考研數(shù)學(xué)三：公式大全

1、專題八：公式大全（一）最近幾天做題的過(guò)程中，越來(lái)越覺(jué)得有些公式在不同的題目之間反復(fù)使用，可謂上鏡率頗大。終于又下定決心，要好好整理一下咯！下面將收錄，我認(rèn)為比較重要的部分公式。有些考的少，或者太簡(jiǎn)單的就不列出來(lái)了。相信下面的公式應(yīng)該會(huì)比較有代表性。（二）1.當(dāng)x0時(shí)，xsinxtanxarcsinxarctanxln1+xex-1當(dāng)x0時(shí)，ax-1xlna （用e的等價(jià)變形來(lái)記） 1-cosx12x21-cos2x2x2 n1+x-11nx1+x-1x （用1未定式來(lái)記） loga(1+x)1lnax （用換底公式來(lái)記）2. 1未定式通用公式：limf(x)g(x)=elimg(x)fx-13

2、.泰勒公式：fx=fx0+fx0x-x0+f (x0)2!x-x02+f(n)x0n!x-x0n+f(n+1)(n+1)!(x-x0)n+1 （在x與x0之間）麥克勞林公式：fx=f0+f0x+f (0)2!x2+fn(0)n!xn+fn+1x(n+1)!xn+1（01）4.五個(gè)基本初等函數(shù)泰勒公式：(1)ex=1+x+12!x2+1n!xn+ex(n+1)!xn+1(2)sinx=x-13!x3+15!x5-+-1n-112n-1!x2n-1+-1ncosx2n+1!x2n+1(3)cosx=1-12!x2+14!x4-+(-1)n12n!x2n+-1n+1cosx2n+2!x2n+2(4)

3、1+x=1+x+-12!x2+-1-n+1n!xn+-1-nn+1!1+x-n-1xn+1(5)ln1+x=x-12x2+13x3-+-1n-11nxn+-1nxn+1n+11+xn+15.定積分重要公式：（1）若f(x)在-a,a上連續(xù)，則-aaf(x)dx=0afx+f(-x)dx（2）若f(x)在0,a上連續(xù)，則0af(x)dx=120afx+f(a-x)dx（3）0xf(sinx)dx=20fsinxdx=02f(sinx)dx6.幾個(gè)重要的廣義積分：（1）-+e-x2dx= （主要記這一個(gè)，以下的幾個(gè)自己推）（2）0+e-x2dx=2（3）-+e-x22dx=2（4）0+e-x22d

4、x= 2 7.6種常見(jiàn)的麥克勞林展開(kāi)式：（1）ex=n=0xnn! x-,+（2）sinx=n=0-1nx2n+12n+1! x-,+（3）cosx=n=0-1nx2n2n! x-,+（4）ln1+x=n=0(-1)nxn+1n+1 x(-1,1（5）(1+x)a=n=0-1-n+1n!xn x(-1,1)特別：11-x=n=0xn x(-1,1) 11+x=n=0-1nxn x(-1,1)（6）arctanx=n=0-1nx2n+12n+1 x-1,18.微分方程與差分方程的6大類：（1）一階齊次線性微分方程 y+P(x)y=0 通解：y=Ce-P(x)dx (C=eC1)（2）一階非齊次線

5、性微分方程 y+Pxy=Q(x) 的通解：y=e-Pxdx(QxePxdxdx+C)（3）二階常系數(shù)齊次線性微分方程 y+py+qy=0 (p,q為常數(shù))的通解：由特征方程 r2+pr+q=0,解出r1,r2i. r1,r2為兩個(gè)不相等的實(shí)根：y=C1er1x+C2er2xii. r1,r2為兩個(gè)相等的實(shí)根：y=(C1+C2x)er1xiii. r1,r2為一對(duì)共軛復(fù)根，r1=+i,r2=-i (=-p2,=4q-p22)：y=exC1cosx+C2sinx（4）二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 y+py+qy=f(x) 的特解：若fx=Pm(x)ex，則特解為 y*=xkQm(x)ex，i.若不

6、是特征方程的根，則k=0ii.若是特征方程的單根，則k=1iii.若是特征方程的重根，則k=2若fx=exPlxcosx+Pnxsinx，則特解為 y*=xkexRm(1)xcosx+Rm(2)xsinx (m=max(l,n)i.若+i（或 -i）不是特征方程的根，則k=0ii.若+i（或 -i）是特征方程的根，則k=1（5）一階常系數(shù)齊次線性差分方程 yx+1-ayx=0的特征方程為：-a=0通解為： Yx=Cax （C為任意常數(shù)）（6）一階常系數(shù)非齊次線性差分方程 yx+1-ayx=f(x)的特解為：若fx=Pn(x)，則特解為：yx*=xkQn(x)i.若1不是特征方程的根，則k=0i

7、i.若1是特征方程的根，則k=1若fx=b1cosx+b2sinx，則特解為：yx*=Acosx+Bsinx （A,B為待定系數(shù)）9.條件概率公式：PBA=PABPA10.全概率公式：PA=PAB1PB1+PAB2PB2+PABnPBn貝葉斯公式：PBiA=PABiPBij=1nPABjPBj i=1,2,n常用的兩個(gè)公式：PA=PABPB+PABPBPBA=PABPBPABPB+PABPB11. 隨機(jī)變量分布及其數(shù)字特征： 分布及數(shù)字征離散型分布律期望方差（0-1）分布PX=k=pk1-p1-kpp(1-p)二項(xiàng)分布PX=k=Cnkpkqn-knpnpq幾何分布PX=n=pqn-11pqp2

8、超幾何分布PX=k=CMkCN-Mn-kCNnnMNnMN1-MNN-nN-1泊松分布PX=k=kk!e- 分布及數(shù)字征連續(xù)型概率密度分布函數(shù)期望方差均勻分布fx=1b-a,axb0,其他Fx=0,xax-ab-a,ax00,x0Fx=0,x01-e-x,x0112一般正態(tài)分布fx=12e-x-2222標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布x=12e-x22x=12-xe-t22dt0112.邊緣分布公式：連續(xù)型隨機(jī)變量邊緣分布函數(shù)：FXx=Fx, , FYy=F,y離散型隨機(jī)變量邊緣分布函數(shù)：不需要記，明白意思就能自己推連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度：fXx=-+fx,ydy , fYy=-+fx,ydx離散型隨機(jī)變量概率密

9、度：不需要記，明白意思就能自己推13.兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)分布：i.Z=X+Y的分布若X與Y不獨(dú)立，則 fX+Yz=-+f(z-y,y)dyfX+Yz=-+f(x,z-x)dx若X與Y獨(dú)立，則 fX+Yz=-+fXz-yfY(y)dyfX+Yz=-+fXxfY(z-x)dxii.Z=YX 的分布；Z=XY 的分布若X與Y不獨(dú)立，則 fYXz=-+xfx,xzdxfXYz=-+1xfx,zxdx若X與Y獨(dú)立，則 fYXz=-+xfXxfY(xz)dxfXYz=-+1xfX(x)fYzxdxiii.M=maxX,Y 及 N=minX,Y 的分布，設(shè)X和Y相互獨(dú)立Fmaxz=FX(z)FYzFminz

10、=1-1-FXz1-FYz14.期望及方差公式：（1）離散型隨機(jī)變量期望：EX=k=1xkpk（2）連續(xù)型隨機(jī)變量期望：EX=-+xf(x)dx（3）設(shè)Y是X的函數(shù)Y=g(X)，則EY=Eg(X)=k=1g(xk)pkEY=Eg(X)=-+g(x)f(x)dx（4）設(shè)Z是二維隨機(jī)變量(X,Y)的函數(shù) Z=g(X,Y)，則EZ=Eg(X,Y)=-+-+gx,yf(x,y)dxdyEZ=Eg(X,Y)=j=1i=1gx,ypij（5）期望的性質(zhì)：i.EX+Y=EX+E(Y)ii.若X,Y不相關(guān)，則：EXY=EXE(Y)iii.附加公式：EX+Y=-+-+(x+y)f(x,y)dxdyEXY=-+-

11、+xyf(x,y)dxdy（6）方差定義式：DX=EX-EX2具體寫(xiě)成：DX=k=1xk-EX2pkDX=-+xk-EX2fxdx（7）方差計(jì)算式：DX=EX2-E2X（8）方差的性質(zhì)：i. DCX=C2DX , DX+C=DXii. DXY=DX+DY2Cov(X,Y)iii.若X,Y不相關(guān)，則：DXY=DX+DY（9）切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量X具有期望 EX=，方差 DX=2，則對(duì)任意正數(shù)有：PX-22 或 PX-1-22（10）協(xié)方差定義式：CovX,Y=EX-EXY-EY（11）協(xié)方差計(jì)算式：CovX,Y=EXY-EXEY（12）協(xié)方差的性質(zhì)：i. CovaX,bY=abCovX,Y

12、ii. CovX1+X2,Y=CovX1,Y+CovX2,Y（13）相關(guān)系數(shù)：XY=CovX,YDXDY從此處開(kāi)始以下公式共用一個(gè)條件：X1,X2,Xn是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。15.（1）當(dāng)n充分大時(shí)：k=1nxk-nnN(0,1)（2）當(dāng)n充分大時(shí)，上式也可也寫(xiě)成：X-nN0,1 或 XN(,2n)16.（1）樣本均值：X=1ni=1nXi（2）樣本方差：S2=1n-1i=1nXi-X2=1n-1i=1nXi2-nX216.2分布：總體XN(0,1)，則2=X12+X22+Xn2 記作：22(n)E(2)=n , D2=2n2n1+2n2=2n1+n217.t分布：設(shè) XN(0,1)，Y2(n)，則t=XYn記作：tt(n)若 tt(n)，則：t2F1,n18.F分布：設(shè) X2(n1)，Y2(n2)，且X與Y相互獨(dú)立，則F=Xn1Yn2 記作：FFn1,n2若 FFn1,n2，則 1FFn2,n1特例：若XN(0,1)，YN(0,1) 則 X2Y2F(1,