【新整理】三角形“四心”向量形式的結(jié)論及證明(附練習(xí)答案)

1、.三角形“四心”向量形式的充要條件應(yīng)用在學(xué)習(xí)了平面向量一章的基礎(chǔ)內(nèi)容之后，學(xué)生們通過課堂例題以及課后習(xí)題陸續(xù)接觸了有關(guān)三角形重心、垂心、外心、內(nèi)心向量形式的充要條件?，F(xiàn)歸納總結(jié)如下：一 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1）O是的重心;若O是的重心，則故;為的重心.2）O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，則故3）O是的外心(或)若O是的外心則故4）O是內(nèi)心的充要條件是引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。如果記的單位向量為，則剛才O是內(nèi)心的充要條件可以寫成： O是內(nèi)心的充要條件也可以是ACBCCP若O是的內(nèi)心，則故;的內(nèi)心;向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；二 范例(一)將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查例1

2、O是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)的軌跡一定通過的（ ）（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心解析：因?yàn)槭窍蛄康膯挝幌蛄吭O(shè)與方向上的單位向量分別為，又，則原式可化為，由菱形的基本性質(zhì)知AP平分，那么在中，AP平分，則知選B.點(diǎn)評(píng)：這道題給人的印象當(dāng)然是“新穎、陌生”，首先是什么？沒見過！想想，一個(gè)非零向量除以它的模不就是單位向量？ 此題所用的都必須是簡(jiǎn)單的基本知識(shí)，如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，若十分熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起，解這道題一點(diǎn)問題也沒有。(二)將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”例2 H是AB

3、C所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，點(diǎn)H是ABC的垂心.由,同理，.故H是ABC的垂心. （反之亦然（證略）例3.(湖南)P是ABC所在平面上一點(diǎn)，若，則P是ABC的（D）A外心B內(nèi)心C重心D垂心解析:由. 即則所以P為的垂心. 故選D.點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量有關(guān)運(yùn)算，及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關(guān)知識(shí).將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運(yùn)算及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直” 等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。變式：若H為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且則點(diǎn)H是ABC的垂心BCHA圖6證明: 0即0同理，故H是ABC的垂心(三)將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”例4 G是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)

4、，=0點(diǎn)G是ABC的重心.證明 作圖如右，圖中連結(jié)BE和CE，則CE=GB，BE=GCBGCE為平行四邊形D是BC的中點(diǎn)，AD為BC邊上的中線.將代入=0，得=0，故G是ABC的重心.（反之亦然（證略）例5 P是ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是ABC的重心.證明 G是ABC的重心=0=0，即由此可得.（反之亦然（證略）例6若 為內(nèi)一點(diǎn)， ，則 是 的（ ）A內(nèi)心 B外心 C垂心 D重心解析：由得，如圖以O(shè)B、OC為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則，由平行四邊形性質(zhì)知，同理可證其它兩邊上的這個(gè)性質(zhì)，所以是重心，選D。點(diǎn)評(píng)：本題需要扎實(shí)的平面幾何知識(shí)，平行四邊形的對(duì)角線互相平分及三角形重心性質(zhì)：重心是三角形

5、中線的內(nèi)分點(diǎn)，所分這比為。本題在解題的過程中將平面向量的有關(guān)運(yùn)算與平行四邊形的對(duì)角線互相平分及三角形重心性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。變式：已知分別為的邊的中點(diǎn)則證明： 變式引申：如圖4，平行四邊形的中心為，為該平面上任意一點(diǎn)，則證明：，點(diǎn)評(píng)：（1）證法運(yùn)用了向量加法的三角形法則，證法2運(yùn)用了向量加法的平行四邊形法則（2）若與重合，則上式變0 (四)將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例7若 為內(nèi)一點(diǎn)，則 是 的（ ）A內(nèi)心 B外心 C垂心 D重心解析：由向量模的定義知到的三頂點(diǎn)距離相等。故 是 的外心，選B。點(diǎn)評(píng)：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。(五)將平面向量與三角形

6、四心結(jié)合考查例8已知向量，滿足條件+=0，|=|=|=1，求證 P1P2P3是正三角形.（數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下），復(fù)習(xí)參考題五B組第6題）證明 由已知+=-，兩邊平方得=， 同理 =， |=|=|=，從而P1P2P3是正三角形.反之，若點(diǎn)O是正三角形P1P2P3的中心，則顯然有+=0且|=|=|.即O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，+=0且|=|=|點(diǎn)O是正P1P2P3的中心.例9在ABC中，已知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、G、H三點(diǎn)共線，且QG:GH=1:2?！咀C明】：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、

7、E、F分別為AB、BC、AC的中點(diǎn)，則有：AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF由題設(shè)可設(shè),即，故Q、G、H三點(diǎn)共線，且QG：GH=1：2【注】：本例如果用平面幾何知識(shí)、向量的代數(shù)運(yùn)算和幾何運(yùn)算處理，都相當(dāng)麻煩，而借用向量的坐標(biāo)形式，將向量的運(yùn)算完全化為代數(shù)運(yùn)算，這樣就將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起，從而，很多對(duì)稱、共線、共點(diǎn)、垂直等問題的證明，都可轉(zhuǎn)化為熟練的代數(shù)運(yùn)算的論證。例10若O、H分別是ABC的外心和垂心.求證 .證明 若ABC的垂心為H，外心為O，如圖.連BO并延長(zhǎng)交外接圓于D，連結(jié)AD，CD.，.又垂心為H，AHCD，CHAD，四邊形AHCD為平行四邊形，故.著名的“

8、歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置關(guān)系：（1）三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線“歐拉線”；（2）三角形的重心在“歐拉線”上，且為外垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn)，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡(jiǎn)單，可簡(jiǎn)化成如下的向量問題.例11 設(shè)O、G、H分別是銳角ABC的外心、重心、垂心.求證 證明 按重心定理 G是ABC的重心 按垂心定理 由此可得 .三、與三角形的“四心”有關(guān)的高考連接題及其應(yīng)用A F E C TB例1：（2003年全國(guó)高考題）是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的（ ）（A）外

9、心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心 事實(shí)上如圖設(shè)都是單位向量易知四邊形AETF是菱形 故選答案B例2：（2005年北京市東城區(qū)高三模擬題）為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，如果，則O必為ABC的（ ）（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心 事實(shí)上OBCA 故選答案D例3：已知O為三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)O是三角形ABC的（ ）（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心 事實(shí)上由條件可推出 故選答案D例4：設(shè)是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的（ ）（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心 事實(shí)上 故選答案D例5

10、：圖32005年全國(guó)（I）卷第15題“的外接圓的圓心為，兩條邊上的高的交點(diǎn)為，則實(shí)數(shù)=_”先解決該題：作直經(jīng)，連，,有，故，故是平行四邊形，進(jìn)而，又故，所以評(píng)注：外心的向量表示可以完善為：若為的外心，為垂心，則。其逆命題也成立。例6已知向量，滿足條件+=0，|=|=|=1，求證： P1P2P3是正三角形.（數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下），復(fù)習(xí)參考題五B組第6題）證明： 由已知+=-，兩邊平方得=， 同理 =， |=|=|=，從而P1P2P3是正三角形.反之，若點(diǎn)O是正三角形P1P2P3的中心，則顯然有+=0且|=|=|，即O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，+=0且|=|=|點(diǎn)O是正P1P2P3的中心.4、 練習(xí)1已

11、知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是三角形ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足=(+2),則點(diǎn)P一定為三角形ABC的( B)A.AB邊中線的中點(diǎn) B.AB邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)C.重心 D.AB邊的中點(diǎn)分析：取AB邊的中點(diǎn)M，則，由=(+2)可得3，即點(diǎn)P為三角形中AB邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，且點(diǎn)P不過重心。2在同一個(gè)平面上有及一點(diǎn)滿足關(guān)系式：2+2=2+222，則為ABC的(D)A.外心 B.內(nèi)心 C重心 D垂心3已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足：，則P為ABC的(C)A.外心 B. 內(nèi)心 C重心 D垂心4已知O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：，則P

12、的軌跡一定通過ABC的(C)A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D垂心5已知ABC，P為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足：，則P點(diǎn)為三角形的 (D)A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心6已知ABC，P為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足：，則P點(diǎn)為三角形的(B)A.外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心7在三角形ABC中，動(dòng)點(diǎn)P滿足：，則P點(diǎn)一定通過ABC的(B )A.外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心8.非零向量與滿足(+)=0且=,則ABC為(D)A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等邊三角形 D等邊三角形解析：非零向量與滿足()=0，即角A的平分線垂直于BC，AB=AC，又=，A=，所以ABC為等邊三角形.9.ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，則實(shí)數(shù)m= 110.