在數學學習中培養(yǎng)數學思想

1、數學教學中常見的數學思想湖南省郴州市三中段建明掌握一定的數學知識并不是數學教學的最終目的。教給學生數學知識，不如教給學生數學思想。只有掌握了數學思想，才能算得上真正掌握了數學知識，才能提高學生發(fā)現問題和解決問題的能力，才能在現實生活中將數學知識應用自如。下面列舉數學教學中常見的數學思想。一、 分類討論思想分類討論思想是一種基本的邏輯劃分，在中學數學教學中有著重要的作用，當研究的對象不宜用同一種方法處理或同一種形式敘述時，常常需要分類，然后對每種情況分別進行討論。例如： 解不等式0 (a為常數，a)【分析】 含參數的不等式，參數a決定了2a1的符號和兩根4a、6a的大小，故對參數a分四種情況a0

2、、a0、a0、a0時，a；4a0 。所以分以下四種情況討論：當a0時，(x4a)(x6a)0，解得：x6a；當a0時，x0，解得：x0；當a0，解得: x4a；當a時，(x4a)(x6a)0，解得： 6ax0時，x6a；當a0時，x0；當a0時，x4a；當a時，6ax4a 。分類討論思想能訓練人的思維條理性和概括性，對培養(yǎng)學生一分為二看問題有著重要的作用。二、 數形結合思想數與形是現實生活中客觀事物的抽象和反映，是數學的兩大柱石，在數學發(fā)展的歷史長河中，它們互相依存，相得益彰。例如： 若方程lg(x3xm)lg(3x)在x(0,3)內有唯一解，求實數m的取值范圍?！痉治觥繉捣匠踢M行等價變形

3、，轉化為一元二次方程在某個范圍內有實解的問題，再利用二次函數的圖像進行解決。 y 4 y=1-m 1 O 2 3 x【解】 原方程變形為 即：設曲線y(x2) , x(0,3)和直線y1m，圖像如圖所示。由圖可知： 當1m0時，有唯一解，m1; 當11m4時，有唯一解，即3m0, m1或30，a1，試求方程loga(xak)loga2 (xa)有實數解的k的范圍。(89年全國高考)【分析】由換底公式進行換底后出現同底，再進行等價轉化為方程組，分離參數后分析式子特點，從而選用三角換元法，用三角函數的值域求解?！窘狻?將原方程化為：log(xak)log， 等價于 （a0,a1） k ( |1 ）

4、, 設csc， (,0)(0, )，則 kf()csc|cot|當(,0)時，f()csccotcot1，故k1；當(0, )時，f()csccottan(0,1)，故0k1；綜上所述，k的取值范圍是：k1或0k1。這就是利用三角函數的性質使問題更簡單。四、 轉化與化歸思想唯物辨證法認為，自然界的每一事物的發(fā)展過程存在著自始自終的矛盾運動，矛盾著的雙方在一定條件下相存相依，互相轉化。這種事物之間的聯(lián)系和轉化反映在數學上就是轉化與化歸思想。例如： 設x、yR且3x2y6x，求xy的范圍?！痉治觥?設kxy，再代入消去y，轉化為關于x的方程有實數解時求參數k范圍的問題。其中要注意隱含條件，即x的范

5、圍。【解】由6x3x2y0得0x2。設kxy，則ykx，代入已知等式得：x6x2k0 ，即kx3x，其對稱軸為x3。由0x2得k0,4。所以xy的范圍是：0xy4。因為有了轉化與化歸思想，數學才有理由建立盡可能少的規(guī)范化形式去解決無窮多的數學問題，才能善于在處理復雜的問題時轉化若干典型和簡單的問題。轉化與化歸思想是分析問題和解決問題的一個極其重要的思想。數學思想盡管對一個人的一生起著重要的作用，但它不易輕松獲取。作為數學教育工作者，我們應該注意以下兩個問題：首先，要認真挖掘教材各章中的數學思想；其次，要研究數學思想教學的原則和方法。特別要強調的是：一是要以教學概念、定理和數學方法等知識為載體。只有通過載體的教學把隱藏在載體中的數學思想提煉出來，才能使數學思想的教學落到實處。二是要循序漸進、逐步提高要求，任何一個數學思想的教學一般都要經過反復滲透，公開介紹和應用強化三個階段。三是要加強知識形成和發(fā)展過程的教學，讓學生主動參與到這一過程來，在教師的引導下逐步感受、領悟、理解和掌握數學思想。20