北京市2021屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬（4月）試題（含解析）

1、 整理于網(wǎng)絡(luò) 可修改北京市東城區(qū)2020屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬（4月）試題（含解析）一、選擇題（共10小題）.1.已知集合，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解集合，即可求【詳解】解一元二次不等，可得，則 ，故選C【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法及集合的并集運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題2.已知復(fù)數(shù)（其中i是虛數(shù)單位），則（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的性質(zhì)即可求解.【詳解】復(fù)數(shù)，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求復(fù)數(shù)的模，涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.3.拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）A. B. C. D

2、. 【答案】B【解析】試題分析：準(zhǔn)線方程為：，與軸的交點(diǎn)為，故選B.考點(diǎn)：拋物線的性質(zhì).4.設(shè)函數(shù)，則（ ）A. 有最大值B. 有最小值C. 是增函數(shù)D. 是減函數(shù)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)即可根據(jù)基本不等式得出，從而可得出，并且時(shí)取等號(hào)，從而得出有最大值，由對(duì)勾函數(shù)圖象知在沒(méi)有單調(diào)性，從而得出正確的選項(xiàng).【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，有最大值，又由對(duì)勾函數(shù)的圖象可知在上不具單調(diào)性.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)勾型函數(shù)的性質(zhì)，其中涉及到基本不等式求最值，是一道容易題.5.已知曲線C的方程為，則“”是“曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的（ ）A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充

3、分必要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程的特點(diǎn)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】若，則對(duì)應(yīng)的曲線為雙曲線，不是橢圓，即充分性不成立，若曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則滿足，即，滿足，即必要性成立，即“”是“曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的必要不充分條件.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷，涉及到橢圓的方程，考查學(xué)生邏輯推理能力，是一道容易題.6.一排6個(gè)座位坐了2個(gè)三口之家.若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為（ ）A. 12B. 36C. 72D. 720【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，用捆綁法分析：先將2個(gè)三口之家的成員進(jìn)

4、行全排列，再對(duì)2個(gè)三口之家整體進(jìn)行全排列，由分步計(jì)數(shù)乘法原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，先將2個(gè)三口之家的成員進(jìn)行全排列，有種情況，再對(duì)2個(gè)三口之家整體進(jìn)行全排列，有種情況，則有種不同的坐法.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查排列的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查學(xué)生邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.7.已知圓C與直線及的相切，圓心在直線上，則圓C的方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓心在直線上，設(shè)出圓心坐標(biāo)為，利用圓C與直線及都相切，求得圓心坐標(biāo)，再求圓的半徑，可得圓的方程.【詳解】圓心在上，設(shè)圓心為，圓C與直線及都相切，圓心到兩直線及的距離相等，即，圓心坐標(biāo)為，圓C的標(biāo)準(zhǔn)

5、方程為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求圓的方程，涉及到點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題.8.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，與的等差中項(xiàng)為9，則（ ）A. 729B. 332C. 181D. 96【答案】D【解析】【分析】正項(xiàng)等比數(shù)列的公比設(shè)為q，運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)，解方程可得公比q，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得所求值.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q，則，由，可得，即，即，與的等差中項(xiàng)為9，可得，即，由可得，解得或（舍），則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，涉及到等差中項(xiàng)的概念，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題

6、.9.春天來(lái)了，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每一天新長(zhǎng)出荷葉覆蓋水面面積是前一天的2倍，若荷葉20天可以完全長(zhǎng)滿池塘水面，則當(dāng)荷葉剛好覆蓋水面面積一半時(shí)，荷葉已生長(zhǎng)了（ ）A. 10天B. 15天C. 19天D. 2天【答案】C【解析】【分析】由題意設(shè)荷葉覆蓋水面的初始面積，再列出解析式，并注明x的范圍，列出方程求解即可.【詳解】設(shè)荷葉覆蓋水面的初始面積為a，則x天后荷葉覆蓋水面的面積，根據(jù)題意，令，解得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用，考查學(xué)生建模能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.10.某單位周一、周二、周三開(kāi)車上班的職工人數(shù)分別是14，10，8若這三天中至少有一天開(kāi)車上班的職

7、工人數(shù)是20，則這三天都開(kāi)車上班的職工人數(shù)至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為Venn的問(wèn)題，然后結(jié)合題意確定這三天都開(kāi)車上班的職工人數(shù)至多幾人即可.【詳解】如圖所示，（a+b+c+x）表示周一開(kāi)車上班的人數(shù)，（b+d+e+x）表示周二開(kāi)車上班人數(shù)，（c+e+f+x）表示周三開(kāi)車上班人數(shù)，x表示三天都開(kāi)車上班的人數(shù)，則有：，即，即，當(dāng)b=c=e0時(shí)，x的最大值為6，即三天都開(kāi)車上班的職工人數(shù)至多是6.【點(diǎn)睛】本題主要考查Venn圖的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.二、填空題共5題，每題5分，共25分.11.設(shè)向

8、量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)_【答案】【解析】因?yàn)橄蛄颗c平行，所以，則所以考點(diǎn)：向量共線12.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，將角的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則_.【答案】1【解析】【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，先求得的值，可得的值.【詳解】角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，將角的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查已知終邊上一點(diǎn)求三角函數(shù)值的問(wèn)題，涉及到三角函數(shù)的定義，是一道容易題.13.某四棱錐的三視圖如圖所示，那么該四棱錐的體積為_(kāi) 【答案】【解析】【分析】先還原幾何體，再根據(jù)四棱錐體積公式求結(jié)果.【詳解】由三視

9、圖知該幾何體如圖，V故答案為【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及四棱錐的體積，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14.若頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)四個(gè)點(diǎn)，中的2個(gè)點(diǎn)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是_【答案】或【解析】【分析】分兩類情況，設(shè)出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，逐一檢驗(yàn)即可.【詳解】設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，不難驗(yàn)證適合，故；設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，不難驗(yàn)證適合，故；故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查待定系數(shù)法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15.某部影片的盈利額（即影片的票房收入與固定成本之差）記為,觀影人數(shù)記為,其函數(shù)圖象如圖（1）所示.由于目前該片盈利未達(dá)到預(yù)期,相關(guān)人員提出了兩種調(diào)整方案,圖（2）

10、、圖（3）中的實(shí)線分別為調(diào)整后與的函數(shù)圖象.給出下列四種說(shuō)法:圖（2）對(duì)應(yīng)的方案是:提高票價(jià),并提高成本;圖（2）對(duì)應(yīng)的方案是:保持票價(jià)不變,并降低成本;圖（3）對(duì)應(yīng)的方案是:提高票價(jià),并保持成本不變;圖（3）對(duì)應(yīng)的方案是:提高票價(jià),并降低成本.其中,正確的說(shuō)法是_.（填寫所有正確說(shuō)法的編號(hào)）【答案】【解析】【分析】根據(jù)圖象可知盈利額與觀影人數(shù)成一次函數(shù)關(guān)系,再分別根據(jù)(2)和(3)圖象進(jìn)行分析即可得出答案.【詳解】解:由圖象(1)可設(shè)盈利額與觀影人數(shù)的函數(shù)為,即為票價(jià),當(dāng)時(shí),則為固定成本,由圖象(2)知,直線向上平移,不變,即票價(jià)不變,變大,則變小,成本減小.故錯(cuò)誤,正確;由圖象(3)知,直

11、線與軸的交點(diǎn)不變,直線斜率變大,變大,即提高票價(jià),不變,則不變,成本不變.故正確,錯(cuò)誤;故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象的變化,以及和對(duì)一次函數(shù)圖象的影響,是基礎(chǔ)題.三、解答題16.如圖1，在中， ， 分別為， 的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，.將沿折起到的位置，使得平面平面，如圖2.（1）求證：；（2）求直線和平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）由題意可得，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，可證；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，用向量的方法求直線和平面所成角的正弦值.【詳解】（1）連接.圖1中， 分別為， 的中點(diǎn)，即，又為的中點(diǎn)，.又

12、平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，.（2）取中點(diǎn)，連接，則.由（1）可知平面，平面.以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，.，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，.設(shè)直線和平面所成的角為，則，所以直線和平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的性質(zhì)定理和用向量的方法求空間角，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題. 17.在,這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中,并解決該問(wèn)題.已知的內(nèi)角,的對(duì)邊分別為,_,求的面積.【答案】答案不唯一,具體見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）選,先用余弦定理求出角,根據(jù)三角形內(nèi)角和為可算出角,再由正弦定理求出邊,最后用三角形的面積

13、公式求面積即可.（2）選,先用正弦定理的推論將邊化角,整理得角,根據(jù)三角形內(nèi)角和為可算出角,再由正弦定理求出邊,最后用三角形的面積公式求面積即可.【詳解】解：（1）若選擇,由余弦定理,因?yàn)?所以;由正弦定理,得,因?yàn)?所以,所以,所以.（2）若選擇,則,因?yàn)?所以,因?yàn)?所以;由正弦定理,得,因?yàn)?所以,所以,所以.（3）若選擇,則,所以,因?yàn)?所以,所以,所以;由正弦定理,得,因?yàn)?所以,所以,所以.【點(diǎn)睛】本題考查用正弦、余弦定理解三角形,熟記公式是解題的關(guān)鍵.18.為了解甲、乙兩個(gè)快遞公司工作狀況，假設(shè)同一個(gè)公司快遞員的工作狀況基本相同，現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機(jī)抽取一名快遞員，并從兩人某月

14、（30天）的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機(jī)抽取10天的數(shù)據(jù)，制表如圖：每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務(wù)費(fèi)情況如下：甲公司規(guī)定每件4.5元；乙公司規(guī)定每天35件以內(nèi)（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工A在這10天投遞的快遞件數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù)；（2）為了解乙公司員工B的每天所得勞務(wù)費(fèi)的情況，從這10天中隨機(jī)抽取1天，他所得的勞務(wù)費(fèi)記為X（單位：元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)表中數(shù)據(jù)估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi).【答案】（1）平均數(shù)為，眾數(shù)為33；（2）詳見(jiàn)解析；（3）甲公司被抽取員工該月收入元，乙公司被抽取員工該月收入元.【解析】

15、【分析】（1）直接利用莖葉圖中數(shù)據(jù)求甲公司員工A投遞快遞件數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù).（2）由題意能求出X的可能取值為136，147，154，189，203，分別求出相對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（3）利用（2）的結(jié)果能估算算兩公司的每位員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi).【詳解】（1）甲公司員工A投遞快遞件數(shù)的平均數(shù)為：，眾數(shù)為33.（2）設(shè)a為乙公司員工B投遞件數(shù)，則當(dāng)時(shí)，元，當(dāng)時(shí)，元，X的可能取值為136，147，154，189，203，X的分布列為：X136147154189203P（元）.（3）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，由（2）可估算：甲公司被抽取員工該月收入元，乙公司被抽取員工該月收入元.【點(diǎn)睛】本

16、題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，涉及到莖葉圖、平均數(shù)等知識(shí)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.19.已知函數(shù).（1）若曲線存在斜率為-1的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)函數(shù)，求證：當(dāng)時(shí)， 在上存在極小值.【答案】(1) .(2)答案見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析【解析】【詳解】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在大于的實(shí)數(shù)根，根據(jù)在時(shí)遞增，求出的范圍即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（3）求出函數(shù)，根據(jù)，得到存在，滿足，從而讓得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極小值，證處結(jié)論即可.試題解析：（1）由得.由已知曲

17、線存在斜率為-1的切線，所以存在大于零的實(shí)數(shù)根，即存在大于零的實(shí)數(shù)根，因?yàn)樵跁r(shí)單調(diào)遞增，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍.（2）由可得當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，若， ，若， ，所以此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（3）由及題設(shè)得，由可得，由（2）可知函數(shù)在上遞增，所以，取，顯然，所以存在滿足，即存在滿足，所以， 在區(qū)間（1，+）上情況如下： 0 + 極小 所以當(dāng)-1a0時(shí)，g（x）在（1，+）上存在極小值.點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的

18、應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系. (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù). (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題. (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.20.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F.（1）求點(diǎn)F的坐標(biāo)和橢圓C的離心率；（2）直線過(guò)點(diǎn)F，且與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，如果點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，判斷直線是否經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)，如果經(jīng)過(guò)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不經(jīng)過(guò)，說(shuō)明理由.【答案】（1）焦點(diǎn)，離心率（2）是過(guò)x軸上的定點(diǎn)；定點(diǎn)【解析】【分析】（1）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出；（2）直線過(guò)點(diǎn)F，可得，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得：.（依題意）.設(shè)，可得根與系數(shù)的關(guān)系，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則.可得直線的方程可以為，令，把根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡(jiǎn)即可得出.【詳解】（1）