直線與橢圓位置關(guān)系教學(xué)設(shè)計

1、直線與橢圓的位置關(guān)系 （教學(xué)案例） 一、教學(xué)目標1.理解直線與橢圓的各種位置關(guān)系，能利用方程根的判別式來研究直線與橢圓的各種位置關(guān)系；2.掌握和運用直線被橢圓所截得的弦長公式；3.初步掌握與橢圓有關(guān)的弦長、中點、垂直等問題的一些重要解題技巧；4.進一步樹立數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等重要數(shù)學(xué)思想.二、重點難點利用“數(shù)”與“形”的結(jié)合，利用方程解決直線與橢圓的位置關(guān)系和有關(guān)弦長等問題.三、教學(xué)方法 導(dǎo)學(xué)討論式，多媒體課件輔助教學(xué).四、教學(xué)過程（一）設(shè)置情境 導(dǎo)入新課在初中已經(jīng)研究過直線與圓的各種位置關(guān)系，通常用圓心到直線的距離的變化來判斷直線與圓的各種不同的位置關(guān)系.但這種方法能用于

2、直線與橢圓的位置關(guān)系的討論嗎？不能！那么怎么辦？將兩個方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于x (有時也可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于y)的一元二次方程來研究、討論.而我們對一元二次方程是比較熟悉的，那么今天就是用熟悉的“武器”來研究、討論、解決陌生的直線與橢圓的位置關(guān)系及其有關(guān)問題.（二）探索研究問題1： 當實數(shù)m分別取何值時，直線l：y=x+m與橢圓9x2+16y2=144 相交、相切、相離？ 分析：將直線和橢圓的方程聯(lián)立，得關(guān)于x的一元二次方程25x2+32mx+16m2-144=0，=576(25- m2)，當(1)0，即 -5m5時，直線l與橢圓相交；(2)=0，即m=5，或m= -5時，直線l與橢圓相切；(3)

3、0，即m5，時，直線l與橢圓相離.將曲線位置關(guān)系的研究的問題轉(zhuǎn)化為方程根的討論的問題，這是本節(jié)課的核心。在不同的范圍內(nèi)取值時，決定了直線與橢圓的不同的位置關(guān)系，體現(xiàn)了量變到質(zhì)變的哲學(xué)思想。問題2： 過橢圓內(nèi)一點M(2，1)作橢圓的弦，點M恰為該弦的中點，求該弦所在直線l的方程(如圖)。分析一：設(shè)l：y-1=k(x-2)交橢圓于點A(x1，y1)、B(x2，y2)，AOBxlyM將直線方程代入橢圓方程化為 x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)-16=0. 則由韋達定理得，故所求直線方程為x+2y-4=0.這個方法是最基本、最常規(guī)、最通用，也是最重要的方法，必須熟練掌握.韋達定理在這里發(fā)揮出很

4、大的作用，以后我們還可以發(fā)現(xiàn)它的更大的作用.知識就是要做到前后連貫，并組成一個有機的整體.分析二：同上所設(shè)，因為點A、B都在橢圓上，則得 經(jīng)觀察知這兩個式子除了字母的下標不同外，其余都相同，將兩式相減，看能得到什么結(jié)果：(x1+x2) (x1-x2)+4(y1+y2) (y1-y2)=0可以知道式中的 x1+ x2=4，y1+y2=2，那么得4 (x1-x2)+8 (y1-y2)=0.根據(jù)上式能得到什么呢？得到直線l的斜率，則.、兩式被稱為同構(gòu)式，就是除了字母的下標不同外，其余的結(jié)構(gòu)都相同.第一次用同構(gòu)式來解題，覺得非常新穎和奇妙，甚至覺得不可思議，怎么想起來的呢？這是探索嘗試的結(jié)果.可是當你

5、掌握了這個方法，并熟練地解決了幾道題后，你就會覺得不新鮮了.許多技能技巧都是這樣，一個生，二回熟，熟能生巧嘛！分析三：設(shè)A(x，y)，則得 x2+4y2=16 又M(2，1)是AB的中點，所以B(4-x，2-y)，又點B也在橢圓上，則得 (4-x)2+4(2-y)2=16 、兩式當然不是同構(gòu)式，怎么辦？回顧在研究求相交兩圓的公共弦所在直線方程時，用過什么方法，那么在這里能不能用呢？大膽嘗試！-化得沒有想到在圓中曾用過的技巧在這里又發(fā)揮了它的威力。分析四：橢圓的上頂點和右頂點分別是(0，2)、(4，0)，M(2，1)恰為連結(jié)這兩點的線段的中點，故所求直線即為連結(jié)這兩點的直線由巧妙的發(fā)現(xiàn)得到巧妙的

6、解法.雖然這里有一定的偶然性，但這是一種機遇，解數(shù)學(xué)題時若發(fā)現(xiàn)和利用題中的某些隱含條件，充分題目給的機遇，可使解答大大簡捷.不過，這到底不是一種通用的常規(guī)解法. 問題3 ： 橢圓C的焦點分別為F1(-2，0)、F2(2，0)，橢圓E以C的焦點為焦點，且過直線x+y-9=0上的一點P，當橢圓E的長軸最短時，求橢圓E的方程.分析一：如圖，在直線l上求一點P，使P到直線l外的兩個已知點A、B的距離之和APBlC最短.在初中時解過此題，作點B關(guān)于直線l的對稱的點C，連AC交l于點P，則P為所求之點，即P到A、B兩點的距離之和最短.利用上面的結(jié)論，即可得橢圓E的方程為.貯存在腦中的初中知識在這里顯示出它

7、的巨大作用.分析二：由已知可設(shè)橢圓E： .與直線l的方程聯(lián)立，化得關(guān)于x的一元二次方程，由=0得解當橢圓E與直線l相切時，橢圓E的長軸最長，故得上述解法.問題4： 若橢圓ax2+by2=1(a0，b0)與直線l：x+y=1交于A、B兩點，M是AB的中點，直線OM的斜率為2，且OAOB(O為原點)，求橢圓的方程. 分析：欲求橢圓的方程，只要求出a、b 的值，構(gòu)建關(guān)于a、b的方程組是解決問題的關(guān)鍵.為此，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則M.OM所在直線為y=2x，與直線AB的交點為，由橢圓與直線l的方程消去y得(a+b)x2-2bx+b-1=0，則由韋達定理得 再設(shè)法求得關(guān)于a、b的一個方

8、程，由已知得x1x2+y1y2=0.再由韋達定理得 a+b=2 解、可得，則所求橢圓方程為.在解析幾何問題的解答過程中，往往有比較麻煩的計算，不應(yīng)該被這種“簡單的復(fù)雜計算”擋住了我們的去路，這也是對我們意志品質(zhì)的考驗和鍛煉.問題4的變式 ： 將直線OM的斜率改變?yōu)椋瑢l件“OAOB”改為“弦AB的長|AB|為”，求橢圓的方程.分析一：由弦長公式得關(guān)于a、b的一個方程，再由已知得另一個關(guān)于a、b的一個方程.解此方程組可得所求橢圓方程為.分析二：因為M是AB的中點，那么|AM|=|BM|=.又點A、B都在直線l上，所以得A、B.代入橢圓方程即可得解.（三）課堂練習(xí) 蘇教版課課練P.103的T2、T

9、3.（四）提煉總結(jié)1.解決橢圓與直線的位置關(guān)系的問題時，一般是將曲線問題轉(zhuǎn)化為方程或方程組的問題，從而以“數(shù)”為工具解決“形”的問題，這種“數(shù)”與“形”之間的互相轉(zhuǎn)換是多種數(shù)學(xué)思想的充分體現(xiàn)；2.在解決有關(guān)問題時，首先要努力設(shè)法運用常規(guī)的方法，即“通性、通法”，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一條最重要的準則，所以必須熟練掌握有關(guān)的基礎(chǔ)知識和基本技能，并努力做到融會貫通和靈活運用；3.解決這類問題并不需要多么高的智商，只要基礎(chǔ)比較扎實，再加上個人的良好的個性品質(zhì)，就能做到無往而不勝.（五）作業(yè)布置 蘇教版課課練P.103的T9、T10. （六）板書設(shè)計直線與橢圓一、直線和橢圓的位置關(guān)系二、探索研究 三、提煉總結(jié) 問題1 問題2 問題3 變式題練習(xí)題教學(xué)后記：通過本節(jié)課的教學(xué)，我深刻感受到一份高質(zhì)量的教學(xué)設(shè)計可以使一節(jié)課事半功倍，教師講的輕松；學(xué)生學(xué)得愉快。而這一切都得益于新的教學(xué)理念：在民主、平等的課堂氣氛中，師生互促、互動，學(xué)生集思廣益，攻克一個個數(shù)學(xué)堡壘；本節(jié)課的四個問題的各種解法，完全是由學(xué)生各自提出并由集體加以調(diào)整、矯正、完善的。