重慶市朝陽中學(xué)2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)12月月考試題（含答案）

1、重慶市朝陽中學(xué)2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)12月月考試題一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1. 為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象 A. 向左平移個單位B. 向右平移個單位C. 向右平移個單位D. 向左平移個單位2. 已知，則的值等于A. B. C. D. 3. 已知，則a，b，c的大小關(guān)系為A. B. C. D. 4. 設(shè)函數(shù)，則使得成立的x的取值范圍是 A. B. C. D. 5. 設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是A. 的一個周期為B. 的圖象關(guān)于直線對稱C. 的一個零點(diǎn)為D. 在單調(diào)遞減6. 下列五個寫法：2，；1，2，；，其中錯誤寫法的個數(shù)為 A. 1B. 2C. 3D. 47

2、. 的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則A. B. C. D. 8. 設(shè)x、y、z為正數(shù)，且，則A. B. C. D. 9. 已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，則的值為A. 0B. C. 2D. 510. 已知橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A，B，左、右焦點(diǎn)分別是，在線段AB上有且只有一個點(diǎn)P滿足，則橢圓的離心率為A. B. C. D. 11. 已知集合，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為A. B. C. D. 12. 已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則a的取值范圍是A. B. C. D. 二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13. 函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則14. 函數(shù)在R上

3、不是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是 15. 數(shù)列的通項(xiàng)公式，則該數(shù)列的前8項(xiàng)之和等于_16. 已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，C為該球面上的動點(diǎn)若三棱錐體積的最大值為3，則球O的體積為_ 三、解答題（本大題共6小題，共72.0分）17. 已知是關(guān)于x的方程的一個實(shí)根，且是第三象限角求的值；求的值18. 如圖，在三棱錐中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，已知，求證：直線平面DEF；平面平面ABC19. 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；設(shè)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上，求的最小值及此時P的

4、直角坐標(biāo)20. 已知橢圓C：的兩個焦點(diǎn)分別為，離心率為，過的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且的周長為8求橢圓C的方程；若直線AB與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，且，試問點(diǎn)O到直線AB的距離是否為定值，證明你的結(jié)論21. 如圖，四棱錐中，底面ABCD，M為線段AD上一點(diǎn)，N為PC的中點(diǎn)證明：平面PAB；求直線AN與平面PMN所成角的正弦值22. 設(shè)圓的圓心為A，直線l過點(diǎn)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E證明為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線，直線l交于M，N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍答案和解析1.【

5、答案】B【解析】【分析】本題主要考查三角函數(shù)圖象的平移變換，以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題先根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡為正弦函數(shù)的類型，再由左加右減上加下減的原則可確定平移的方案【解答】解：由題意，函數(shù)的圖象經(jīng)過向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象所以將的圖象向右移動個單位即可得到的圖象故選B2.【答案】B【解析】【分析】本題考查了誘導(dǎo)公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題利用誘導(dǎo)公式，即可得結(jié)論【解答】解：，故選B3.【答案】C【解析】【分析】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題將a，b化為同底數(shù)的冪，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判定大小，a，c利用中間值2，結(jié)合指數(shù)、對數(shù)函

6、數(shù)的性質(zhì)比較大小，然后利用不等式的基本性質(zhì)的可知道a，b，c的大小關(guān)系【解答】解：，故選C4.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，運(yùn)用偶函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論【解答】解：的定義域?yàn)镽，函數(shù)為偶函數(shù)，且在時，而為上的單調(diào)遞增函數(shù)，且為上的單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)在單調(diào)遞增，等價為，即，平方得，解得：，所求x的取值范圍是故選B5.【答案】D【解析】【分析】本題考查與余弦函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，題目比較基礎(chǔ)根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進(jìn)

7、行判斷即可【解答】解：對于A，函數(shù)的周期為，當(dāng)時，周期，故A正確；對于B，當(dāng)時，為最小值，此時的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；對于C，因?yàn)椋?，則的一個零點(diǎn)為，故C正確；對于D，當(dāng)時，此時函數(shù)有增有減，不是單調(diào)函數(shù)，故D錯誤故選D6.【答案】C【解析】【分析】本題考查集合部分的一些特定符號、一些特殊的集合、集合中元素的三要素，屬于基礎(chǔ)題根據(jù)“”用于元素與集合；“”用于集合與集合間；判斷出錯，根據(jù)是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判斷出的對錯；據(jù)集合元素的三要素判斷出對【解答】解：對于，“”是用于元素與集合的關(guān)系，故錯；對于，是任意集合的子集，故對；對于，集合中的元素有確定性、互異性、無序性，

8、兩個集合是同一集合，故對；對于，因?yàn)槭遣缓魏卧氐募?，故錯；對于，因?yàn)椤啊庇糜诩吓c集合，故錯故錯誤的有，共3個，故選C7.【答案】B【解析】【分析】本題考查了誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式以及正弦定理，屬于中檔題根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式以及正弦定理計(jì)算即可【解答】解：，由正弦定理可得，故選B8.【答案】D【解析】解：x、y、z為正數(shù)，令則，另解：x、y、z為正數(shù)，令則，可得，可得綜上可得：解法三：對k取特殊值，也可以比較出大小關(guān)系故選：Dx、y、z為正數(shù)，令可得，可得，根據(jù)，即可得出大小關(guān)系另解：x、y、z為正數(shù)，令可得，可得，同理可得本題考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、換底公式、不等式的性質(zhì)

9、，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題9.【答案】B【解析】【分析】本題考查了函數(shù)周期性和奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題【解答】解：函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，由得，即函數(shù)的周期為8，則，故選B10.【答案】A【解析】【分析】本題考查橢圓的性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積，考查直線的方程，著重考查橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，是重點(diǎn)更是難點(diǎn)，屬于中檔題由題意可求得AB的方程，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入AB的方程，由，得，結(jié)合橢圓的離心率的性質(zhì)即可求得答案【解答】解：依題意，作圖如下，直線AB的方程為：，整理得：，設(shè)直線AB上的點(diǎn)，則，令，則，由得：，于是，整理得：，又，又橢圓的離心率，橢圓的離心率為故選A11.【答案】A【解析】【分

10、析】本題考查集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題對B是否為空集討論，求出m的范圍【解答】解：當(dāng)B為空集時，滿足，此時，可得；當(dāng)B不是空集時，要使，則，可得綜上所述：故選A12.【答案】A【解析】【分析】本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用分類討論和分離參數(shù)法，以及轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式求最值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題討論當(dāng)時，運(yùn)用絕對值不等式的解法和分離參數(shù)，可得，再由二次函數(shù)的最值求法，可得a的范圍；討論當(dāng)時，同樣可得，再由基本不等式可得最值，可得a的范圍，求交集即可得到所求范圍【解答】解：當(dāng)時，關(guān)于x的不等式在上

11、恒成立，即為，即有，由的對稱軸為，可得處取得最大值；由的對稱軸為，可得處取得最小值，則當(dāng)時，關(guān)于x的不等式在上恒成立，即為，即有，由當(dāng)且僅當(dāng)取得最大值；當(dāng)且僅當(dāng)取得最小值2則由可得，另解：作出的圖象和折線當(dāng)時，的導(dǎo)數(shù)為，由，可得，切點(diǎn)為代入，解得；當(dāng)時，的導(dǎo)數(shù)為，由，可得舍去，切點(diǎn)為，代入，解得由圖象平移可得，故選：A13.【答案】【解析】【分析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值等于以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率，屬于中檔題先將代入切線方程可求出，再由切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為切線斜率可求出的值，最后相加即可【解答】解：由已知切點(diǎn)在切線上，所以，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為切線斜率，所以，所以故答案為14.【

12、答案】【解析】【分析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題依題，函數(shù)在R上不是單調(diào)函數(shù)等價于與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，從而求出a的取值范圍【解答】解：，又函數(shù)在R上不是單調(diào)函數(shù)，與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，方程有兩個相異的實(shí)根，即或故答案為15.【答案】2【解析】【分析】本題主要考查數(shù)列求和的應(yīng)用，注意裂項(xiàng)法的合理運(yùn)用考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題利用分母有理化化簡數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列的前8項(xiàng)之和【解答】解：數(shù)列的通項(xiàng)公式為：則該數(shù)列的前8項(xiàng)之和為：故答案為216.【答案】【解析】【分析】本題考查球的半徑與體積，考查體積的計(jì)算，確定點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時，

13、三棱錐的體積最大是關(guān)鍵當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時，三棱錐的體積最大，利用三棱錐體積的最大值為3，求出，即可求出球O的體積【解答】解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時，三棱錐的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時，則球O的體積為故答案為17.【答案】解：，即或，又是第三象限角，且是第三象限角，【解析】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力利用已知條件求出正切函數(shù)值，化簡所求表達(dá)式為正切函數(shù)的形式，計(jì)算即可利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，通過解方程求解即可18.【答案】證明：、E為PC、AC的中點(diǎn)，又平面DEF，平面DEF，平面DEF；、E為PC

14、、AC的中點(diǎn)，；又、F為AC、AB的中點(diǎn)，；，；，；，AC，平面ABC，平面ABC；平面BDE，平面平面ABC【解析】本題考查了空間中的平行與垂直問題，解題時應(yīng)明確空間中的線線、線面、面面之間的垂直與平行的互相轉(zhuǎn)化關(guān)系，屬于中等題由D、E為PC、AC的中點(diǎn)，得出，從而得出平面DEF；要證平面平面ABC，只需證平面ABC，即證，且即可19.【答案】解：曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，移項(xiàng)后兩邊平方可得，所以的普通方程為；曲線的極坐標(biāo)方程為，即，由，可得，即的直角坐標(biāo)方程為直線；由題意可得當(dāng)直線的平行線與橢圓相切時，兩平行線間的距離為的最小值，設(shè)與直線平行的直線方程為，聯(lián)立可得，由直線與橢圓相切，可得，解

15、得，顯然時，取得最小值，即有，此時，解得，即為另解：設(shè)，由P到直線的距離為，當(dāng)時，的最小值為，此時可取，即有【解析】本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化、極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，同時考查直線與橢圓的位置關(guān)系，主要是相切，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題運(yùn)用兩邊平方和同角的平方關(guān)系，即可得到的普通方程，運(yùn)用，以及兩角和的正弦公式，化簡可得的直角坐標(biāo)方程；由題意可得當(dāng)直線的平行線與橢圓相切時，取得最值設(shè)與直線平行的直線方程為，代入橢圓方程，運(yùn)用判別式為0，求得t，再由平行線的距離公式，可得的最小值，解方程可得P的直角坐標(biāo)另外：設(shè)，由點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最小

16、值和P的坐標(biāo)20.【答案】解：設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意知，則，由橢圓離心率，得，橢圓C的方程；由題意，當(dāng)直線AB的斜率不存在時，此時可設(shè)，又A，B兩點(diǎn)在橢圓C上，即，點(diǎn)O到直線AB的距離；當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程消去y得，由已知，由，得，則，即，整理得，滿足，點(diǎn)O到直線AB的距離為定值綜上可知，點(diǎn)O到直線AB的距離為定值【解析】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，點(diǎn)到直線的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題由題意可知：，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；分類討論，當(dāng)斜率不存在時，直接求出距離；當(dāng)直線斜

17、率存在時，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得m和k的關(guān)系，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得點(diǎn)O到直線AB的距離為定值21.【答案】證明：法一，如圖，取PB中點(diǎn)G，連接AG，NG，為PC的中點(diǎn)，且，又，且，且，則，且，四邊形AMNG為平行四邊形，則，平面PAB，平面PAB，平面PAB；法二，在中，過N作，垂足為E，連接ME，在中，由已知，得，則，在中，由余弦定理得：，而在中，即，則平面PAB由底面ABCD，得，又，則平面PAB，平面平面PAB，則平面PAB；解：在中，由，得，則，底面ABCD，平面PAD，平面平面PAD，且平面平面，平面PAD，則平面平面PAD在平面PAD內(nèi)，過A作，交PM

18、于F，連接NF，則為直線AN與平面PMN所成角在中，由N是PC的中點(diǎn)，得，在中，由，得，直線AN與平面PMN所成角的正弦值為【解析】本題考查直線與平面平行的判定，考查直線與平面所成角的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了空間想象能力和計(jì)算能力，是中檔題法一，取PB中點(diǎn)G，連接AG，NG，由三角形的中位線定理可得，且，再由已知得，且，得到，且，說明四邊形AMNG為平行四邊形，可得，由線面平行的判定得到平面PAB；法二，證明平面PAB，轉(zhuǎn)化為證明平面平面PAB，在中，過N作，垂足為E，連接ME，由已知底面ABCD，可得，通過求解直角三角形得到，由面面平行的判定可得平面平面PAB，則結(jié)論得證；由勾股定理得，進(jìn)一步得到平面平面PAD，在平面PAD內(nèi)，過A作，交PM于F，連接NF，則為直線AN與平面PMN所成角然后求解直角三角形可得直線AN與平面PMN所成角的正弦值22.【答案】解：證明：圓即為，可得圓心，半徑，由，可得，由，可得，即為，即有，則，故E的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且有，即，則點(diǎn)E的軌跡方程為；橢圓：，設(shè)直線l：，由，得PQ：，由，可得，易知，設(shè)，可得，則，A到PQ的距離為，則四邊形M