2009級(jí)985高等數(shù)學(xué)(下)及其參考答案鄭州大學(xué)

1、 20092010年第二學(xué)期 微積分期末考試試卷（A卷）及其參考答案（985）共8頁20題 考試時(shí)間：2010.7.6 上午9：0011：30 考試方式：閉卷題號(hào)一二三四五 六總分滿分得分得 分評(píng)卷人評(píng)卷人一.填空題（每小題3分，共 18分）（將答案填在題中橫線上，不填解題過程）1平面上的拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為解：2柱面在點(diǎn)處的切平面方程為解：設(shè) ，則所以，切平面的方程為：化簡后，得： .3設(shè)函數(shù)，則 解：令，則，所以，；同理，令，則，所以，故 4設(shè)處處有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，又曲線積分在全平面與路徑無關(guān)，則解：由于在全平面與路徑無關(guān)，所以有，即 于是又由算得，故5解：由二重積分的集合意

2、義，知 等于上半球體的體積，故 6函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)解：根據(jù)方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系可知得 分評(píng)卷人評(píng)卷人 二.單項(xiàng)選擇題（每小題3，共 12分）（將正確選項(xiàng)前的字母填入題中的括號(hào)內(nèi)）7. 逐次積分 ； ； ； 解：積分區(qū)域是又圓周與直線所圍城成.可視為區(qū)域故根據(jù)化二重積分為二次積分的方法，知： 即選注意：如視為區(qū)域，則在實(shí)際計(jì)算時(shí)，需要將其分成兩小塊分別計(jì)算.8. 函數(shù)在點(diǎn)處存在，不存在； 存在，不存在；沿任何方向的方向?qū)?shù)存在； 連續(xù).解： ； 9微分方程的特解形式為 ； ； 解：（一）與所求二階常系數(shù)線性齊次微分方程為 其特征方程為 特征根為 （二）方程右端項(xiàng) 故可設(shè)方程的特解

3、為其中 為方程 的特解.其求法如下因?yàn)?，不是特征根，所以可設(shè)為 其中 為方程 的特解.其求法如下因?yàn)?，是特征根，所以可設(shè)為故選10. 設(shè)函數(shù)以為周期，在上的級(jí)數(shù)的和函數(shù)在處的值 ； ； ； 解：由于 ，根據(jù)收斂定理知： 故選得 分評(píng)卷人評(píng)卷人三.（每小題6分，三個(gè)小題共18分）11設(shè)，其中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)，求解：； 12. 設(shè)函數(shù)，又是由方程敘所確定的隱函數(shù)，求解：（一）方程兩邊關(guān)于求偏導(dǎo)，得： 解得 （1）（二） （代入（1）式） 13求曲線在點(diǎn)處的切線方程.解法一：方程組兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得：將代入上式，得： 所以在點(diǎn)處的切向量 故曲線在點(diǎn)處的切線方程為： 解法二：先求曲面在在點(diǎn)處的切平面方

4、程.為此，令，則所以，切平面的方程為：化簡后，得： 故曲線在點(diǎn)處的切線的一般式方程為： 進(jìn)一步，化為點(diǎn)、向式為： 解法三：平面的法向量為；曲面在在點(diǎn)處的切平面的法向量故在點(diǎn)處的切向量 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為： 得 分評(píng)卷人評(píng)卷人四.（每小題9分，兩個(gè)小題共18分）14求其中曲線是上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧.解： ；.則 （1）由格林公式： 所以 15求，其中為上半球面.解： （1） ， （2） 所以 （其中 ） 得 分評(píng)卷人評(píng)卷人五.（本大題共三小題，每小題滿分為8分，共24分）.16求，其中為錐面被平面所截得部分的下側(cè).解法一：（直接計(jì)算）在平面上的投影區(qū)域?yàn)?，將分為，其中（取前?cè)）；（取后側(cè)）

5、.故 ； （1）在平面上的投影區(qū)域?yàn)椋?的方程為（下側(cè)）所以 （2）故 解法二：利用高斯公式計(jì)算 設(shè)的前上側(cè).的下側(cè).則構(gòu)成封閉曲面的外側(cè).因此由高斯公式： 故 解法三 ：化為第一型曲面積分計(jì)算.的向下的法向量所以 . （1）故 （代入 （1） 由 ， 所以 解法四：（轉(zhuǎn)向法） （代入（1）式） 這里 （取下側(cè)），故 17計(jì)算，其中由平面，及曲面圍成.解法一：記是由圓錐面與平面所圍成的區(qū)域；是由圓錐面與圓柱面所圍成的區(qū)域；是由兩圓柱面，與兩平面，所圍成的區(qū)域.則 采用柱面坐標(biāo)算之.其中 ； ； ；所以 解法二：記是由圓錐面與平面所圍成的區(qū)域；是中除去后剩余部分構(gòu)成的區(qū)域.則采用柱面坐標(biāo)算之. ； ；所以 解法三： 其中；（上式之所以成立，是因?yàn)?，而，故必有?；所以 18求，其中解：.由對(duì)稱性，知：； 得 分評(píng)卷人評(píng)卷人六（每小題5分，三個(gè)小題共10分）19求函數(shù)的極值.解：（一）解方程組 得唯一駐點(diǎn)： （二）因?yàn)樵谔幑蕿闃O小值.20設(shè)是空間光滑閉曲面，是由曲面所