2017等腰三角形

1、等腰三角形一、選擇題1 . （2017 山東煙臺）如圖， Rt ABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合， B點與0刻 度線的一端重合，/ ABC=40 射線CD繞點C轉(zhuǎn)動，與量角器外沿交于點 D，若射線CD 將厶ABC分割出以BC為邊的等腰三角形，則點 D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)是（）A . 40 B . 70 C. 70 或 80 D . 80 或 140 【考點】角的計算.【分析】如圖，點O是AB中點，連接DO ,易知點D在量角器上對應(yīng)的度數(shù) =/ DOB=2 / BCD , 只要求出/ BCD的度數(shù)即可解決問題.【解答】 解：如圖，點O是AB中點，連接DO .點D在量角器上對應(yīng)的度數(shù) =/

2、DOB=2 / BCD ,當(dāng)射線CD將厶ABC分割出以BC為邊的等腰三角形時，/ BCD=40。或 70 點D在量角器上對應(yīng)的度數(shù) =/ DOB=2 / BCD=80。或140 故選D .c2. （2017 山東棗莊）如圖，在 ABC中，AB=AC，/ A=30 E為BC延長線上一點，/ABC與/ ACE的平分線相交于點 D，則/ D等于A. 15 B. 17. 5 C. 20 D. 22.5 第4題圖【答案】A.【解析】試題分析：在 ABC中，AB=ACZ A=30,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得/ABC2 ACB=75 ,所以/ ACE=180 - / ACB=180 -75 =105，根據(jù)角平

3、分線的性質(zhì)可得/DBC=37.5,ZACD=52.5，即可得/ BCD=127.5，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得/D=180 - / DBC-ZBCD=180 -37.5 -127.5 =15,故答案選 A.考點：等腰三角形的性質(zhì)；三角形的內(nèi)角和定理3. （ 2017.山東省泰安市，3分）如圖，在 PAB中，PA=PB，M，N, K分別是PA，PB,AB上的點，且 AM=BK , BN=AK，若/ MKN=44。，則/ P的度數(shù)為（）A. 44B. 66C. 88 D. 92【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/ A= / B ,證明 AMK BKN ,得到/ AMK= / BKN , 根據(jù)三角形的

4、外角的性質(zhì)求出/A= / MKN=44 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可.【解答】解： PA=PB ,/ A= / B ,在厶AMK和厶BKN中，血二BK ZAZBAK=BN AMK BKN ,/ AMK= / BKN ,/ MKB= / MKN+ / NKB= / A+ / AMK ,/ A= / MKN=44 / P=180-Z A -Z B=92 故選：D.【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì), 掌握等邊對等角、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.4. （2017 江蘇省揚州）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4 , BC

5、=6 將該矩形紙片剪去 3個等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面積的最小值是（D. 2【考點】幾何問題的最值.【分析】以BC為邊作等腰直角三角形 EBC，延長BE交AD于F,得 ABF是等腰直角 三角形，作EG丄CD于6,得厶EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去 ABF , BCE , ECG得到四邊形EFDG，此時剩余部分面積的最小【解答】解：如圖以BC為邊作等腰直角三角形 EBC，延長BE交AD于F,得 ABF是 等腰直角三角形，作EG丄CD于6,得厶EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去 ABF , BCE , ECG得到四邊形EFDG，此時剩余部分面積的最小=4 6 -

6、4 4 - X36 - - X3X3=2.5 .ILL故選C.二、填空題1. （2017 湖北黃岡）如圖，已知 ABC, DCE, FEG HGI是4個全等的等 腰三角形，底邊BC, CE, EG, GI在同一條直線上，且 AB=2 , BC=1.連接AI , 交FG于點Q,則QI=.（第14題）【考點】相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì).【分析】過點A作AM丄BC.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到 MC=：2BC=2，從而 MI=MC+CE+EG+GI=占.再根據(jù)勾股定理，計算出AM和AI的值；根據(jù)等腰三角 形的性質(zhì)得出角相等，從而證明 AC /GQ，則 IACIQG, 故 % =

7、 %，可計 算出QI= tDHBMCEGI【解答】解：過點A作AM丄BC.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得mc=4bc=-2. MI=MC+CE+EG+GI=72 .22在 RtAAMC 中，AM =AC -mc2= 22-( 4) 2=普2 2 1AI= AM MI =1:(27) =4.易證 AC /IACsiqg QI _ GIat = CT即 = QI=4故答案為：42. （2017 四川資陽）如圖，在3 X3的方格中，A、B、C、D、E、F分別位于格點上，從C、D、E、F四點中任取一點，與點A、B為頂點作三角形，則所 作三角形為等腰三角形的概率是 .q【考點】概率公式；等腰三角形的判定.【分

8、析】根據(jù)從C、D、E、F四個點中任意取一點，一共有4種可能，選取 D、C、F時，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案.【解答】解：根據(jù)從C、D、E、F四個點中任意取一點，一共有4種可能， 選取D、C、F時，所作三角形是等腰三角形，3故P （所作三角形是等腰三角形）=訂；故答案為：3. （2017 四川成都 4分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，對角線AC,BD相交于點0,AE垂直平分OB于點E,則AD的長為D【考點】矩形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì).【分析】由矩形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)證出OA=AB=OB=3，得出BD=2OB=6，由勾股定理求出AD即可.【解答

9、】 解：四邊形 ABCD是矩形， OB=OD , OA=OC, AC=BD , OA=OB , AE垂直平分OB, AB=AO , OA=AB=OB=3 , BD=2OB=6 ,AD=寸=3； 故答案為：34. （2017 四川達(dá)州 3分）如圖，P是等邊三角形 ABC內(nèi)一點，將線段 AP繞點A順時 針旋轉(zhuǎn)60得到線段AQ ,連接BQ.若PA=6, PB=8, PC=10 ,則四邊形 APBQ的面積為_ 24+9 二_.【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).【分析】連結(jié)PQ ,如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得/BAC=60 AB=AC ,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP=PQ=6 , / PAQ=60 ,則可

10、判斷 AAPQ為等邊三角形，所以PQ=AP=6 ,接著證明APCABQ得到PC=QB=10,然后利用勾股定理的逆定理證明APBQ為直角三角形，再根據(jù)三角形面積公式，利用 S四邊形apbq=Szbpq+Sapq進(jìn)行計算.【解答】解：連結(jié)PQ,如圖, ABC為等邊三角形，/ BAC=60 AB=AC ,線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60得到線段AQ , AP=PQ=6 , / PAQ=60 APQ為等邊三角形， PQ=AP=6 ,/ CAP+ / BAP=60 / BAP+ / BAQ=60 / CAP= / BAQ ,在APC和AABQ中,“ Zcap=Zbaq,|AP=AQ APCABQ , PC=

11、QB=10 ,在ABPQ 中，I PB2=82=64, PQ2=62, BQ2=102, 而 64+36=100,2 2 2 PB2+PQ2=BQ2, PBQ為直角三角形，/ BPQ=90 -S 四邊形 apbq=Sbpq+S/；apq= -6 8+丄7 6 =24+9、.：.故答案為24+9二.B232和4，則該等腰三角4，底邊長2,把三5. （2017江蘇淮安，16, 3分）已知一個等腰三角形的兩邊長分別為形的周長是 10【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系.【分析】根據(jù)任意兩邊之和大于第三邊，知道等腰三角形的腰的長度是 條邊的長度加起來就是它的周長.【解答】解：因為 2+2 V 4,

12、所以等腰三角形的腰的長度是4,底邊長2,周長：4+4+2=10 ,答：它的周長是10,故答案為：10【點評】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是先判斷出三角形的兩條腰的長度，再根據(jù)三角形的周長的計算方法，列式解答即可.6. （2017 廣東廣州）如圖 3, ABC中, AB= AC, BC= 12cm,點 D在 AC上, DC=4cm, 將線段DC沿CB方向平移7cm得到線段EF，點E、F分別落在邊AB BC上，則 EBF的 周長是 cm.AXQ03難易考點容易平移，等腰三角形等角對等邊解析CD沿CB平移7cm至EF.EF/CD,CF=7.BF 二BC-CF =5,EF 二CD = 4, EFBC

13、:AB 二 AC” B=/CEB 二 EF =4cebf =EB EF BF =4 4 5 =13參考答案137. （2017 廣西賀州）如圖，在 ABC中，分別以AC、BC為邊作等邊三角形 ACD和等邊120 三角形BCE，連接AE、BD交于點0,則/ AOB的度數(shù)為A【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).【分析】先證明 DCB ACE，再利用8字型”證明/ A0H= / DCH=60。即可解決問題.【解答】解：如圖：AC與BD交于點H. ACD , BCE都是等邊三角形， CD=CA , CB=CE，/ ACD= / BCE=60 ,/ DCB= / ACE ,在厶DCB和厶A

14、CE中，fCD=CA* Zdcb=Zace,CB=CE DCBBA ACE ,/ DCH+ / CHD+ / BDC=180 / A0H+ / AH0+ / CAE=180 / DHC= / OHA ,/ AOH= / DCH=60 / AOB=180 -Z AOH=120故答案為120【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，學(xué)會利用8字型”證明角相等，屬于中考?？碱}型.8. （2017 山東煙臺）如圖，O為數(shù)軸原點，A , B兩點分別對應(yīng)-3, 3，作腰長為4的等 腰厶ABC，連接OC,以O(shè)為圓心，CO長為半徑畫弧交數(shù)軸于點 M，則點M

15、對應(yīng)的實數(shù) 為 =.-3 -2 -1 O I 2.W3【考點】勾股定理；實數(shù)與數(shù)軸；等腰三角形的性質(zhì)._【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)得到OC丄AB，則利用勾股定理可計算出 OC=然后利用畫法可得到 OM=OC=二，于是可確定點M對應(yīng)的數(shù).【解答】 解： ABC為等腰三角形，OA=OB=3 ,OC 丄 AB ,在Rt OBC中，OC=2川以O(shè)為圓心，CO長為半徑畫弧交數(shù)軸于點 M ,.OM=OC=:點M對應(yīng)的數(shù)為故答案為 :9. （2017.山東省青島市,3分）如圖，以邊長為 20cm的正三角形紙板的各頂點為端點，在 各邊上分別截取4cm長的六條線段，過截得的六個端點作所在邊的垂線，形成三個有

16、兩個 直角的四邊形把它們沿圖中_虛線剪掉，用剩下的紙板折成一個底為正三角形的無蓋柱形 盒子，則它的容積為 448- 480 cm3.【分析】由題意得出 ABC為等邊三角形, OPQ為等邊三角形， 得出/ A= / B= / C=60 AB=BC=AC . / POQ=60 連結(jié) AO，作 QM 丄 OP 于 M，在 Rt AOD 中，/ OAD= / OAK=30 1尹 小得出 OD= -AD=2cm，AD= OD=2 cm,同理:BE=AD=2求出PQ、QM，無蓋柱形盒子的容積=底面積犒，即可得出結(jié)果.【解答】 解：如圖，由題意得： ABC為等邊三角形， OPQ為等邊三角形,/ A= / B

17、= / C=60 AB=BC=AC，/ POQ=60 / ADO= / AKO=90 連結(jié)AO，作QM丄OP于M ,在 Rt AOD 中，/ OAD= / OAK=30 OD=AD=2cm ,. AD= 9D=2 .cm,同理：BE=AD=2 cm, PQ=DE=20 - 2 2 一=20 - 4 二(cm), QM=OP?sin60 (20- 4)0-6,(cm),=-X (20 - 4)(10 二6) 4=448-480 (cm3)無蓋柱形盒子的容積故答案為：448 一- 480.10. （2017 江蘇泰州）如圖，已知直線11 / 12,將等邊三角形如圖放置，若/=40 則/ 3【考點】

18、等邊三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì).【分析】過點A作AD / li,如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/BAD= / 3.根據(jù)平行線的傳遞性可得AD / 12,從而得到/ DAC= / =40 再根據(jù)等邊 ABC可得到/ BAC=60 就可求 出/ DAC，從而解決問題.【解答】 解：過點A作AD / li，如圖，則/ BAD= / 3T 11 / |2, AD / l2,/ DAC= / o=40 ABC是等邊三角形，/ BAC=60 / 3= / BAD= / BAC -Z DAC=60 - 40=20 故答案為20三解答題1. (2017年浙江省寧波市) 從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射

19、線于對邊相 交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.(1) 如圖1,在厶ABC中，CD為角平分線，Z A=40 Z B=60 求證：CD ABC的 完美分割線.(2) 在厶ABC中，Z A=48 CD是厶ABC的完美分割線，且厶ACD為等腰三角形，求Z ACB 的度數(shù).(3) 如圖2, ABC中，AC=2 , BC= , CD是厶ABC的完美分割線， 且厶ACD是以CD【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).【專題】新定義.【分析】(1)根據(jù)完美分割線的定義只要證明 ABC不是等腰

20、三角形， ACD是等腰三角形， BDCBCA即可.(2) 分三種情形討論即可 如圖2,當(dāng)AD=CD時， 如圖3中，當(dāng)AD=AC時， 如圖 4中，當(dāng)AC=CD時，分別求出/ ACB即可.BC BE(3) 設(shè)BD=x，利用 BCD BAC，得 廣=，列出方程即可解決問題.【解答】解：(1)如圖1中，/ A=40 / B=60 / ACB=80 ABC不是等腰三角形，/ CD 平分/ ACB ,/ ACD= / BCD= 一/ ACB=40 2/ ACD= / A=40 ACD為等腰三角形，/ DCB= / A=40 , / CBD= / ABC , BCDBAC ,CD是厶ABC的完美分割線.(2

21、) 當(dāng) AD=CD 時，如圖 2, / ACD= / A=45 / BDCBCA , / BCD= / A=48 / ACB= / ACD+ / BCD=96 180e - 48 當(dāng) AD=AC 時，如圖 3 中，/ ACD= / ADC=:=66 / BDCBCA , / BCD= / A=48 , / ACB= / ACD+ / BCD=114 當(dāng) AC=CD 時，如圖 4 中，/ ADC= / A=48 ,/ BDCBCA ,/ BCD= / A=48 ,/ ADC Z BCD,矛盾，舍棄. / ACB=96 或 114(3)由已知 AC=AD=2 ,/ BCDs BAC ,BC 班“

22、”廣設(shè) BD=x ,(J 2=x (x+2), /x 0, x= - 1,/ BCDs BAC , CE_BE_V3 - 1-= ,c圉1【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會分類討論思想，屬于中考?？碱}型.2. （2017 上海）如圖所示，梯形 ABCD 中，AB / DC, / B=90 AD=15 , AB=16 , BC=12 , 點E是邊AB上的動點，點F是射線CD上一點，射線ED和射線AF交于點G,且/ AGE= / DAB .(1) 求線段CD的長；(2) 如果 AEC是以EG為腰的等腰三角形，求線段 AE的長；(3) 如果點F

23、在邊CD上(不與點C、D重合)，設(shè) AE=x , DF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解備用圖【考點】四邊形綜合題.【專題】綜合題.【分析】(1 )作DH丄AB于H，如圖1，易得四邊形BCDH為矩形，則DH=BC=12 , CD=BH , 再利用勾股定理計算出 AH，從而得到BH和CD的長;(2)分類討論：當(dāng) EA=EG時，則/ AGE= / GAE，則判斷G點與D點重合，即ED=EA ,作EM丄AD于M，如圖1，貝V AM= rAD=丄,通過證明 Rt AME s Rg AHD，利用相似比可計算出此時的 AE長；當(dāng)GA=GE時，則/ AGE= / AEG，可證明AE=AD=15 ,(3)作DH丄AB于

24、H，如圖2,則AH=9 , HE=AE - AH=x - 9，先利用勾股定理表示出DE= 廠，再證明 EAGEDA，則利用相似比可表示出EG=_ :，則可表示出 DG,然后證明 DGFEGA，于是利用相似比可表示出x和y的關(guān)系.【解答】解：(1 )作DH丄AB于H，如圖1 ,易得四邊形BCDH為矩形， DH=BC=12 , CD=BH ,在 Rt ADH 中，AH=譏2I J =9 BH=AB - AH=16 - 9=7, CD=7 ;(2 )當(dāng) EA=EG 時，則/ AGE= / GAE ,/ GAE= / DAB , G點與D點重合，即 ED=EA ,115作EM丄AD于M，如圖1，貝U

25、AM= AD= ,/ MAE= / HAD , Rt AME s Rt AHD ,1525 AE : AD=AM : AH，即 AE : 15=: 9，解得 AE=.；當(dāng) GA=GE 時，則/ AGE= / AEG ,/ AGE= / DAB ,而/ AGE= / ADG+ / DAG，/ DAB= / GAE+ / DAG ,/ GAE= / ADG ,/ AEG= / ADG , AE=AD=15 ,25綜上所述， AEC是以EG為腰的等腰三角形時，線段 AE的長為或15；(3)作 DH 丄 AB 于 H，如圖 2，貝AH=9，HE=AE - AH=x - 9,在 Rt ADE 中，DE=

26、Jdh2+H*=G*+&-9)：,/ AGE= / DAB，/ AEG= / DEA , EAGEDA , EG : AE=AE : ED，即 EG : x=x :2 EG= J 亠：-，a/122+(x- 9) DG=DE - EG=- -/ DF / AE , DGFEGA ,V122+(x9p/F DF : AE=DG :EG，即 y ：x=(-#i 產(chǎn)加 f ):225 - 18x y=25(9vxv .)BCB【點評】本題考查了四邊形的綜合題： 熟練掌握梯形的性質(zhì)等等腰三角形的性質(zhì)； 常把直角 梯形化為一個直角三角形和一個矩形解決問題； 會利用勾股定理和相似比計算線段的長； 會 運用

27、分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題.3. （ 2017 江蘇省宿遷）如圖，在矩形 ABCD中，AD=4，點P是直線AD上一動點，若滿足 PBC是等腰三角形的點 P有且只有3個，則AB的長為.LDRC【分析】如圖，當(dāng) AB=AD時，滿足 PBC是等腰三角形的點 P有且只有3 個.【解答】解：如圖，當(dāng)AB=AD時，滿足 PBC是等腰三角形的點 P有且只有3個, P1BC, P2BC是等腰直角三角形， P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C）,貝V AB=AD=4 ,故答案為4.【點評】本題考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，屬于 中考常考題型.4.（2017 江蘇省宿遷）如圖，

28、已知BC 上，ED / BC , EF / AC .求證:BD是厶ABC的角平分線，點 E、F分別在邊AB、BE=CF .DE=CF，再證明EB=ED，即可解決問題.【解答】證明： ED / BC , EF/ AC ,四邊形EFCD是平行四邊形， DE=CF ,/ BD 平分/ ABC ,/ EBD= / DBC ,/ DE / BC ,/ EDB= / DBC ,/ EBD= / EDB , EB=ED , EB=CF .【點評】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用直線知識解決問題，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型.5. （2017 江蘇省宿遷）已知 A

29、BC是等腰直角三角形， AC=BC=2 , D是邊AB上一動 點（A、B兩點除外），將 CAD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角 a得到 CEF，其中點E是 點A的對應(yīng)點，點F是點D的對應(yīng)點.（1） 如圖1,當(dāng)a=90時，G是邊AB上一點，且 BG=AD，連接GF .求證：GF / AC ;（2）如圖2,當(dāng)90 a80時，AE與DF相交于點M. 當(dāng)點M與點C、D不重合時，連接 CM,求/ CMD的度數(shù)； 設(shè)D為邊AB的中點，當(dāng)a從90變化到180。時，求點M運動的路徑長.【分析】（1）欲證明GF / AC,只要證明/ A= / FGB即可解決問題.（2） 先證明A、D、M、C四點共圓，得到/ CMF=

30、/ CAD=45 即可解決問題. 利用 的結(jié)論可知，點 M在以AC為直徑的O O上，運動路徑是弧 CD，利用弧長公式 即可解決問題.【解答】解：（1）如圖1中，T CA=CB，/ ACB=90 ,/ A= / ABC=45 CEF是由 CAD旋轉(zhuǎn)逆時針 a得到，a=90 CB與CE重合，/ CBE= / A=45 / ABF= / ABC+ / CBF=90 / BG=AD=BF ,/ BGF= / BFG=45 / A= / BGF=45 GF / AC .(2) 如圖 2 中， CA=CE , CD=CF ,/ CAE= / CEA，/ CDF= / CFD ,/ ACD= / ECF,/

31、 ACE= / CDF ,/ 2 / CAE+ / ACE=180 2 / CDF+ / DCF=180 / CAE= / CDF , A、D、M、C四點共圓，/ CMF= / CAD=45 / CMD=180 -Z CMF=135 如圖3中，O是AC中點，連接OD、CM ./ AD=DB , CA=CB , CD 丄 AB ,/ ADC=90 由可知A、D、M、C四點共圓，當(dāng)a從90變化到180時，點M在以AC為直徑的O O上，運動路徑是弧 CD,/ OA=OC , CD=DA , DO 丄AC,/ DOC=90 右 90兀叮兀的長=|,=：.7T 當(dāng)a從90變化到180時，點M運動的路徑長為二.ADG【點評】本題考查幾何變換綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、弧長 公式、四點共圓等知識，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn) A、D、M、C四點共圓，最后一個問題的關(guān)鍵, 正確探究出點 M的運動路徑，記住弧長公式，屬于中考壓軸題.6. ( 2017?遼寧沈陽)在 AABC中，AB=6 , AC=BC=5，將AABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到AAD