上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

1、華東師大二附中2019屆高二數(shù)學(xué)期中考試試卷一、填空題：1.設(shè)是平面外兩條直線，且，那么是的_條件.【答案】充分不必要【解析】【分析】判斷由能否得到，再判斷由能否得到【詳解】證明充分性：若，結(jié)合，且在平面外，可得，是充分條件；證明必要性：若，結(jié)合，且是平面外，則可以平行，也可以相交或者異面，所以不是必要條件.故填“充分不必要”【點(diǎn)睛】本題考查空間線面平行，線線平行之間的關(guān)系，充分條件和必要條件，屬于簡單題.2.已知直線及平面，下列命題中：；.所有正確命題的序號(hào)為_.【答案】【解析】【分析】直線還可能在面內(nèi)，直線與平面也可能平行, 直線還可能在面內(nèi), 正確.【詳解】 直線與平面可能平行，也可能在

2、面內(nèi)，所以錯(cuò)誤 直線與平面可能垂直，也可能平行，所以錯(cuò)誤. 直線與平面可能平行，也可能在面內(nèi)，所以錯(cuò)誤. 可以得到直線與平面垂直，所以正確. 【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，屬于簡單題.3.地球北緯圈上有兩地分別在東經(jīng)和處，若地球半徑為，則兩地的球面距離為_.【答案】【解析】【分析】由于甲、乙兩地在同一緯度圈上，計(jì)算經(jīng)度差，求出甲、乙兩地對(duì)應(yīng)的弦長，以及球心角，然后求出球面距離【詳解】地球表面上從地（北緯，東經(jīng)）到地（北緯，西經(jīng)）兩地都在北緯上，對(duì)應(yīng)的的緯圓半徑是,經(jīng)度差是所以所以球心角是所以兩地的球面距離是.【點(diǎn)睛】本題考查球面距離及其他計(jì)算，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題4.

3、如果一個(gè)球和立方體的每條棱都相切，那么稱這個(gè)球?yàn)榱⒎襟w的棱切球，那么單位立方體的棱切球的體積是_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圖形很容易找到球的半徑，再計(jì)算體積得到答案.【詳解】球和立方體的每條棱都相切，則球的直徑為立方體的面對(duì)角線長度，所以單位立方體的棱切球的半徑為所以球的體積為【點(diǎn)睛】考查空間想象能力，球的體積計(jì)算，是基礎(chǔ)題5.若三棱錐的所有的頂點(diǎn)都在球的球面上，且平面，則球的表面積為_【答案】【解析】 如圖，三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上， 因?yàn)槠矫妫?所以，所以，所以截球所得的圓的半徑，所以球的半徑， 所以球的表面積為.點(diǎn)睛：本題主要考查了有關(guān)球的組合體問題，其中解答中涉及到直線與平面

4、垂直的性質(zhì)，球的性質(zhì)和球的表面公式等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，試題有一定的難度，屬于中檔試題，此類問題的解答中正確把握組合體的結(jié)構(gòu)特征，正確應(yīng)用球的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.6.如圖所示，四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱，則它的5個(gè)面中，互相垂直的面有_對(duì).【答案】5【解析】由勾股定理逆定理得PAAD，PAAB，PA面ABCD，PACD，PACB.由直線與平面垂直的判定定理及平面與平面垂直的判定定理易得結(jié)論平面PAB平面PAD，平面PAB平面ABCD，平面PAB平面PBC，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面PCD.答案：5.7.下圖由一個(gè)邊長為2正方形及四個(gè)正三角形構(gòu)成，將4個(gè)正三角形沿著其與正方形的公

5、共邊折起后形成的四棱錐的體積為_.【答案】【解析】【分析】畫出立體圖形，通過底面對(duì)角線的一半，側(cè)棱，以及高所構(gòu)成的直角三角形，求出高，再求出四棱錐的體積.【詳解】根據(jù)平面圖形可得四棱錐側(cè)棱長度為2，底面正方形的邊長為2，其對(duì)角線長度為，在底面對(duì)角線的一半，側(cè)棱，以及高所構(gòu)成的直角三角形，高的長度為所以四棱錐的體積為【點(diǎn)睛】本題考查平面圖形與立體圖形的關(guān)系，求四棱錐的體積，屬于簡單題.8.有一塊四邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形,如圖所示，則這塊菜地的面積為_.【答案】【解析】【分析】先確定直觀圖中的線段長，再確定平面圖形中的線段長，即可求得圖形的面積【詳解】在直觀圖中

6、， ， 原來的平面圖形上底長為，下底為，高為平面圖形的面積為【點(diǎn)睛】本題考查斜二測畫法，直觀圖與平面圖形的面積的比例關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力屬于簡單題.9.四面體的6條棱所對(duì)應(yīng)的6個(gè)二面角中，鈍二面角最多有_個(gè).【答案】3【解析】【分析】通過定性分析，對(duì)四面體取特殊情況可以得到鈍二面角的個(gè)數(shù)【詳解】將三棱錐的頂點(diǎn)，向下壓到與底重合，側(cè)面的3個(gè)二面角都是，將這個(gè)頂點(diǎn)稍稍提高一點(diǎn)點(diǎn)，離開底面，此時(shí)3個(gè)側(cè)面的二面角都是鈍角.【點(diǎn)睛】本題考查利用極限思想，通過定性分析來解決問題，屬于簡單題.10.如圖1，平面中的角的內(nèi)角平分線分面積所成的比，把這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐（如圖2）中，平面平分二面角且

7、與相交于，則類比的結(jié)論是_.【答案】【解析】二、選擇題：11.當(dāng)我們停放自行車時(shí)，只要將自行車旁的撐腳放下，自行車就穩(wěn)了，這用到了（ ）A. 三點(diǎn)確定一平面B. 不共線三點(diǎn)確定一平面C. 兩條相交直線確定一平面D. 兩條平行直線確定一平面【答案】B【解析】【分析】自行車前后輪與撐腳分別接觸地面，使得自行車穩(wěn)定,此時(shí)自行車與地面的三個(gè)接觸點(diǎn)不在同一條線上.【詳解】自行車前后輪與撐腳分別接觸地面，此時(shí)三個(gè)接觸點(diǎn)不在同一條線上,所以可以確定一個(gè)平面，即地面，從而使得自行車穩(wěn)定.故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查不共線的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，屬于簡單題.12.正方體被平面所截得的圖形不可能是（ ）A. 正三角形

8、B. 正方形C. 正五邊形D. 正六邊形【答案】C【解析】【分析】平面與正方形相交與不同的位置，可以出現(xiàn)正三角形，正方形，正六邊形，不可能出現(xiàn)正五邊形【詳解】如圖所示，平面與正方形相交與不同的位置，可以出現(xiàn)正三角形，正方形，正六邊形，不可能出現(xiàn)正五邊形，故選C項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題考查正方形的截面圖形，空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.13.如圖，正方體的棱線長為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A. B. C. 三棱錐的體積為定值D. 【答案】D【解析】可證，故A正確；由平面ABCD，可知，B也正確；連結(jié)BD交AC于O，則AO為三棱錐的高，三棱錐的體積為為定值，C正確；D錯(cuò)誤。選D。14.

9、由一些單位立方體構(gòu)成的幾何圖形，主視圖和左視圖如圖所示，則這樣的幾何體體積的最小值是（ ）（每個(gè)方格邊長為1）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】通過主視圖和左視圖分析出原幾何體的形狀，可以得到原幾何體的體積【詳解】通過主視圖和左視圖分析出原幾何體的形狀如圖所示，可知最少共有5個(gè)單位立方體.則幾何體的體積最小值為5故選A項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原幾何體，空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：15.在正方體中，分別是的中點(diǎn).求證：空間四邊形是菱形.【答案】證明見解析【解析】【分析】取中點(diǎn)，連接，證明四邊形，都是平行四邊形，從而得到四邊形是平行四邊形，再證明，得到空間四邊

10、形是菱形.【詳解】證明：取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，則，四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，又,，空間四邊形是菱形.【點(diǎn)睛】本題考查正方體內(nèi)線段之間的關(guān)系，空間四邊形的證明，屬于簡單題.16.在棱長為2的正方體中，（如圖）是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面的中心.（1）求三棱錐的體積；（2）求異面直線與的夾角；（3）求與底面所成的角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）對(duì)三棱錐換底，換成以為頂點(diǎn)，為底的三棱錐，求出底面的面積和對(duì)應(yīng)的高，得到所求的體積.（2）找到異面直線與所成的角，在內(nèi)由余弦定理求出.（3）取中點(diǎn)，連接，通過證明平面，找到即為與底面所成

11、的角，求解即可.【詳解】（1） （2），或其補(bǔ)角即為異面直線與所成角，在，異面直線與所成角為 （3）取中點(diǎn)，連接，且平面，平面，即為與底面所成的角，與底面所成的角的大小為.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐等體積轉(zhuǎn)化，求異面直線所成的角，直線與平面所成的角，屬于中檔題.17.如圖，在正三棱柱中，是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且.（1）若，求證：； （2）求二面角的余弦值；（3）若直線與平面所成角的大小為，求的最大值【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，通過線線垂直證明平面，從而得到（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則即為二面角的平面角，再利用余弦定理求出其余弦值.（3）利用等體積法，求

12、出到平面的距離及的長度，從而表示出關(guān)于的函數(shù)，求出最大值.【詳解】（1）取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)和，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，同理，平面，；（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接， 則，即為二面角平面角，設(shè)，則，即二面角的余弦值為（3）設(shè)，到平面的距離為，則，由等體積法，即，可得，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查通過線面垂直證明線線垂直，二面角的求法，以及線面角的正弦值的表示，屬于中檔題.18.平面圖形很多可以推廣到空間中去，例如正三角形可以推廣到正四面體，圓可以推廣到球，平行四邊形可以推廣到平行六面體，直角三角形也可以推廣到直角四面體，如果四面體中棱兩兩垂直，那么稱四面體為直角四面體. 請(qǐng)類比直角

13、三角形中的性質(zhì)給出2個(gè)直角四面體中的性質(zhì)，并給出證明.（請(qǐng)?jiān)诮Y(jié)論中選擇1個(gè)，結(jié)論4，5中選擇1個(gè)，寫出它們?cè)谥苯撬拿骟w中的類似結(jié)論，并給出證明，多選不得分，其中表示斜邊上的高，分別表示內(nèi)切圓與外接圓的半徑）直角三角形直角四面體條件結(jié)論1結(jié)論2結(jié)論3結(jié)論4結(jié)論5【答案】證明見解析【解析】分析】結(jié)論1：分別表示，然后證明結(jié)論2：在中利用等面積法，表示出高，然后分別表示，再證明結(jié)論3：利用結(jié)論2中得到的的表達(dá)式，再表示出，再證明結(jié)論4：內(nèi)切球的球心與四個(gè)頂點(diǎn)相連接，把三棱錐分成四個(gè)小的三棱錐，利用進(jìn)行證明結(jié)論5：將直角四面體補(bǔ)形成為以為長、寬、高的長方體，再進(jìn)行證明.【詳解】記的面積依次為，平面與所成角依次為，點(diǎn)到平面的距離為分別表示內(nèi)切球與外接球的半徑，內(nèi)切球的球心為，直角三角形直角四面體條件 結(jié)論1結(jié)