四川省2019屆高三數(shù)學下學期4月“聯(lián)測促改”活動試題理含解析

1、四川省2019屆高三數(shù)學下學期（4月）“聯(lián)測促改”活動試題 理（含解析）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，集合，則集合( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式得A,求得，進而可求【詳解】因為集合，所以，所以.故選C.【點睛】本小題考查集合的基本運算，全集、補集、交集等基礎知識：考查運算求解能力.2.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點是，則復數(shù)的共軛復數(shù)（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題得z=-1+2i,再求復數(shù)的共軛復數(shù)-1-2i.【詳解】由題得z=-1+2i,所以復數(shù)的

2、共軛復數(shù)-1-2i. 故選：B【點睛】本題主要考查復數(shù)的幾何意義，考查共軛復數(shù)的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.3.從1，3，5，7，9中任取3個數(shù)字，從2，4，6，8中任取2個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，則組成的五位數(shù)中偶數(shù)的個數(shù)為（ ）A. 7200B. 2880C. 120D. 60【答案】B【解析】【分析】分兩步完成：第一步，計算出選數(shù)字的不同情況種數(shù)，第二步，計算出末尾是偶數(shù)的排法種數(shù)，再利用分步計算原理即可求解?！驹斀狻繌?，3，5，7，9中任取3個數(shù)字再從2，4，6，8中任取2個數(shù)字，有種選法，再將選出的5個數(shù)字排成五位偶數(shù)有種排法，所以組成沒有重復

3、數(shù)字五位偶數(shù)有個.故選：B【點睛】本題主要考查了排列與組合的簡單應用等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，分類討論思想，屬于中檔題。4.已知向量，則的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由向量，表示，利用輔助角公式化簡求最值即可.【詳解】因為 ，所以當時，取得最大值.【點睛】本小題考查平面向量的基本運算，三角函數(shù)的最值，向量模的概念及其最值等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，應用意識.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（ ）A. -1B. 0C. D. 1【答案】A【解析】【分析】直接模擬程序框圖運行得解.【詳解】由題得13，S=2,i=2;23

4、，S=2+4,i=3;33，S=2+4+8,i=4;.故選:A【點睛】本題主要考查程序框圖，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.6.幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為（ ）A. 729B. 428C. 356D. 243【答案】D【解析】【分析】先找到三視圖對應的幾何體，再利用棱錐的體積公式得解.【詳解】由題得幾何體原圖是如圖所示的四棱錐P-ABCD，底面是邊長為9的正方形，高PA=9,所以幾何體的體積為.故選：D【點睛】本題主要考查根據(jù)三視圖找原圖，考查幾何體體積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.7.下列說法中錯誤的是（ ）A. 先把高二年級的

5、名學生編號為到，再從編號為到的名學生中隨機抽取名學生，其編號為，然后抽取編號為，的學生，這樣的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣法.B. 正態(tài)分布在區(qū)間和上取值的概率相等C. 若兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數(shù)的值越接近于D. 若一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)都是【答案】C【解析】【分析】對于，根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義可判斷；對于，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可判斷在兩個區(qū)間上的概率；對于，兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數(shù)的值越接近于，可進行判斷；對于，根據(jù)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，得，求得該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)，可判斷D.【詳解】對于，根據(jù)抽樣方法特征是數(shù)據(jù)多，抽樣間隔相等，是系統(tǒng)抽樣，正確；對于

6、，正態(tài)分布的曲線關于對稱，區(qū)間和與對稱軸距離相等，所以在兩個區(qū)間上的概率相等，正確；對于，兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數(shù)的值越接近于，錯誤；對于，一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，；所以該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)均為，正確.【點睛】本小題考查系統(tǒng)抽樣，線性回歸，線性相關，平均數(shù)，中位數(shù)與眾數(shù)等基礎知識，意在考查學生分析問題，及解決問題的能力和運算求解能力.8.，是：上兩個動點，且，到直線：的距離分別為，則的最大值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由題設,其中，先利用兩點間的距離公式求出，再利用三角恒等變換知識化簡，再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求最值得解.【詳解】由題設,其

7、中.可以由題得 5，此時.故選：C【點睛】本題主要考查圓的方程，考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.9.已知四面體外接球的球心恰好在上，等腰直角三角形的斜邊為2，則這個球的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由題可得：為的中點，取的中點，連接，由已知可判斷點為外接圓圓心，由截面圓的性質(zhì)可得平面，即：，解三角形即可求得外接球的半徑為，問題得解?！驹斀狻坑深}可得：為的中點，取中點，則為的中位線，由等腰直角三角形可得：點為外接圓圓心，且所以平面，所以球心到面的距離為，外接球球半徑為，故球表面積為.故選：C【點睛】

8、本題主要考查了三角形外接圓、三角形中位線和球的表面積計算公式等知識，考查空間想象能力及截面圓的性質(zhì)，考查運算求解能力和分析問題解決問題的能力，屬于中檔題。10.已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象向左平移個單位后所得圖象關于軸對稱，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的周期為可求得，再求出函數(shù)圖象平移后的解析式，由其圖象關于軸對稱可求得，結合三角函數(shù)性質(zhì)即可求得的增區(qū)間，問題得解。【詳解】由的最小正周期為，所以，的圖象向左平移個單位后所得圖象對應的函數(shù)為，因其圖象關于軸對稱，所以，因為，則，所以，由，得，.即的單調(diào)遞增區(qū)間為，.故選：B【點睛】本

9、題主要考查了三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)等基礎知識，考查三角函數(shù)圖像平移知識及運算求解能力，屬于中檔題。11.在數(shù)列中，已知，且對于任意的，都有，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，代入已知可得，將變形：，即可求得，裂項得：，問題得解【詳解】因為對于任意的，都有，取，有，即，則 ，所以，所以 .故選：C【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列前項和公式、裂項求和、賦值法，還考查計算能力及轉化能力，屬于中檔題。12.已知定義在上的函數(shù)關于軸對稱，其導函數(shù)為，當時，不等式.若對，不等式恒成立，則正整數(shù)的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】構造函數(shù)，求出，由題可

10、得是在上的奇函數(shù)且在上為單調(diào)遞增函數(shù)，將轉化成，利用在上為單調(diào)遞增函數(shù)可得：恒成立，利用導數(shù)求得，解不等式可得，問題得解。【詳解】因為，所以，令，則，又因為是在上的偶函數(shù)，所以是在上的奇函數(shù)，所以是在上的單調(diào)遞增函數(shù)，又因為，可化為，即，又因為是在上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以恒成立，令，則，因為，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則，所以.所以正整數(shù)的最大值為2.故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)與導數(shù)的應用，函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、不等式恒成立等基礎知識，考查分析和轉化能力，推理論證能力，運算求解能力，構造能力，屬于難題。.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若變量，滿足約束條件

11、，則的最小值為_【答案】【解析】【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，又，它表示點與點連線斜率，結合圖形可以判斷其最小值，問題得解?！驹斀狻孔鞒霾坏仁浇M表示的平面區(qū)域，它是以，和為頂點的三角形區(qū)域（包含邊界），表示平面區(qū)域內(nèi)的點與定點的連線的斜率，結合圖形易得平面區(qū)域內(nèi)的點與點的連線的斜率最小，所以的最小值為.【點睛】本題主要考查了線性規(guī)劃求最值等基礎知識，考查轉化能力，運算求解能力，數(shù)形結合思想，屬于基礎題。14.已知等比數(shù)列中，則_【答案】【解析】【分析】設數(shù)列的公比為，由，解得， ，可得數(shù)列的首項，公比，進而可求和得解.【詳解】設數(shù)列的公比為，則，所以， ，所以數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列

12、，所以 .【點睛】本小題考查等比數(shù)列的通項公式，前項和的公式及其應用等基礎知識；考查推理論證能力，運算求解能力，應用意識.15.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且，則的值為_【答案】2【解析】【分析】由為奇函數(shù)且可得函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).可將轉化為，由奇函數(shù)特點可得，在中，令，可得，問題得解?！驹斀狻恳驗闉槠婧瘮?shù)，所以，又，所以，所以，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).所以 ，又，在中，令，可得，.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性與周期性的應用，考查運算求解能力、等價變換的能力，還考查了賦值法，屬于中檔題。16.中心在原點，對稱軸為坐標軸的雙曲線與圓：有公共點，且圓在點處的切線與雙曲線的一條漸近線

13、平行，則該雙曲線的實軸長為_【答案】【解析】【分析】對雙曲線的焦點位置分兩種情況討論，先求出圓在點的切線為，再根據(jù)題得到關于a,b的方程組，解方程組即得a 和雙曲線實軸的長.【詳解】當雙曲線的焦點在x軸上時，設為，圓有公共點，圓在點的切線方程的斜率為：，圓在點的切線為：，即，圓在點的切線與雙曲線的漸近線平行，并且中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線，可得，所以a=2b, (1)因為, (2)解方程（1）(2)得無解.當雙曲線的焦點在y軸上時，設為，圓有公共點，圓在點的切線方程的斜率為：，圓在點的切線為：，即，圓在點的切線與雙曲線的漸近線平行，并且中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線，可得，所以b=

14、2a, (3)因為, (4)解方程（3）(4)得,所以該雙曲線的實軸長為.故答案為：【點睛】本題主要考查圓的方程，考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.三、解答題 :共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答. （一）必考題：共60分17.檳榔原產(chǎn)于馬來西亞，中國主要分布在云南、海南及臺灣等熱帶地區(qū)，在亞洲熱帶地區(qū)廣泛栽培.檳榔是重要的中藥材，在南方一些少數(shù)民族還有將果實作為一種咀嚼嗜好品，但其被世界衛(wèi)生組織國際癌癥研究機構列為致癌物清單類致癌物.云南某民族

15、中學為了解，兩個少數(shù)民族班學生咀嚼檳榔的情況，分別從這兩個班中隨機抽取5名同學進行調(diào)查，將他們平均每周咀嚼檳榔的顆數(shù)作為樣本繪制成莖葉圖如圖所示（圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字）.（1）從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過19的數(shù)據(jù)記為，從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過21的數(shù)據(jù)記為，求的概率；（2）從所有咀嚼檳榔顆數(shù)在20顆以上（包含20顆）的同學中隨機抽取3人，求被抽到班同學人數(shù)的分布列和數(shù)學期望.【答案】(1) (2)見解析【解析】【分析】（1）由題可得：從班和班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機抽取一個共有種不同情況，列出的情況有，三種，問題得解。（2）的可能取值為1，2，3.分別求出各種取值的

16、概率即可列出分布列，再由數(shù)學期望公式求解即可?！驹斀狻浚?）班的樣本數(shù)據(jù)中不超過19的數(shù)據(jù)有3個，班的樣本數(shù)據(jù)中不超過21的數(shù)據(jù)也有3個，從班和班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機抽取一個共有種不同情況.其中的情況有，三種，故的概率.（2）因為所有咀嚼檳榔顆數(shù)在20顆以上（包含20顆）的同學中，班有2人，班有3人，共有5人，設抽到班同學的人數(shù)為，的可能取值為1，2，3.，.的分布列為： 123 數(shù)學期望為.【點睛】本題主要考查了莖葉圖、樣本的數(shù)字特征、古典概型的概率公式，隨機變量的分布列與期望等知識，考查數(shù)學應用能力，邏輯思維能力、運算求解能力，屬于中檔題。18.如圖，在中，已知點在邊上，且，.（1）求的長；

17、（2）求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先計算得到 ，再利用余弦定理求出的長(2)先利用余弦定理求得, 即得.在中，易得.再求得的面積為.【詳解】（1）因為，所以，所以 .在中，由余弦定理得：，所以.（2）中，由（1）知， ，所以.則.在中，易得. .所以的面積為.【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.19.如圖，在棱長為1正方體中，動點在線段上運動，且有.（1）若，求證：；（2）若二面角的平面角的余弦值為，求實數(shù)的值.【答案】(1)見證明；(2) 【解析】【分析】（1）當時，與重合，連接，可得，再

18、由正方體特征可證得，即可證得平面，問題得證（2）以為坐標原點，分別為，軸建立空間直角坐標系.分別求出平面的一個法向量及平面的一個法向量，利用向量夾角的坐標表示列方程即可求得，問題得解?！驹斀狻浚?）當時，與重合，連接，則在正方形中，.又在正方體中底面，而平面，所以.，所以平面，而平面，所以，也即.（2）依題意，以為坐標原點，分別為，軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則，.，.設平面的一個法向量，則，即，取得.設平面的一個法向量，則，即，取得.所以 ，解得或.因為，所以.【點睛】本題主要考查了證明線線關系以及利用空間向量求二面角的平面角等基礎知識，還考查了空間向量的坐標運算，考查運算求解能力及方程

19、思想，屬于中檔題。20.已知點與定點的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)，點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若直線：交曲線于，兩點，當點不在、兩點時，直線，的斜率分別為，求證：，之積為定值.【答案】(1) (2)見解析【解析】【分析】（1）由題意列方程，整理化簡得：，問題得解。（2）設，聯(lián)立直線與橢圓方程，可得，整理化簡即可得證?！驹斀狻浚?）由題意，將上式兩邊平方，化簡：，即曲線的方程為.（2）把代入，有，設，則：，.，.即，之積為定值.【點睛】本題主要考查了橢圓方程與幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關系等知識，還考查了韋達定理及運算求解能力，考查邏輯思維與推證能力、分析與解決問題的能力，屬

20、于難題。21.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.【答案】(1)見解析；(2) 【解析】【分析】（1）將函數(shù)求導后，對分成兩種情況，討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）結合（1）的結論，當時函數(shù)在定義域上遞減，至多只有一個零點，不符合題意.當時，利用函數(shù)的最小值小于零，求得的取值范圍，并驗證此時函數(shù)有兩個零點，由此求得點的取值范圍.【詳解】（1） 若，在上單調(diào)遞減； 若，當時，即在上單調(diào)遞減， 當時，即在上單調(diào)遞增. （2）若，在上單調(diào)遞減，至多一個零點，不符合題意. 若，由（1）可知，的最小值為 令，所以在上單調(diào)遞增，又，當時，至多一個零點，不符合題意，當時，又因為，結合單調(diào)性可知在有一個零點令，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，的最小值為，所以當時， 結合單調(diào)性可知在有一個零點綜上所述，若有兩個零點，的范圍是【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導數(shù)求解有關零點個數(shù)的問題，考查分類討論的思想方法，考查分析和解決問題的能力，屬于中檔題.在求解有關利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題中，導函數(shù)往往含有參數(shù)，此時就要對參數(shù)進行分類討論