2013年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷1答案與解析

1、2013年理科數(shù)學(xué)全國(guó)卷答案與解析一、選擇題共12小題。每小題5分，共60分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng)。1.已知集合，則 ( )A.AB= B.AB=R C.BAD.AB考點(diǎn) ：集合的運(yùn)算解析：A=(-,0)(2,+), AB=R.答案：B2.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為()A. B. C.4 D.考點(diǎn) ：復(fù)數(shù)的運(yùn)算解析：由題知=，故z的虛部為.答案：D3.為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué).初中.高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是 ()

2、A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.按性別分層抽樣C.按學(xué)段分層抽樣 D.系統(tǒng)抽樣考點(diǎn) ：抽樣的方法解析：因該地區(qū)小學(xué).初中.高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，故最合理的抽樣方法是按學(xué)段分層抽樣.答案：C4.已知雙曲線：（）的離心率為，則的漸近線方程為A. B. C. D.考點(diǎn) ：雙曲線的性質(zhì)解析：由題知，即=，=，=，的漸近線方程為.答案：C5.運(yùn)行如下程序框圖，如果輸入的，則輸出s屬于A. B. C. D.考點(diǎn) ：程序框圖解析：有題意知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，輸出s屬于-3,4.答案：A6.如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深

3、為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為 ( )A.B. C. D. 考點(diǎn) ：球的體積的求法解析：設(shè)球的半徑為R，則由題知球被正方體上面截得圓的半徑為4，球心到截面圓的距離為R-2，則，解得R=5，球的體積為.答案：A7.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則 ( )A.3 B.4 C.5 D.6考點(diǎn) ：等差數(shù)列解析：有題意知=0，=（-）=2，= -=3，公差=-=1，3=，=5.答案：C8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A B C D考點(diǎn) ：三視圖解析：由三視圖知，該幾何體為放到的半個(gè)圓柱底面半徑為2高為4，上邊放一個(gè)長(zhǎng)為4寬為2高為2長(zhǎng)方體，故其體積為 =.答案：A9.設(shè)為正整數(shù)，展開

4、式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，若，則 ( )A.5 B.6C.7D.8考點(diǎn) ：二項(xiàng)式的展開式解析：由題知=，=，13=7，即=，解得=6.答案：B10.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)。若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為 ()A.B.C.D.考點(diǎn) ：橢圓的概念與性質(zhì) 解析：設(shè)，則=2，=2， 得，=，又=，=，又9=，解得=9，=18，橢圓方程為.答案：D11.已知函數(shù)，若|，則的取值范圍是A B C D考點(diǎn) ：解不等式組，對(duì)數(shù)函數(shù)解析：|=，由|得，且，由可得，則-2，排除，當(dāng)=1時(shí)，易證對(duì)恒成立，故=1不適合，排除C.答案：D12.設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為，的面積為，若

5、，則()A.Sn為遞減數(shù)列 B.Sn為遞增數(shù)列C.S2n1為遞增數(shù)列，S2n為遞減數(shù)列D.S2n1為遞減數(shù)列，S2n為遞增數(shù)列考點(diǎn) ：的求法解析：略答案：B二填空題：本大題共四小題，每小題5分。13.已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60，cta(1t)b，若bc=0，則t=_.考點(diǎn) ：向量的數(shù)量積解析：=0，解得=.答案：=14.若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是=_.考點(diǎn) ：等比數(shù)列解析：當(dāng)=1時(shí)，=，解得=1，當(dāng)2時(shí)，=()=，即=，是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，=.答案：=15.設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則_考點(diǎn) ：求三角函數(shù)的最值解析：=令=，則=，當(dāng)=，即=時(shí)，取最大值，此時(shí)=

6、，=.答案：=16.若函數(shù)=的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則的最大值是_.考點(diǎn) ：圖像的性質(zhì)解析：由圖像關(guān)于直線=2對(duì)稱，則0=，0=，解得=8，=15，=，=當(dāng)(,)(2, )時(shí)，0，當(dāng)(,2)(,+)時(shí)，0，在（，）單調(diào)遞增，在（，2）單調(diào)遞減，在（2，）單調(diào)遞增，在（，+）單調(diào)遞減，故當(dāng)=和=時(shí)取極大值，=16.答案：16三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.（本小題滿分12分）如圖，在ABC中，ABC90，AB=，BC=1，P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，BPC90(1)若PB=，求PA；(2)若APB150，求tanPBA考點(diǎn) ：余弦定理，正弦定理解析：（）由已知得，PBC=，PBA=3

7、0o，在PBA中，由余弦定理得=，PA=；，（）設(shè)PBA=，由已知得，PB=，在PBA中，由正弦定理得，化簡(jiǎn)得，=，=.18.（本小題滿分12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，BA A1=60.（）證明ABA1C;（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB=2，求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值?？键c(diǎn) ：線與線垂直證明，線與面所成角的求法解析：（）取AB中點(diǎn)E，連結(jié)CE，AB=，=，是正三角形，AB， CA=CB， CEAB， =E，AB面， AB； （）由（）知ECAB，AB，又面ABC面，面ABC面=AB，EC面，EC，EA，EC，兩兩相互垂

8、直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，|為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有題設(shè)知A(1,0,0),(0,0),C(0,0,),B(1,0,0),則=（1,0，）,=(1,0,),=(0,), 9分設(shè)=是平面的法向量，則，即，可取=（，1，-1），=，直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值為. 19.（本小題滿分12分）一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n。如果n=3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n=4，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批

9、產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)。假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立（1）求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；（2）已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望?？键c(diǎn) ：求事件發(fā)生的概率、期望解析：設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A，第一次取出的4件產(chǎn)品中全為優(yōu)質(zhì)品為事件B,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件C，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件D，這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件E，根據(jù)題意有E=(AB)(CD),且AB與CD互斥，P(E)=P(AB)+P(CD)=

10、P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=.（）X的可能取值為400,500,800，并且P(X=400)=1-=，P(X=500)=，P(X=800)=，X的分布列為X400500800P EX=400+500+800=506.25 20.(本小題滿分12分)已知圓:,圓:,動(dòng)圓與外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線 C.（）求C的方程；（）是與圓,圓都相切的一條直線，與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|. 考點(diǎn) ：橢圓的概念，直線與橢圓位置關(guān)系 解析：由已知得圓的圓心為（-1，0）,半徑=1，圓的圓心為(1,0),半徑=3.設(shè)動(dòng)圓的圓心為（，），半徑為R.（）圓與圓外

11、切且與圓內(nèi)切，|PM|+|PN|=4，由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左右焦點(diǎn)，場(chǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為.（）對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)（，），由于|PM|-|PN|=2，R2,當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為（2，0）時(shí)，R=2.當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為，當(dāng)?shù)膬A斜角為時(shí)，則與軸重合，可得|AB|=.當(dāng)?shù)膬A斜角不為時(shí)，由R知不平行軸，設(shè)與軸的交點(diǎn)為Q，則=，可求得Q（-4，0），設(shè)：，由于圓M相切得，解得.當(dāng)=時(shí)，將代入并整理得，解得=，|AB|=.當(dāng)=時(shí)，由圖形的對(duì)稱性可知|AB|=，綜上，|AB|=或|AB|=.21.（本小題滿分共12分）已知函數(shù)，若曲線和曲線都過點(diǎn)P

12、(0，2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線（）求，的值；（）若2時(shí)，求的取值范圍?？键c(diǎn) ：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、解不等式解析：（）由已知得，而=，=，=4，=2，=2，=2；4分（）由（）知，設(shè)函數(shù)=（），=，有題設(shè)可得0，即，令=0得，=，=2，（1）若，則20，當(dāng)時(shí)，0，當(dāng)時(shí)，0，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在=取最小值，而=0，當(dāng)2時(shí)，0，即恒成立，(2)若，則=，當(dāng)2時(shí)，0，在(2,+)單調(diào)遞增，而=0，當(dāng)2時(shí)，0，即恒成立，(3)若，則=0，當(dāng)2時(shí)，不可能恒成立，綜上所述，的取值范圍為1,.22（本小題滿分10分）選修41：幾何證明選講 如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，ABC的角平分

13、線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于D。 （）證明：DB=DC；（）設(shè)圓的半徑為1，BC=3 ，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，求BCF外接圓的半徑?？键c(diǎn) ：弦切定理，三角形的性質(zhì)，三角形與外接圓的關(guān)系等解析：（）連結(jié)DE，交BC與點(diǎn)G.由弦切角定理得，ABF=BCE，ABE=CBE，CBE=BCE，BE=CE，又DBBE，DE是直徑，DCE=，由勾股定理可得DB=DC.（）由（）知，CDE=BDE，BD=DC，故DG是BC的中垂線，BG=.設(shè)DE中點(diǎn)為O，連結(jié)BO，則BOG=，ABE=BCE=CBE=，CFBF， RtBCF的外接圓半徑等于.23.（本小題10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為。（）把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；（）求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)（0,02）?？键c(diǎn) ：參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化解析：將消去參數(shù)，化為普通方程，即：