不外乎為：講解定義推導(dǎo)公式，例題演練，練習(xí)，及習(xí)題的安排。下面就一題多解與一題多變在教學(xué)中的運(yùn)用談?wù)勎覀€(gè)人的幾點(diǎn)看法。一、在公式的推導(dǎo)中

3、運(yùn)用一題多解數(shù)學(xué)的公式在數(shù)學(xué)的解題中的作用是非常巨大的。并且，要學(xué)好數(shù)學(xué)，就必須熟練的運(yùn)用公式。但很多學(xué)生對公式的記憶大多采取死記硬背的方法，對公式的推導(dǎo)往往不夠重視。其實(shí)，公式的推導(dǎo)過程就是一種解題的方法，或是一種解題技巧。我們?nèi)绻诠降耐茖?dǎo)過程中運(yùn)用一題多解的話，就會(huì)讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的產(chǎn)生過程中同時(shí)掌握解題的規(guī)律和方法，也便于公式的理解記憶。例如：在學(xué)習(xí)等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d時(shí)，方法一：由此得到 an=a1+(n-1)d方法二：有等差數(shù)列定義知： 所以有 累加得 從而得到 an=a1+(n-1)d方法二就是我們常用的求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法累差法。這樣的話，學(xué)生對這個(gè)公式的

4、產(chǎn)生過程印象就更深刻，對公式也就更難忘。另外，在記憶公式的同時(shí)，也學(xué)到了重要的數(shù)學(xué)方法和思路，更有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。這種實(shí)例在高中階段的新課教學(xué)中還有很多，就不一一列舉。二、在例題講解中運(yùn)用一題多解和一題多變一題多變和一題多解的變式在教學(xué)之中，往往能起到一座橋的作用，在最近發(fā)展區(qū)之中能把學(xué)生從已知的彼岸渡到未知的彼岸。一題多解，一道數(shù)學(xué)題，因思考的角度不同可得到多種不同的思路，廣闊尋求多種解法，有助于拓寬解題思路，發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生分析問題的能力。一題多變，對一道數(shù)學(xué)題或聯(lián)想，或類比，或推廣，可以得到一系列新的題目，甚至得到更一般的結(jié)論，積極開展多種變式題的求解，哪怕是不能解決

5、，有助于學(xué)生應(yīng)變能力的養(yǎng)成，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的形成，增強(qiáng)學(xué)生面對新問題敢于聯(lián)想分析予以解決的意識。在例題講解中運(yùn)用一題多解和一題多變，就不用列舉大量的例題讓學(xué)生感到無法接受。而是從一個(gè)題中獲得解題的規(guī)律，技巧，從而舉一反三。下面僅舉一例進(jìn)行一題多解和一題多變來說明：例：已知x、y0且x+y=1，求x2+y2的取值范圍。解答此題的方法比較多，下面給出幾種常見的思想方法，以作示例。解法一：（函數(shù)思想）由x+y=1得y=1-x，則 x2+y2= x2+（1-x）2=2x22x+1=2（x）2+由于x0，1，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知當(dāng)x=時(shí)，x2+y2取最小值；當(dāng)x=0或1時(shí)，x2+y2取最大值1。

6、評注：函數(shù)思想是中學(xué)階段基本的數(shù)學(xué)思想之一，揭示了一種變量之間的聯(lián)系，往往用函數(shù)觀點(diǎn)來探求變量的最值。對于二元或多元函數(shù)的最值問題，往往是通過變量替換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來解決，這是一種基本的數(shù)學(xué)思想方法。解決函數(shù)的最值問題，我們已經(jīng)有比較深的函數(shù)理論，函數(shù)性質(zhì)，如單調(diào)性的運(yùn)用、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用等都可以求函數(shù)的最值。解法二：（三角換元思想）由于x+y=1，x、y0，則可設(shè) x=cos2，y=sin2 其中0，則x2+y2= cos4+sin4=（cos2+sin2）22 cos2sin2 =1（2sincos）2=1sin22=1=+ cos4于是，當(dāng)cos4=1時(shí)，x2+y2取最小值； 當(dāng)cos4=1時(shí)

7、，x2+y2取最小值1。評注：三角換元思想也是高中數(shù)學(xué)的基本思想方法之一，通過三角換元就將問題轉(zhuǎn)化為三角恒等式變形后來解決，而三角恒等變形卻有著一系列的三角公式，所以運(yùn)用三角換元解決某些問題往往比較方便。解法三：（對稱換元思想）由于x+y=1，x、y0，則可設(shè) x=+t， y=t，其中t，于是，x2+y2= （+t）2+（t）2=+2t2 t20，所以，當(dāng)t2=0時(shí)，x2+y2取最小值；當(dāng)t2=時(shí)，x2+y2取最大值1。評注：對稱換元將減元結(jié)果進(jìn)行簡化了，從而更容易求最值。這三種方法，在本質(zhì)上都一樣，都是通過函數(shù)觀點(diǎn)來求最值，只是換元方式的不同而已，也就導(dǎo)致了化簡運(yùn)算量大小不同，教師通過引導(dǎo)、

8、啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考、運(yùn)用，提高了學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，也增強(qiáng)了學(xué)生思維能力的提高。解法四：（運(yùn)用基本不等式）由于x、y0且x+y=1則 xy=，從而0xy于是，x2+y2=（x+y）22xy=12xy所以，當(dāng)xy=0時(shí)，x2+y2取最大值1；當(dāng)xy=時(shí)，x2+y2取最小值。評注：運(yùn)用基本不等式可以解決一些含有兩個(gè)未知量的最值問題，但要注意等號成立的條件是否同時(shí)滿足。yxOAB11C解法四：（解析幾何思想）設(shè)d=，則d為動(dòng)點(diǎn)C（x，y）到原點(diǎn)（0，0）的距離，于是只需求線段上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大和最小距離就可。當(dāng)點(diǎn)C與A或B重合時(shí)，dmax=1，則（x2+y2）max=1當(dāng)OCAB時(shí)dmin=，則（x2+

9、y2）min=評注：用幾何的觀點(diǎn)研究代數(shù)問題，可以加強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的養(yǎng)成，使學(xué)生在數(shù)和形的理解把握好一個(gè)聯(lián)系的尺度，能夠由數(shù)想到形的意義，由形想到數(shù)的結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到快速解決這類問題的目的。事實(shí)上，有許多解析幾何最值問題和代數(shù)中許多最值問題都可以用類似的方法解決，這對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，有著很積極的作用。yxOAB11解法五：（數(shù)形結(jié)合思想）設(shè)x2+y2=r2（r0），此二元方程表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、半徑為r的動(dòng)圓，記為F。于是，問題轉(zhuǎn)化為F與線段有公共點(diǎn)，求r的變化范圍。當(dāng)F經(jīng)過線段AB端點(diǎn)時(shí)rmax=1；當(dāng)F與線段AB相切時(shí)rmin= 則 x2+y21 評注：此解法與解法四并無本質(zhì)區(qū)

10、別，關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的形成。至此，解答本題的幾種常見方法介紹完畢，下面展示對本題的變式和推廣。 變式1：已知a、b為非負(fù)數(shù)，M=a4+b4，a+b=1，求M的最值。 變式2：已知x、y0且x+y=1，能求x8+y8的取值范圍嗎？x8+y6呢？x7+y7的范圍能求嗎？ 變式3：若x、y0且x+y=1，能求得xn+yn1的結(jié)論嗎？這樣一個(gè)由特殊性逐步一般化的思維過程，加強(qiáng)了學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，通過這樣一系列的一題多解和一題多變，培養(yǎng)了學(xué)生的綜合分析能力、提高了學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，滲透了一些數(shù)學(xué)方法，體現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)思想，也提供了一個(gè)推向一般性的結(jié)論。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,若將經(jīng)典例題充分挖掘，注重對例題進(jìn)行

11、變式教學(xué),不但可以抓好基礎(chǔ)知識點(diǎn),還可以激發(fā)學(xué)生的探求欲望,提高創(chuàng)新能力；不僅能讓教師對例題的研究更加深入，對教學(xué)目標(biāo)和要求的把握更加準(zhǔn)確，同時(shí)也讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到進(jìn)一步提高，并逐漸體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。當(dāng)然，在新課的教學(xué)中有些方法所用的知識，學(xué)生還未學(xué)到，此時(shí)，我們可從中挑選學(xué)生學(xué)過的知識。其他方法可在今后的總復(fù)習(xí)中給出。三、在練習(xí)和習(xí)題中訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用一題多解和一題多變在數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多老師在課后給學(xué)生布置除書上練習(xí)題和習(xí)題以外的大量習(xí)題。使學(xué)生感到負(fù)擔(dān)很重。很多學(xué)生根本無法完成，便出現(xiàn)了抄作業(yè)的現(xiàn)象。對數(shù)學(xué)的厭惡感便油然而生。還有老師從網(wǎng)上尋找各種各樣的所謂的新穎題布置給學(xué)生做。這樣

12、也只會(huì)挫傷學(xué)生的自信心。我們?yōu)槭裁床荒軓臅系牧?xí)題入手，進(jìn)行演變，逐漸加深。讓學(xué)生有規(guī)律可尋，循序漸進(jìn)。日積月累過后，學(xué)生解題能力自然提高，對于從未見過的新題也會(huì)迎刃而解。另外，我們在把變式題布置給學(xué)生的同時(shí)，便可要求學(xué)生運(yùn)用一題多解，甚至可以要求學(xué)生自己對題型進(jìn)行變式。這樣的作業(yè)方式不只可以達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固的目的，還可以提高學(xué)生的探究能力及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。例如，在學(xué)習(xí)拋物線后，在習(xí)題中出現(xiàn)了以下一題：過拋物線y2=2px 焦點(diǎn)的一條直線和這條拋物線相交，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)縱坐標(biāo)為y1，y2，求證：y1y2=-p2。（設(shè)線段AB為過拋物線焦點(diǎn)的弦）此題證明并不難，但其結(jié)論卻很有用，關(guān)鍵是運(yùn)用其結(jié)論。在布置此題給學(xué)生時(shí)我們便可以有針對性的演變。如變成（1）證明：過拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線與拋物線的準(zhǔn)線，三點(diǎn)共線。（2）證明：拋物線焦點(diǎn)弦中點(diǎn)與其端點(diǎn)切線的交點(diǎn)的連線，平行于拋物線的對稱軸。（3）證明：拋物線焦點(diǎn)弦中點(diǎn)與其端點(diǎn)切線的交點(diǎn)連結(jié)線段，等于焦點(diǎn)弦長的一半，并且被這條拋物線平分。另外，我們還可以讓學(xué)生自己變式，便還可能出現(xiàn)如下變式：（4）證明：拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線互相垂直。（5）證明：拋物線的準(zhǔn)線是其焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線的交點(diǎn)的軌跡。（6）證明：過拋物線焦點(diǎn)一端，作準(zhǔn)線的垂線，