第一章第四講n元線性方程組求解

1、第四講 n元線性方程組求解（3節(jié)）上一講我們介紹了當(dāng)n元一次線性方程組的系數(shù)矩陣可逆時(shí)，可求出方程組解，實(shí)際上這也是方程組的唯一解。如果方程組系數(shù)矩陣不可逆或不是方陣時(shí)，該如何來討論方程組的解？這一講將通過矩陣的初等變換來研究n元一次線性方程組（齊次、非齊次）在什么條件下有解、如何求解以及各種解的表達(dá)形式等.n元一次線性方程組是指形如 . .（4.1）令，則方程組的矩陣方程形式.其中：稱為方程組（4.1）的系數(shù)矩陣，稱為方程組（4.1）的增廣矩陣。當(dāng)時(shí)，稱（4.1）式為一元線性非齊次線性方程組;當(dāng)時(shí)，稱 (4.2 ) 式為一元線性齊次線性方程組，其矩陣形式. . .(4.2)顯然是（4.2）式

2、的當(dāng)然解。把非齊次線性方程組（4.1）式的每個方程右邊的常數(shù)項(xiàng)都換成0，所得到的齊次線性方程組稱為原方程組的導(dǎo)出齊次線性方程組，簡稱導(dǎo)出組。（即：（4.2）是（4.1）的導(dǎo)出組）在第二講的例2.12中，非齊次方程組的解是通過對方程組的增廣矩陣實(shí)施初等行變換得到的. 那么，這種求解方法是不是對任意的線性方程組都適用？答案是肯定的。下面我們先給出理論證明.定理4.1 若將非齊次線性方程組的增廣矩陣用初等行變換化為，則方程組與同解。證 由第二講的性質(zhì)3.2及定理3.1知，當(dāng)對增廣矩陣用初等行變換化為時(shí)，一定存在初等矩陣，使得 成立記，由初等矩陣的可逆性知可逆。若設(shè)為的解，即，兩邊同時(shí)左乘矩陣，有 于

3、是是方程組的解。反之，若為的解，即亦為的解。綜上所述，與所表示的是同解方程組.定理4.1給出了利用矩陣初等行變換求解方程組的思路，具體方法如下：將方程組的增廣矩陣實(shí)施初等行變換化為行的最簡形，此時(shí)該最簡形作為增廣矩陣對應(yīng)的方程組與原方程組同解，這樣通過解簡化的階梯形矩陣所對應(yīng)的方程組就求出原方程組的解，這種方法就是高斯消元法。4.1.1非齊次線性方程組的相容性先寫出方程組（4.1）的增廣矩陣，然后利用初等行變換將化為行最簡形。=的行最簡形有下面三種情形（為方便討論，假設(shè)的行最簡形中構(gòu)成的單位陣正好在左上角）。 （1）. (4.3) 注意到的行最簡形矩陣不為零的行數(shù)正好等于變量個數(shù)，其對應(yīng)的方程

4、組如下此時(shí)原方程組的唯一解已經(jīng)得到： ；（2）. . (4.4) 注意到的行最簡形中不為零的行數(shù)為（）小于變量個數(shù).對應(yīng)的方程組如下 此時(shí)還不能完全求出原方程的解，但可以看出原方程有無數(shù)個解，這是因?yàn)榉匠探M可以改寫如下 如果把后面?zhèn)€變量賦予數(shù)值后，前面?zhèn)€變量的值就被唯一確定，從而得到方程組解=，.（3）.（4.5）注意到的行最簡形中不為零的行數(shù)是，但第行中只有，其余元素全為零。這就是說的行最簡形對應(yīng)的方程組中最后一個方程是“”（），這顯然是一個矛盾方程，因而原方程組無解。根據(jù)上面討論的方程組（4.1）解的3種情況，先給出非齊次方程組的相關(guān)定義定理后再詳細(xì)討論（4.1）的解。定義4.1 如果一個

5、n元線性方程組它存在解，則稱方程組是相容的，否則就稱方程組是不相容組或矛盾方程組。比如（4.3）式和（4.4）式所表示的方程組都是相容方程組，而（4.5）所表示的方程組是不相容方程組。定義4.2 n元線性方程組經(jīng)過化簡后，方程組中被保留的方程稱為有效方程，消去的方程稱為多余方程. 比如（4.3）式的有效方程個數(shù)正好有n個（相容的有效方程組）；（4.4）式的有效方程個數(shù)有個，多余方程個數(shù)有個（相容的有效方程組）.（4.5）式有效方程有個，多余方程個（不相容的有效方程組）.定理4.2 （1）方程組（4.1）有唯一解的充要條件是，有效方程的個數(shù)等于變量個數(shù)；（2）方程組（4.1）有無窮多解的充要條件

6、是，有效方程的個數(shù)小于變量個數(shù)；（3）方程組（4.1）無解的充要條件是，存在著矛盾的有效方程。 證明（略）定理4.2更加明確了利用高斯消元法如何判斷非齊次方程組的解的情況.例4.1 求解線性方程組解：將方程組的增廣矩陣用初等行變換化為行最簡形=這時(shí)行最簡形所對應(yīng)的方程組為 注意到方程組的有效方程個數(shù)為3小于方程變量個數(shù)4，所以原方程有無窮多解，求解方法如下：先將x4移到等號右端得，稱是方程組的保留變量，稱是方程組的自由變量（可任意取值）。再令x4取任意常數(shù)，則得 ， . . （4.6）或?qū)懗?. . .(4.7)稱為方程組的自由未知數(shù)或自由元，(4.6) 式稱為方程組的通解或一般解；（4.7）

7、稱為方程組的向量解.例4.2求線性方程組的解 解 將方程組的增廣矩陣用初等行變換化為行最簡形=從增廣矩陣行的最簡形可看出，方程組有效方程數(shù)是3，方程組的第3個方程是多余方程，但由于方程組變量的個數(shù)是也是3，所以原方程組有唯一解： 本例說明當(dāng)有解方程組中方程的個數(shù)多于變量個數(shù)時(shí)，方程組一定有多余方程.例4.3 求解線性方程組解 將方程組的增廣矩陣用初等行變換化為行階梯形，行階梯形所對應(yīng)的方程組是 ， 雖說方程組有效方程有3個，但最后一個方程是矛盾方程，故原方程組無解.例4.4 設(shè)方程組 問：k取何值時(shí)方程組有唯一解?無窮多解?無解?在有無窮多解時(shí)求出通解。 解 先將方程組的增廣矩陣用初等行變換化

8、為行階梯形，然后再利用定理4.2的結(jié)論來判斷方程組解的所有可能情形： . . （4.8）(1) 當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程組的有效方程個數(shù)與變量個數(shù)相等，故原方程組有唯一解；(2) 當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)有效方程個數(shù)是2，小于變量個數(shù)，故方程組有無窮多解。將代入（4.8），得到增廣矩陣的行最簡形 其對應(yīng)的方程組 , 再將做為自由變量移到等號右邊，并令=（），得原方程通解 或向量解 ； (3) 當(dāng)時(shí)，增廣矩陣的行最簡形，出現(xiàn)矛盾的有效方程，故原方程組無解.1.4.2齊次線性方程組的相容性顯然，齊次線性方程組總是相容的，因?yàn)樗辽儆幸粋€零解。除此之外它可能還存在非零解.定理4.3 （1）齊次線性方程組 (4.2) 有

9、無窮多解的充要條件是，方程組有效方程的個數(shù)小于變量個數(shù)，且自由變量的個數(shù)等于變量總數(shù)減去有效方程的個數(shù)（2）齊次線性方程組 (4.2)只有零解的充要條件是，方程組有效方程的個數(shù)等于變量個數(shù).證明 （略）注意：非齊次方程組的解有3種情況，唯一解、無窮多解、無解；而齊次方程組的解只有2種情況，唯一零解或無窮多非零解。例4.5求下列齊次線性方程組的解解 由于齊次線性方程組的增廣矩陣的最后一列都是零，所以其增廣矩陣行的最簡形與系數(shù)矩陣行的最簡形是一致的。這就是說，求解齊次線性方程只要對系數(shù)矩陣實(shí)施行變換即可。行最簡形對應(yīng)的方程組 注意到方程組的有效方程數(shù)是2，變量個數(shù)是4，而A的行最簡形里的系數(shù)構(gòu)成一

10、個2階單位矩陣，因此可將方程組改寫如下同樣稱是保留變量， ,為自由變量，再令,，(,為任意常數(shù))，則原方程組的通解 或向量解 。1.4.3 學(xué)生自主學(xué)習(xí)內(nèi)容 本講的主要內(nèi)容就是：希望同學(xué)們會熟練利用矩陣的初等行變換，來判斷齊次與非齊次線性方程組解的情況，并求出方程組解。由于求解過程不需要更深的理論支撐，所以只要能按要求把增廣矩陣化為行最簡形即可。針對本講例題，特提出下面問題請同學(xué)思考與解答。（1） 求解方程組能否用列變換？（2）請觀察例（4.1）：為什么要令為自由變量？讓中的一個作為自由變量是否也可以，比如？當(dāng)非齊次方程組有無數(shù)解時(shí)，保留變量和自由變量是如何確定的？（3）請觀察例（4.2）：當(dāng)方程組有多余方程時(shí)，如何找出多余方程？本例中如果把第4個方程作為有效方程，那么方程組中前3個方程哪一個是多余的方程？（