化歸思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1、【摘要】化歸思想是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的思想方法之一。本文從化歸的功能，化歸的原則，化歸的思維模式以及中學(xué)數(shù)學(xué)中化歸的基本形式，化歸的特點(diǎn)等內(nèi)容出發(fā)，力求比較全面地體現(xiàn)化歸思想在初中數(shù)學(xué)解題中的作用和地位?！娟P(guān)鍵詞】化歸思想 化歸的原則 教學(xué)策略 化歸思想要點(diǎn)新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)為其他科學(xué)提供了語(yǔ)言、思想和方法，是一切重大技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)?！薄敖處煈?yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈骄亢秃献鹘涣鞯倪^(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！睆闹形覀兛梢钥闯鲂抡n程標(biāo)準(zhǔn)下的數(shù)學(xué)教學(xué)更加突出培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想的重要性，而數(shù)學(xué)思想

2、同樣離不開(kāi)數(shù)學(xué)方法的支持。數(shù)學(xué)是一門演繹推理的學(xué)科。它的任一分支在其內(nèi)容展開(kāi)過(guò)程中，都有形或無(wú)形地存在著如下的結(jié)論鏈：原始概論結(jié)論A結(jié)論B結(jié)論C從中我們可以發(fā)現(xiàn)，在解決某一個(gè)具體問(wèn)題時(shí)，不必都從原始概念開(kāi)始，而只要把待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為結(jié)論鏈中的某一環(huán)節(jié)即可。所以，初中數(shù)學(xué)中，化歸思想的運(yùn)用尤為突出，本文結(jié)合自己的工作實(shí)際對(duì)化歸思想提出了一些自己的看法。一、化歸思想的涵義和作用化歸思想，又稱轉(zhuǎn)換思想或轉(zhuǎn)化思想，是一種把待解決或未解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或比較容易解決的問(wèn)題中去，最終求得問(wèn)題解答的數(shù)學(xué)思想?；瘹w法和數(shù)形結(jié)合方法是轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)方法論上的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)中普遍適用

3、的重要方法。二、化歸思想的基本原則數(shù)學(xué)中的化歸有其特定的方向，一般為：化復(fù)雜為簡(jiǎn)單；化抽象為具體；化生疏為熟悉；化難為易；化一般為特殊；化特殊為一般；化“綜合”為“單一”；化“高維”為“低維”等。為更好地把握化歸方向，我們必須遵循一些化歸的基本原則，化歸思想的基本原則主要有熟悉化原則、簡(jiǎn)單化原則、具體化原則、極端化原則、和諧化原則。熟悉化原則熟悉化就是把我們所遇到的“陌生”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們較為“熟悉”的問(wèn)題，以便利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，使問(wèn)題得到解決。這也是我們常說(shuō)的通過(guò)“舊知”解決“新知”。學(xué)習(xí)是新舊知識(shí)相互聯(lián)系、相互影響的過(guò)程。奧蘇伯爾說(shuō)，影響學(xué)習(xí)的最重要的因素是學(xué)生已知的內(nèi)容。在教學(xué)的應(yīng)用策

4、略中，他提出了設(shè)計(jì)“先行組織者”的做法，也就是在學(xué)生“已經(jīng)知道的知識(shí)”和“需要知道的知識(shí)”之間架起橋梁。這樣有利于學(xué)生解決問(wèn)題。簡(jiǎn)單化原則簡(jiǎn)單化原則就是把比較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的易于確定解決方案的問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲解。中學(xué)數(shù)學(xué)受多年應(yīng)試教育的影響，有些問(wèn)題被復(fù)雜化了，而學(xué)生對(duì)于這類問(wèn)題卻又相當(dāng)頭疼，所以通過(guò)化歸，將問(wèn)題變?yōu)楸容^簡(jiǎn)單的形式、關(guān)系結(jié)構(gòu)，或者通過(guò)問(wèn)題的簡(jiǎn)單化，獲得解決復(fù)雜問(wèn)題的思路，往往更容易讓學(xué)生接受。具體化原則具體化就是把比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較具體、直觀的問(wèn)題，以便形象地把握問(wèn)題所涉及的各個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系，使問(wèn)題易于求解。新課程標(biāo)準(zhǔn)提出：數(shù)學(xué)教學(xué)要緊密聯(lián)系生活實(shí)際，注重探

5、索和合作，由具體到抽象。但絕不是只要讓學(xué)生直觀感受,滿足于具體的現(xiàn)象而忽視問(wèn)題的本質(zhì)。對(duì)于抽象的關(guān)系,可以讓學(xué)生對(duì)一些具體的關(guān)系進(jìn)行觀察、比較、分析、歸納,逐步提高他們的思維的能力。極端化原則極端化原則就是運(yùn)用極端化位置或狀態(tài)的特性引出一般位置或狀態(tài)下的特性，從而獲得解決問(wèn)題的思路。這也是我們常說(shuō)的從一般到特殊再到一般。和諧化原則所謂“和諧”指的是配合得適當(dāng)和勻稱。和諧化原則就是在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行化歸時(shí)，要注意把條件和結(jié)論的表現(xiàn)形式轉(zhuǎn)化為更具數(shù)、式與形內(nèi)部固有的和諧統(tǒng)一特點(diǎn)的形式，以幫助我們?nèi)ゴ_定解決問(wèn)題的方法。三、化歸思想的要點(diǎn)化歸思想方法的主要特點(diǎn)是它的靈活性和多樣性。一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，組成主要元素

6、之間的相互依存和相互聯(lián)系的形式是可變的，其形式并非唯一，而是多種多樣。所以應(yīng)用數(shù)學(xué)變換的方法去解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，就沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的模式可以遵循。因此，我們必須根據(jù)問(wèn)題本身提供的信息，利用動(dòng)態(tài)的思維，具體問(wèn)題具體分析，去尋求有利于問(wèn)題解決的化歸途徑和方法。1、注意緊盯化歸目標(biāo)，保證化歸的有效性、規(guī)范性化歸作為一種思想方法，應(yīng)包括化歸的對(duì)象、化歸的目標(biāo)、以及化歸的方法、途徑三個(gè)要素。因此，化歸思想方法的實(shí)施應(yīng)有明確的對(duì)象、設(shè)計(jì)好目標(biāo)、選擇好方法。而設(shè)計(jì)目標(biāo)是問(wèn)題的關(guān)鍵。設(shè)計(jì)化歸目標(biāo)時(shí)，總是以課本中那些基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法在應(yīng)用上已形成固定的問(wèn)題（通常稱為規(guī)范性問(wèn)題）為依據(jù)，而把要解決的問(wèn)題化歸為成規(guī)

7、律問(wèn)題（即問(wèn)題的規(guī)范化）?；瘹w能不能如期完成，與化歸方法的選擇有關(guān)，同時(shí)還要考慮到化歸目標(biāo)的設(shè)計(jì)與化歸方法的可行性、有效性。因此，在解題過(guò)程中，始終必須緊緊盯住化歸的目標(biāo)，即始終應(yīng)該考慮這樣的問(wèn)題：怎樣才能達(dá)到解原問(wèn)題的目的。在這個(gè)大前提下，實(shí)施的化歸才是卓有成效的，盲目地選擇化歸的方向與方法必將走入死胡同。2、注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，保證邏輯上的正確化歸包括等價(jià)化歸和非等價(jià)化歸，在中學(xué)數(shù)學(xué)中的化歸多為等價(jià)化歸，等價(jià)化歸要求轉(zhuǎn)化過(guò)程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果為原題的結(jié)果。3、注意轉(zhuǎn)化的多樣性，設(shè)計(jì)合理的轉(zhuǎn)化方案在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，同一轉(zhuǎn)化目標(biāo)的達(dá)到，往往可能采取多種轉(zhuǎn)化途徑和方

8、法。因此研究設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的轉(zhuǎn)化途徑是十分必要的，必須避免什么問(wèn)題都死搬硬套，造成繁難不堪。四、化歸思想在解題中的應(yīng)用1、化未知問(wèn)題為已知問(wèn)題該法采取的措施是不對(duì)問(wèn)題直接攻擊，而是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化。直至把它化歸為某個(gè)（些）已經(jīng)解決的問(wèn)題或容易解決的問(wèn)題。例.如圖，梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)，且ACBD，AD=3，BC=5，求AC的長(zhǎng)。分析：此題是根據(jù)梯形對(duì)角線互相垂直的特點(diǎn)，通過(guò)平移對(duì)角線將等腰梯形轉(zhuǎn)化為直角三角形和平行四邊形，使問(wèn)題得以解決。解：過(guò)D作DEAC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則得AD=CE，AC=DE，所以BE=BC+CE=8。ACBDBDDE

9、又AB=CDAC=BDBD=DE在RtBDE中， BD= 即AC=2、化新問(wèn)題為舊問(wèn)題將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，運(yùn)用自己熟悉的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解決。例：教材中解二元一次方程是通過(guò)降次化歸成一元一次方程；解二元一次方程組或三元一次方程組是通過(guò)消元化歸成一元一次方程或二元一次方程組；解分式方程是化歸成整式方程；異分母分?jǐn)?shù)的加減法，通過(guò)通分轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)的加減法；多邊形的內(nèi)角和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和來(lái)解決；梯形的中位線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的中位線來(lái)解決。這些問(wèn)題都是通過(guò)化新問(wèn)題為舊問(wèn)題，從而使問(wèn)題得以解決。3、化復(fù)雜問(wèn)題為簡(jiǎn)單問(wèn)題有些數(shù)學(xué)問(wèn)題結(jié)構(gòu)復(fù)雜，若用常規(guī)手法過(guò)程繁瑣，對(duì)這個(gè)問(wèn)題，可以從其

10、結(jié)構(gòu)入手，將結(jié)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，另辟解題途徑。例：已知,求的值。分析：此題通過(guò)“化零散為整體”或利用降次來(lái)轉(zhuǎn)化，可使問(wèn)題得以解決。解法一： =x(1x)+2(1x)+2009 = = =2010解法二：原式= =20104、特殊問(wèn)題與一般問(wèn)題的轉(zhuǎn)化特殊問(wèn)題與一般問(wèn)題的轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)化歸的常用方法之一，其采取的措施主要是聯(lián)系已學(xué)過(guò)的各種知識(shí)利用數(shù)學(xué)的整體統(tǒng)一思想，將碰到的難解決的特殊問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般的知識(shí)點(diǎn)或?qū)⒁话愕膯?wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題，以便套用公式或定理等解決。例3：如圖，已知兩個(gè)半圓，大半圓的弦AB與小半圓相切，且AB CD。AB=6cm，求圖中陰影部分面積。分析：要求陰影面積，即大半圓面積減去小半圓面積

11、。但在這里兩個(gè)半圓的半徑都未知，在圖（1）中較難發(fā)現(xiàn)兩個(gè)半徑與AB的關(guān)系，若把圖（1）中小半圓移動(dòng)，使兩個(gè)半圓的圓心重合，如圖（2），陰影部分的面積不變。此時(shí)我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)兩個(gè)半圓的半徑的平方差等于的平方，這樣便可求得圖中陰影部分面積。解：設(shè)大半圓和小半圓的半徑分別為R和r，則 5、化代數(shù)問(wèn)題為幾何問(wèn)題（即數(shù)形轉(zhuǎn)化思想）著名的數(shù)學(xué)家華羅庚教授曾在一首詩(shī)中寫(xiě)道：數(shù)形結(jié)合百般好，兩家分離萬(wàn)事休。這一句話道出了數(shù)形結(jié)合這一方法的重要性。數(shù)形結(jié)合是把函數(shù)、方程、不等式等代數(shù)形式中的量與量的關(guān)系，同幾何圖形的位置關(guān)系相結(jié)合，以形論數(shù)或以數(shù)論形。因數(shù)能入微，形可直觀，二者結(jié)合起來(lái)能使隱含的條件明顯化；使抽象

12、的概念形象化；使繁雜的運(yùn)算簡(jiǎn)捷化；可以靈活、直觀地解決問(wèn)題。例：已知直線 x軸、y軸的交點(diǎn)分別是B、A，直線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別是D、C。求四邊形ABCD的面積.分析：欲求四邊形ABCD的面積，先在同一坐標(biāo)系中把它的圖象畫(huà)出，如下圖，由于直接求不易得出，可把四邊形ABCD分成ABD和BCD來(lái)求。解：在直線中，當(dāng)x0時(shí)，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），當(dāng)時(shí)，x2，所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）；在直線中，當(dāng)x0時(shí)，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）.當(dāng)時(shí)，x6，所以D點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，0）.函數(shù)圖象如右圖：=五、化歸思想方法的教學(xué)策略縱觀整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)，我們不難發(fā)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)教材中有很多問(wèn)題都是需要用化歸思想來(lái)解決

13、，化歸思想在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有著舉足輕重的作用，是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想。那么如何在日常教學(xué)中更好的滲透和落實(shí)化歸思想呢？1、夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)是落實(shí)化歸思想方法教學(xué)的基礎(chǔ)擁有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)、掌握完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)是實(shí)現(xiàn)化歸的基礎(chǔ)。教學(xué)實(shí)踐告訴我們，數(shù)學(xué)優(yōu)等生與差生區(qū)分的第一標(biāo)準(zhǔn)就是基礎(chǔ)知識(shí)及知識(shí)結(jié)構(gòu)掌握的程度不同，教學(xué)過(guò)程中，夯實(shí)基礎(chǔ)、完善知識(shí)結(jié)構(gòu)可從以下幾個(gè)方面做起：a、重視概念、公式、法則等基本數(shù)學(xué)模型的教學(xué)，為尋求化歸目標(biāo)奠定基礎(chǔ)。b、養(yǎng)成整理、總結(jié)數(shù)學(xué)方法的習(xí)慣，為尋求化歸方法奠定基礎(chǔ)。c、完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，為尋求化歸方向奠定基礎(chǔ)。2、培養(yǎng)化歸意識(shí)，提高轉(zhuǎn)化能力是實(shí)現(xiàn)化歸思想方法教學(xué)

14、的關(guān)鍵數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)整體，它的各部分之間相互聯(lián)系、相互依存、相互滲透，使之構(gòu)成了縱橫交錯(cuò)的立體空間，我們?cè)谘芯繑?shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，常需要利用這些聯(lián)系對(duì)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，使之達(dá)到簡(jiǎn)單化、熟悉化的目的。要實(shí)施轉(zhuǎn)化，首先須明確轉(zhuǎn)化的一般原理，掌握基本的化歸思想和方法，并通過(guò)典型的問(wèn)題加以鞏固和練習(xí)。因此，在平時(shí)的教學(xué)中，我們不斷教會(huì)學(xué)生解題，通過(guò)仔細(xì)的觀察、分析，由問(wèn)題的條件、圖形特征和求解目標(biāo)的結(jié)構(gòu)形式聯(lián)想到與其有關(guān)的定義、公式、定理、法則、性質(zhì)、數(shù)學(xué)解題思想方法、規(guī)律以及熟知的相關(guān)問(wèn)題解法，由此不斷轉(zhuǎn)化，建立條件和結(jié)論之間的橋梁，從而找到解題的思路和方法。3、掌握化歸的一般方法，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化歸思想

15、方法教學(xué)的基本手段。樹(shù)立了化歸意識(shí)后，接下來(lái)的工作是探求化歸的方法。化歸的實(shí)質(zhì)是不斷變更問(wèn)題，因此，可以從變形的成分這個(gè)方面去考慮，也可以從實(shí)現(xiàn)化歸的常用方法直接去考慮。4、深入教材，反復(fù)提煉與總結(jié)是實(shí)現(xiàn)化歸思想方法教學(xué)的基本途徑。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要善于挖掘教材中蘊(yùn)含的化歸思想方法，注意不斷總結(jié)化歸法解題的一般原理、提煉蘊(yùn)含其中的思想方法，把化歸思想方法的教學(xué)融于各個(gè)環(huán)節(jié)之中，讓學(xué)生切實(shí)感受到化歸思想方法的存在形式及其發(fā)揮的作用。在概念形成、運(yùn)用的過(guò)程中滲透化歸思想；在定理、公式的探究和發(fā)現(xiàn)過(guò)程中深化化歸思想方法；在問(wèn)題解決過(guò)程中領(lǐng)悟化歸思想方法；在知識(shí)的歸納總結(jié)過(guò)程中概括化歸思想方法。在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生逐漸悟出數(shù)學(xué)中常常把新知識(shí)轉(zhuǎn)化已知知識(shí)、把一般轉(zhuǎn)化為特殊的解決問(wèn)題的思路和方法。實(shí)踐證明，教師重視數(shù)學(xué)思想教育，發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)中的作用，確實(shí)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神與應(yīng)用能力、提高學(xué)生綜合素質(zhì)的一個(gè)重要途徑。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，在向?qū)W生展示知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程中，應(yīng)盡力向?qū)W生滲透化歸思想，培養(yǎng)學(xué)